Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С. (1013620), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. Т, < Т, < Т;, при охлаждении, наоборот, Т, > Т, > Т,. При этом для обоих случаев безразмерная температура б — — (Т, — Т,УЦ(Т, — Т,) в начальный момент равна единице, а при достижении полного теплового равновесия (Т, = Т,) равна нулю. Этому условию удовлетворяет экспоненциальная функция ср = ехр ( — (У Е о), (8.2.4) где р — некоторая постоянная, что непосредственно следует из уравнения (8.2.3). Подставляя это значение ср (Ео) в выражение (8.2.1), получаем б = ф ехр ( — ~' Го); дЧ~1дЕо =- --рз ехр ( — р' го); ~р'(Ч = — р'. (8.2.5) Подставляя последнее выражение в (8.2.3), получаем уравнение, определяющее функцию координат: Ч ф+8 ф=О. (8.2.б) 72 Это решение легко обобщается для случая, когда коэффициент температуропроводности, оставаясь одним и тем же во всех точках тела в данный момент времени, непрерывно изменяет свое значение в течение процесса, т.
е. когда а = 7 (/). При таком условии переход от уравнения (8.1.1) к уравнению (8.2.6) может быть осуществлен введением функции времени, определенной как (8.2.7) 8.3. темпеРАтуРА — Функция Одной кООРдинАты И ВРЕМЕНИ Важнейшими частными случаями рассматриваемой проблемы являются процессы, в которых температура — функция только одной координаты. Уравнение (8.2.6) можно переписать в обыкновенных дифференциалах, и тогда оно примет вид: для протяженной плоской стенки + роф($) =О; (8.3.1) для протяженного цилиндра оо Ф ($) , ( от (о) + +8оф(8) =О; (8.3.2) для шара (8.3.4) ф = С 1= 1 Я (8.3.6) фо С, о(п(К) Р5 Эти функции, являющиеся частными интегралами рассмотренных дифференциальных уравнений, распадаются на две группы — четные и нечетные. Суммируя ор, и фо, получаем: для протяженной плоской стенки д = [С, соз (рх/6) + Соз(п (рх/6)) ехр ( — роа//бо); (8.3.7) для протяженного цилиндра 6 = [С~ уо (И/йо)+ Со Уо ([)й/йо) [ ехр ( — 1' и//йо); для шара д = (йо/рй) [С, соз([)й/йо) +С.
Мп (Ой/йо)[ехр ( — [)о а//й3). (8.3.9) (8.3.8) 73, ооФ(5) 2 ЛФЯ) Лооо оо Лй + — — + ро ф (а) = О. (8.3.3) , При этом в уравнении (8.3.1) безразмерная координата $ =- х/6, где 6— в данном случае полутолщина стенки, а в уравнениях (8.3.2) и (8.3.3) с = й/йо; здесь й, — характерный радиус тела. Уравнению (8.3.1) удовлетворяют тригонометрические функции ф, = С, соз (рв); ф, = С, з(п(Я). Решения уравнения (8.3.2) имеют вид ф%-С,уо(Я); ф = Со 1'о([)оь), (8.3.5) где 1о и )'о — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Решениями уравнения (8.3.3) являются функции Существуют процессы теплопроводности, которые нельзя описать рассмотренными выше решениями, представляющими температуру в виде произведения двух частных функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.
Тогда применяются функции иноготипа, в которых рассмотренное выше разделение невозможно. Дифференцированием и подстановкой можно показать, что, например, функции «/У4с! т-с= ( р ! — *ч,1~ 2 о (8.3.10) также являются интегралами дифференциального уравнения ад' Т/дх' = дТ/дй (8.3.11) 8.4. МОНОТОННЫЙ ПЕРЕХОД К ТЕПЛОВОМУ РАВНОВЕСИЮ (8.4.5) Отсюда 2С! со5 (р $) = 1 (1 ~ (! ( со). В теории рядов Фурье показано, что коэффициенты +! ) от(5) со! (Р! $) сЕ С;= +! с05 (Р! 5) ($ — ! (8.4.7) (8.4.8) 74 Рассмотрим плоскую стенку толщиной 26.
С обеих сторон стенка охлаждается одинаково интенсивно средой с температурой, равной Т,. В начальный момент времени стенка была равномерно прогрета до температуры Т,. В рассматриваемом случае температурное поле во все время процесса симметрично относительно оси стенки, так как с обеих сторон последняя охлаждается одинаково. Следовательно, !р (х) должна быть четной функцией, и в формуле (8.3.7) следует положить С, = 0: 0 = С соз (Я) ехр ( — р' Ро).
(8.4.1) Здесь 8 = х/6; Ро = а//6'. Краевые условия имеют вид /=О; Т=Т;, х=б; дТ/дх= — (а/)с)(҄— Т,). (8,4.2) Приводя пространственное краевое условие к безразмерному виду, получаем (дб/д$)8 ! = — В) 08 (8.4.3) где В! = аб/)!. Дифференцируя уравнение (8.4.1) и подставляя полученное значение производной в уравнение (8.4.3), находим 51п р = В! со5 р. (8.4.4) Этот результат показывает, что пространственные краевые условия определяют значение постоянной р и оставляют для постоянной С произвольное значение.
Последнее находится с помощью краевых условий. Значения первых пяти корней уравнения (8.4.4) приведены в табл. 8.1. Согласно теории дифференциальных уравнений общее решение строится как сумма частных решений, т. е. в рассматриваемом случае 6=~С! соз(8! $) ехр( — 6Я Ро) (1(! ( оо). В начальный момент /=О; Ро=О; ехр( — 8'Ро) =1; 0=1. (8,4.6) Таблица 8.1 Значение корней уравнения [! Мп Р= В1 еоа[! в В данном случае 01(9) = 1 и С, 2151 51п 11! со5 11! + Р! (8.4.9) Окончательно получаем Ю= 2 ~ ' ' ехр ( — рт Ро) (1 <1(оо), (8.4.10) 6!+ 5!и 91 со5 Р! Изменение теплосодержания стенки проще всего определить по формуле +е Я=срР ~ (Т. — Т)г(х. (8.4.1 1) Начальное теплосодержание стенки, отсчитанное от температуры Т„равно 1;!е = 2сРР8 (Та — Те). (8.4.12) Отсюда, принимая во внимание, что Т,— Т=(Т! — Т ) (1 — д), получаем выражение для относительных тепловых потерь стенки +1 — = — ~" (1 — 0) 5[8.
1 с 1ее — ! Подставляя сюда значение д из уравнения (8.4.10), получаем +1 — =У ' [1 — ехр( — рг Ро)] ( соз(р!6)д$(1(1< оо). 05 =- Р!+еоа~!'5!п~. — 1 (8.4.18) (8.4.14) Интегрирование дает выражение — = 2 '~Р р, + ' ', [1 — ехр ( — р1' Ро)) (1 < ! ( оо) . (8.4.15) е. 1000 !00 50 20 10 4,0 1,0 0,5 0,1 0,0! 0 1 1,57 = — л 2 1,57 1,56 1,54 1,50 1,43 1,26 0,86 0,65 0,31 0,10 О 3 4,71 = — л 2 4,71 4,66 4,62 4,49 4', ЗО 3,93 3,42 3,29 3,17 3,14 5 7,85 = — л 2 7,84 7,77 7,70 7,49 7,22 6;81 6,43 6,36 6,30 6,28 2л 7 11,00 = — л 2 10,98 10,88 10,78 10,51 10,20 9,78 9,52 9,47 9,43 9,42 Зл 9 14,15 = — л !4,13 14,00 13,87 13 Д5 !3,22 12,87 12,65 12,61 12,57 12,57 4л Не останавливаясь на деталях решения уравнений для цилиндра и шара, поскольку с физической точки зрения они не содержат ничего нового по сравнению с рассмотренным выше примером, приведем окончательные формулы: для сплошного протяженного цилиндра д 2 чав в(и ) е(6' о) ехр( — рва а//Кв)(! !( ао); (8.4.16) — Х ..
(РВ+.[(В,) — = 4 у' —, ' ' [1 — ехр ( — [)а а///то)) (1 (1( со).1 (8.4.17) Здесь У, = и'е — функция Бесселя первого рода первого порядка. Л'ля сплошного шара д= 2 и' р' р' и' р' ~ е) ех ( — [)ва///с')(1(1(оо); (8.4.18) Хвн рв — а!П р~ со5 рв рв )в/)ве — = 62,—, — ' ' ' ' — '[1 — ехр( — фа//И) (1(!( оо). (8.4.19) яе [)в р; — аШ р~ сок [)в Значения первых пяти корней уравнений ру,(р) = В1Уе(р) и [) соз р = = (! — В1) з)п р приведены в табл. 8.2 и 8.3. Таблица 8.2 Значение корней уравнения 67,(р) =Вы, ([)) в. ) в.
ав 8,654 ~ 11,792 14,931 Таблица 83 Значение корней уравнения р соа р= (1 †) Мп 6 Вв В1 В общем случае нестационарная теплопроводность характеризуется функциональными связями типа (8.4.20) д =Ф (се/ев'Х; а///о; !/!е); Яро=Фа(Ые/Х; а//!о) (8.4.21) где 1, — характерный линейный размер; 1 — текущая координата. На рис. 8.1 и 8.2 приведены диаграммы Д. В. Будрина и Г. Гребера, построенные по приведенным выше формулам. Эти диаграммы позволяют определить температуру центра тела, температуру поверхности тела и изменение его теплосодержания и процессе охлаждения или прогрева.
76 50 20 10 4 2,405 5,520 2,35 5,41 2,29 5,26 2,17 5соз 1,906 4,60 8,48 8,25 7,96 7,52 11,56 11,27 10,94 10,54 1,0 0,5 0,1 0,05 0 1,253 0,940 0,443 0,315 0 4,08 3,96 3,86 3,85 3,832 7,16 7,09 7,03 7,02 7,016 10,27 10,22 10,19 10,!8 10, 174(13,324 оц 0,0 0,4 0,5 0,1 0,00 ,0,05 0,05 0,04 0,05 0,01 ' о 1 г 5 4 5 к 0 в 101г 14151вгогггсго 00 ост 0,0 0,0 0,5 0,4 0,5 о,г о,т .0,00 0,00 О,'05 004 0,05 о,ог о,от о 1 г х 4 5 0 0 0 101014151вгоггг4го 00 Рис. 8.1 а, 6 оц о,в о,в 0,5 0,4 0,3 о,г 0,7 Р,ОВ о,ок 0,05 о,оо 0,05 ' о,ог 0,07 г У Ф К В 70 7г 7г Гг ост Р,В о,в 0,5 п,о 0,5 о,г 7,0 О,РВ о,ов О,'О5 о,ог 0,05 о,пг 0,07 ' о Г Ф в в 10 7г Г Рис.
8Л г, г Го=.0,05 Го=0,.75 04 Го=0,1 015 07 0,7 0,5 сР 0,1 05 0,0 0 0 1г 15 В 0 0,07 005 01 ра 005 01 0,7 Го=0,01 00л 0ст 0,0 ,,л о~ гг 0,7 гз сз 0,1 15 81 0 0,0г 005 0,1 0,5 0,0 б В 17 Рнс. 8.1. Определение температуры в зависимости от Го и В! при Те=соне) в средней плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на оси (в) и на поверхности цилинд- ра (г); в центре (д) и на поверхности шара (г) Как видно из рис. 8.3, медленнее всего охлаждается плоская стенка и быстрее всего шар, т. е.
кривые располагаются в порядке изменения отношения поверхности тела к его объему. Чем больше это отношение (при )7 = (беш), тем быстрее изменяется температура тела. 8.5. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ТЕЛЕ ПРИ ТЕМПЕРАТУРЕ ВНЕШНЕИ СРЕДЫ, ЛИНЕИНО МЕНЯ)ОП(ЕЙСЯ ВО ВРЕМЕНИ Рассмотрим протяженную пластину толщиной 26. В начальный момент времени пластина имеет температуру, равную температуре окружающей среды Тош С этого момента (1 = 0) окружающая среда начинает изменять свою температуру по закону То Тоо + "й (8.5.1) 79 тра 0,0 гг., гг з.
ЙО7 7 гз -гз гз гз.. гз, о 0 70-' Ю ' 70' И' В( ю' т' 0,5 от' о5 о от 01 т' 70-4 70' и' и' В 0,5 о о) и-' ю-' ю' и' ю 70 Рис. 8.2. Определение тепловых потерь в зависимости от Ро и В! при Те= =сопя( пластины (а), цилиндра (б) и шара (и) 0,5 0 07 0,2 0,5 04 Го Рис. 8.3. Температура в центре или на оси некоторых тел прн То=сопя|, 8=77о и В4=-; 1 — неограниченная плита; у — бесконечно длинная квадратная балка; 5 — бесконечно длиннма пнлиндр; 4 — куб; 5 — цилиндр с высотой, равное диаметру; б — шар оц 0,0 о,к 0,5 0,4 0,3 о,г поп п,ов о,ок 0,05 о,а4 о,пя опг п,оя г х 4 5 к г в 505г54555вгоггг4гк Рб ост а,в о,к 0,5 П,4 п,ю о,г о,ч п,пв п,ок 0,05 0,04 0,05 п,ог о,оо г ю к к г в 505г 54 5ки гоггг4гк Рис.
8.4. а, б ~и о,в о,в Р,Х 0,4 0,.7 0,2 п,~п п,пв П,РВ Р,пв 0,04 П,РВВ .0,02 Р,От г х 4 к в 2 в ~вин ывыгоггг420 и ост п,в о,в о,в 0,4 о,ю о,г о,~о п,пв о,ов п,ов О,04 о,пв п,ог оов г я 4 в к 7 в ю~гжижгпг224гв и Рис. 84 в, г па о,в о,в 0,5 П,4 а„у п,г 0,(0 а,аг о,аг п,пп П,П4 0,00 п,пг 0,0( г г 4 г г у г)0)г)4ж1ггпггг4гг г пст п,в о,г 0,0 а,4 о,в о,г 0,)п п,ог о,ап 0,00 0,04 П,аг оог 0,0) г я 4 г г т в )аижтгтггаггг4гг гю Рис. 8.4.
Определение температуры в зависимости от Го и В! при Т,=Тге+'о( в средней плоскости (а) и на поверхности пластины (б); на осн (а) и на поверхности цилиндра (г); в центре (д) и на поверхности шара (е) 0 Оа 0,5 0,5 0,4 п,г О, 10 п,ов о,пв О',05 О,О4 0,05 п,пг .0,01 г в 4 5 в 7 в 10 1г 14 101в гоггг4гв и оо о,в О,'5 0,4 о,в п,г 0,10 0,0В П,по 0,05 О,04 0105 оог 0,01 г х 4 5 в г в 10 1г 14 101вгоггг4гв г Рис. 8.8 а, б гпа о,п п,б ОО4 П,тп Пго ПгВ ОВВ а44 ро А~ п,в п,аб ПУг П,гп ПВВ Ооб П44 Ро о,в а,б ог П,пб а,(г ППО ОдВ Ппб О44 ро Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
