Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С. (1013620), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(9.8.8) Эта формула означает, что в ядре турбулентного пограничного слоя между пульсационными компонентами скорости течения существует корреляция: У„Уу удш)ду. (9.8.9) Формула (9.8.8) может быть обобщена введением некоторой характерной длины 1= И($) (9.8.10) (9.8.11) д дг да дз йд у пе 103 причем в области у, ( у « б 1 (й) ж сопз1 = х.
При таком обобщении формула (9.8.8) примет вид ( днт дее тт= р1 ду ду где введение модуля производной скорости по нормали к стенке обусловлено необходимостью сохранения знака касательного напряжения. Формула (9.8.11) впервые была получена Тэйлором. Прандтль назвал величину 1длиной пути переме- 'Уа птивания. При этом он исходил из аналогии между турбулентным пе- Г -~.'' "' ремещением условных молей жидкости и движением молекул в газе. в а аналогом длины свободного пробега молекул. Такая схема, как выяснилось в дальнейшем, не является достаточной, поскольку в турбу- ' ~ ' ( 4 лентном потоке переносы в действительности осуществляются спектром пульсаций.
Однако сама формула (9.8.8) оказалась весьма эффективной и, как это было показано у выше, получается в качестве первого приближения из общих соображений о свойствах плоскоготурбулентного потока. Во внешней части пограничного слоя имеет место условие 1 -а- ха б, (9.8.1 2) Рис. 9.2. Распределение коэффициента турбу- лентной вязкости по радиусу трубы в изотерпричем константы х и х связан мияескои потоке несжимаемой жидкости друг с другом. На рис.
9.2 показаны изменения кинематического коэффициента турбулентной вязкости от = ртур и длины пути перемешивания по радиусу гладкой трубы по опытам И. Никурадзе. При Ке ( 1бо влияние молекулярного трения проявляется в некоторой степени во всей толще потока. При Ке ) 10' турбулентные характеристики потока практически независятотмолекулярной вяз- кости среды. Для пограничного слоя на пластине х, = 0,07 — 0,09. При течении в трубе это значение примерно в два раза больше в связи с тем, что максимальный масштаб турбулентных пульсаций в этом случае имеет порядок двух толщин (радиусов) пограничного слоя.
Около стенки действительно оправдывается формула (9.8.8), причем по этим опытам к = 0,4. При течении в шероховатых трубах на значительном удалении от выступов значение 1 такое же, как и при течении в гладких трубах с большими числами Ке. Тэйлор обратил внимание на то, что при отсутствии действия вязкости каждая частица жидкости может сохранять свою завихренность, в то время как возможно изменение ее количества движения под влиянием местных пульсаций давления. Если все существующие в течении вихри имеют оси, перпендикулярные к направлению осредненного течения и к направлению градиента осредненной скорости, то течение будет двумерным. Введем в уравнение движения плоского невязкого пограничного слоя величину вихря (9.8.13) Получим ! др двх + д ( ~х+~д р ду д! дх (, 2 Осредняя это уравнение с введением пульсационной составляющей вихря !э', получаем р дх д! дх~ 2 / дх ~ 2 Отсюда следует, что ( 2Ую(о' = — +шх +шч (9 8 18) р дх дх ! 2 / д! дх ' ду и для равномерного вдоль оси х потока (9.8.17) дтт)ду = р2$"у )о)'.
! дв Осредненное напряжение вихря в каком-либо слое равно — —, и, следо- 2 Ыу ' вательно, при перемещении на длине пути перемешивания переносится избыд /1 Йо~ точная завихренность — 1 — ! — — !, т. е. ду (, 2 ду/' 2в' = — Й)х !р!с(у'. (9.8.18) Отсюда ЙР(Йх = т)тт)г)У = Ф'р !1' шМУ', (9.8.19) в то время как по Прандтлю (9.8.20) Эти выражения совпадают только при независимости Л~„от у. Измерения распределения температур в следе за телом подтвердили правильность идеи Тэйлора.
На пространственные течения полуэмпирическая теория длины пути смешения Прандтля наиболее эффективно была перенесена Н. И. Булеевым. На других полуэмпирических теориях турбулентности мы здесь останавливаться не будем, отсылая читателя к литературе, названной в конце этой главы.
Укажем только, что М. А. Гольдштиком и автором значение константы х 104 было определено теоретически, исходя из теории максимальной квазилами- нарной устойчивости турбулентности пограничного слоя. Эта теория позво- лила впервые вычислить и другие важнейшие характеристики плоского тур- булентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.
9.9. СВЯЗЬ МЕ7КДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ТУРБУЛЕНТНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ВЯЗКОСТИ Нз рассмотрения теплопроводности в направлении оси у в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости в соответствии с уравнением (4.4.6) ()т = ср р)тр с) ° (9.9.1) Следовательно, пульсация )тр переносит избыточное теплосодержание срр(9. По аналогии с переносом количества движения или вихря можно положить 6 — (т дТ(ду; г(н) г(Т тут = срр(т1 — — . с(0 г(0 (9.9.2) (и— дт дт, Лт = иср )зт, ЛтгЛ = и Рг (йт!у.
(9.9.3) или (9.9.4) Рг 0,4 0,6 ЛВ ав (О 00 О,б 04 ОВ Шнг 40 )рт О 0,0 0,4 О,б ОВ тг77 Рис. 9.3. К определению турбулентного числа Прандтля: ! — Рг = 1 (схема Праадтла); т Г-Рг 0,75 (эасперпмеат); т 3 — Рг 0,5 (схема Тэйлора) т Рис. 9гк Изменение турбулентного числа Ргт по радиусу трубы для значений Пе = (3,2 —:7,3) (О' 3десь е — коэффициент неподобия рассеяния тепла и количества движения в результате турбулентных пульсаций скорости. Величина, обратная е, имеет смысл числа Прандтля для турбулентного обмена: Ртт = ср )(т(ЛТ. (9.9.5) По Прандтлю эта величина равна 1, по Тейлору 0,5.
На рис. 9.3 приведены данные о соотношении турбулентных коэффициентов диффузии импульса н тепла в свободных струях, а на рис. 9.4 — аналогичные данные для пограничного слоя в трубе. 9.(9. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС В ВЯЗКОМ ПОДСЛОЕ На поверхности жесткой, непроницаемой пластины при отсутствии сколь- в(ения имеют место условия (у=О, п)„=п)рммО, 1)„=170=-0). (9.10.1) 105 3десь 1т — длина пути рассеяния теплосодержания, в общем случае не обязательно равная длине пути гидродинамического перемешивания й Сопоставляя эти выражения с соответствующими выражениями для турбулентного трения, можно написать Отсюда следует, что прн У„У„О; у — «О) т-+.1х(дю 1ду)„; (9.10.2) у Ф.
Следовательно, в непосредственной близости от твердой стенки существует область течения, в которой распределение скоростей практически полностью определяется молекулярным трепнем. Зта область турбулентного пограничного слоя 'Гк,/'мх 0,4 0 10 хд до 1 Рис. 9.5. Относительные значения пульсаций скорости в канале с параллельными сгенкамн: )г ууухх~ О )' кг!хх' о — ) кх!хх называется вязким лодслоем.
Условную толщину вязкого подслоя мы будем обо- значать, как и ранее, через у„полагая, что прн (0<у<уз, ргсь.р). (9.10.3) (9.10.4) то нз уравнения неразрывности пульсацнонного течения следует, что У„-~ — ' — у (У- — уя, Г д Г днгх тот ,) дх(, ду (9.10.5) Отсюда следует, что в вязком подслое турбулентное трение пропорционально расстоянию от стенки в степени не меньше третьей: ( < . у )кг. у у а) (9.10.6) На рнс. 9.5 приведены экспериментальные данные Е. М.
Хабахпашевой н Е. С. Михайловой, показывающие, что продольная компонентатурбулентной пульсации скорости действительно пропорциональна продольной компоненте осредненной скорости. Из соотношений (9.10.2) и (9.10.6) следует, что )ьт 'г 'гь — рЧ~. (9.10.7) у-го 106 Однако это не означает малости соотношения кг н )ь, поскольку последнее зависит по формуле (9.9.4) еще н от значения числа Прандтля жидкости.
Поэтому прн Рг )) 1 турбулентный н молекулярный переносы теплоты в вязком подслое могут быть вполне соизмеримы. Очевидно, что под влиянием молекулярного трения корреляция типа (9.8.9) между пульсацноннымн компонентами скорости течения будет нарушаться. действительно, если положить У„- (днг„Уду)„у = (т„ур) у, ;для турбулентного переноса тепла в вязком подслое необходимо учесть то обстоятельство, что пульсация температуры с1 коррелирует с компонентой пульсации скорости г'о, т.
е. в предельном случае при р -~ 0 (61$'о Ъ'о У~ ЛИЛ +' Рот РГ Чо). (9.10.8) Прн этом 6г Ж 14/а, (9.10.9) Более детальный анализ показывает, что зависимость (9.10.8) тем точнее, чем больше число Прандтля. 9.11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ ВБЛИЗИ СТЕНКИ Введя в уравнение (4.2.20) выражение тг из соотношения (9.8.8), получим т р (ш~,(р+ р(о(Д~,~ (у)2 (9.11.1) При этом в области вязкого подслоя (у ( ут) т )) тг. В переменных тр = в/оо и т1 = о*у!ч уравнения для касательных напряжений примут вид (при т(рЯх = 0): в области 0 ( Ч ( Чт, где т), = о'у,!ч, т(тг(Н7 — т = 0; (9.1 1.2) в области Ч ) Ч, йр т' 1 Пр 'то — +( — т) — ) — т= О.
(,Р ач)' (9.11.3) 3десь и далее под величиной о' понимается динамическая скорость на стенке. Из условия монотонности профиля скоростей следует, что (г(Ч/(Ч)ч, о =(йр!г(Ч)ч.+о. (9.11.4) Если принять во внимание, что у, (( 6 и, следовательно, в области у ( у, т ж 1, то из выражения (9.11.3) следует, что при Ч ( Ч, %=Ч (9.!1.5) Из уравнения (9.1Р.З) следует, что при Ч ) Ч, (9.11.6) 2 (1Ч!Н)о Чв где в соответствии с выражением (9.11.5) то, = Чт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
