Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 14

с нх с.х зх ь а'с дд о х ь ь х 9 а х у ххо хх о о о ус х о о о ос, Ода а ь|о с.,„' о х хо х а о ох д х х ю х х о х'х ь, -ох * хо х о о хоь х Мха оз у с ох х д а а-», ась до ха х х од ь ь хо хь~ о Зхх 'о х х х о ос ох хох х х о. Мд х о о йх у ос ос-о -о д ух о О х х х с со" х 68 Далее можно найти (7.10.12) и поле температур х~+(у+1(Ь вЂ” Л')о хо+ (у — )/Ьо — Ло ) Го (7.10.13) То — То 21п Ь(йо — ~((Ь(Ло)о — 11 Этим методом может быть решен также ряд других задач по теплопроводности в системах сложной конфигурации. Так, Е.

П. Шубиным была решена задача о двух трубопроводах в полуограниченном массиве с неодинаковыми температурами и диаметрами; И. А. Иоффе решил задачу о температурном поле в полуограниченном массиве с бесконечным рядом одинаково нагретых труб. В тех случаях, когда метод наложения полей оказывается неприменимым, возможно применение метода конформных отображений. Последним методом, например, А. С. Синельников решил задачу о теплопроводности через квадратную изоляцию трубопровода. Этими и другими методами математической физики решено большое число частных задач о тепаопроводности в телах различной формы (табл. 7.1).

7.11. УЧЕТ ВНЕШНЕГО ТЕРМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОИ СТЕНКИ Приведенные выше задачи характеризуются, в частности, тем, что на поверхности рассматриваемых тел температура постоянная, т. е. одна из изотерм совпадает с поверхностью тела. В случае симметричного тела это условие выполняется, когда коэффициент теплоотдачи имеет постоянное значение на всех точках поверхности.

В случае несимметричной системы, например трубопровода в полубесконечном пространстве, условие постоянства температуры на кон- -т туре осуществляется только при весьма интенсивном ее охлаждении (теоретически при а = оо). В общем случае термическое сопротивление такой системы оказывается функцией безразмерных геометрических параметров и критерия В1 = або„. Как указывалось в гл. 5, величина 6' = Х„(а имеет размерность длины и называется дополнительной стенкой в связи с тем, что в плоской стенке толщиной б' при данном потоке д имел бы место перепад температур Р"' 7.11 эк'"ордмовтохыюо ( ) ҄— То.

ПРн Решении задач типа опРе- и р вокруг'од я в г) то~до~ро~од деления теплопроводности через плоскую ь|и=зтз1В(=ю2в или цилиндрическую стенку учет внешних термических сопротивлений, пропорциональных 1(а, не представляет затруднений. Иное дело, когда приходится рассматривать задачи более сложные. Так, в задаче о тепловых потерях трубопровода, заложенного в грунт, нет возможности просто суммировать термическое сопротивление грунта, вычисленное по формуле (7.10.10), с термическим сопротивлением воздуха над грунтом. Действительно, при конечном значении а меняется термическое сопротивление собственно грунта, так как его поверхность перестает быть изотермической. Кроме того, неясно, как вычислить собственно внешнее термическое сопротивление, когда поверхность грунта бесконечно велика. В то же время точное решение уравнения теплопроводности с граничным условием третьего рода существенно сложнее, чем при задании граничного условия постоянной температуры контура.

В подобных случаях оказывается возможным удовлетвори- тельно учесть конечное значение а путем введения в расчетную формулу, полученную для случая сс = оо, линейного размера системы, увеличенного на тол'гдину дополнительной стенки 6'. При этом, однако, относительная величина 6'П должна быть настолько мала, чтобы теоретическое распределение температур в дополнительной стенке было близким к линейному. В качестве примера рассмотрим кривые распределения температур над трубопроводом в грунте по формуле (7.10.13). Обозначим через Й длину участка с резко выраженным криволинейным распределением температур, а через 6' — длину участка, в котором распределение температур близко к прямолинейному.

Отношение 6'l)т имеет порядок 0,4. Следовательно, в том случае, когда величина 6'й = Х„lсй = 1/В! меньше 0,4, конечную величину а можно учесть, введя в формулу (7.9.2) вместо истинной глубины залегания трубопровода й величину й,к =)т + 6'. Насколько хорошо в данном случае оправдывается этот прием, видно из рис. 7.11, на котором сопоставлено опытное температурное поле с температурным полем, вычисленным по формуле (7.10.13) при замене величины )г величиной Аэ„. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1.

Варшавский Г. А. Определение тепловых потоков в твердом теле при стационарном режиме для случая, когда коэффициент теплопроводности является функцией температуры.— еЖурн. эксперим. теор. физ.», 1936, т.б, вып. 3, с. 282. 2. Варшавский Г. А. Исследование некоторых задач теплопроводности при коэффициенте теплопроводности, зависящем ат температуры.— »Журн. прикл. механ. и техн. физль 1961, № 3, с.

3 — 15. 2а. Гребер Г., Эрк С. Основы учения о теплообмене. М.— Л., ОНТИ, 1936. 3. Проблемы теплофикации. Л.— М., ОНТИ, 1936 (Тр. ЦКТИ, вып. 11). 4. Шорин С. Н. Теплопередача. М.— Л., Госстройиздат, 1952. 5. Шубин Е. П. Материалы, методы устройства и расчет тепловой изоляции трубопроводов. М., Госэнергоиздат, 1948. Гтяа г НЕУСТЛНОВИВШИИСЯ ТЕПЛОВОИ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ БЕЗ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ал. УРАВНеНИе НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ При отсутствии внутренних источников тепла уравнение теплопроводности (2.3.6) принимает вид а~' Т = дТ(д1. (8.1.1) Вводя безразмерные координаты 6 = ЬТ(ЬТ,; х = хП,; у = у/1,; г = гйм где АТ, — начальный температурный напор; 1, — характерный линейный размер тела, приводим уравнение (8.1.1) к виду ц'б = (8.1.2) з (аеЛ1) Из этого уравнения видно, что безразмерная температура является функцией критерия Фурье г'о = а(/1~о> (8.1.3) т.

е. сходственные времена пропорциональны квадрату линейного масштаба тела и обратно пропорциональны коэффициенту диффузии тепла. Среди практических задач о нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к тепловому равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения. К первой группе относятся процессы ярогрева и охлаждения тел, помещенных в среду с некоторым заданным тепловым состоянием, например прогрев болванки в печи, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях, например тепловой процесс регенераторов, кладка которых периодически то нагревается дымовыми газами, то охлаждается воздухом, который сам при этом подогревается. В этом случае процесс периодического колебания температуры и теплового потока называют тепловыми волнами.

Проблема решения уравнения (8.1.1) является чисто математической. Специальные физические соображения приходится привлекать только при задании соответствующих начальных и граничных условий. Однако в огромном числе практически важных задач и эта проблема, по существу, снимается возможностью принять температуру тела в начальный момент времени одинаковой во всех его точках. Температуру на поверхности тела обычно можно считать или постоянной за время протекания процесса, или зависящей от постоянного коэффициента теплоотдачи и меняющейся по заданному закону температуры окружающей среды (последнюю также во многих случаях можно считать постоянной).

Аналитический метод решения уравнения теплопроводности (8.1.1) первоначально был развит в работах Фурье и в дальнейшем нашел широкое применение в самых разнообразных областях математической физики. Метод Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности был подробно разработан Г. Гребером, Г. Карслоу, А. В. Лыковым, А. Н. Тихоновым и другими исследователями. Широкое применение в решении сложных задач теории теплопроводности нашли операционные методы. Определяя Т через функцию У = '1'АМТ, можно привести уравнение (8.1.1) к виду р'и= р(и) ди1дг, (8.1.4) где,~р (и) = а '.

7! Однако в задачах нестационарной теплопроводности введение функции 0 не дает гакого общего результата, как в задачах о стационарном температурном поле. Некоторые частные решения уравнения (8.1.4) были исследованы К. И. Страховичем. В рамках данной книги мы ограничимся рассмотрением нескольких наиболее распространенных задач нестационарной теплопроводности с целью выявления общих физических особенностей такого рода процессов. Для более детального ознакомления с этой проблемой следует обратиться к специальной литературе по теории теплопроводности, среди которой наиболее подробными являются монографии Г. Карслоу и Д. Егера и А.

В. Лыкова. ВЛ. РЕШЕНИЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ Существует ряд решений (интегралов) уравнения Фурье. Одним из них, имеющим большое практическое значение, является произведение двух функций, из которых одна связана только с координатами, а другая — только со временем: Т =ф(х; у; г;) <р (1); б = ф (х; у; г) <р (Ео). (8.2.1) Дифференцируя это уравнение и подставляя соответствующие производные в уравнение (8.1.2), получаем Рч'ф = фч~'.

(8.2.2) Таким образом, для того чтобы выражение (8.2.1) удовлетворяло уравнению (8.1.1), необходимо, чтобы функции ~Р и ~р, не зависящие друг от друга, удовлетворяли условию 'Р'ф/ф = ~р'/р = сопз1. (8.2.3) Если тело с некоторой температурой Т (х; у; г) погружено в среду с температурой Т„отличной от температуры этого тела, то в результате возникающего процесса теплообмена тело стремится к тепловому равновесию с окружающей средой.

Когда Т, > Т, тело нагревается, когда Т, < Т, тело охлаждается. При отсутствии в теле внутренних источников тепла температура во всех его точках будет меняться во времени монотонно, стремясь к температуре окружающей среды. Легко заметить, что если в абсолютных координатах нагрев и охлаждение тела изображаются двумя кривыми, то в безразмерных координатах оба процесса изображаются одной и той же кривой, так как при прочих равных условиях величина дб1дРо и при охлаждении, и при нагреве меньше нуля. Действительно, при нагреве начальная температура тела Т, меньше температуры тела в момент времени г и меньше температуры окружающей среды Т„т.