Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С. (1013620), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Профиль скоростей находят через функцию 9, которая впервые была вычислена Блазиусом. Компоненты скорости течения находят по формулам гп х = ь' жо!'2; гп„= — — ' (бь' — ь). (10.2.5) 8 табл. 10.! приведены значения ь по вычислениям Хауерта. Таблица 10.! Значения функции 9 для ламииарного пограничного слоя на плоской продольноебтекаеной пластине =М4 Решение уравнения, определяющего поле температур, имеет вид (- 1! !) ! О ! О (10.2.6) Отсюда !"х — — йр? — ' ? (Рг), Т,г — Те ~, дУ?ст 2 р тх (10.2.
7) Г" й — ! ?(Рг)= ~~ ехр ~ — Рг~ ьс$ с($ о о где (10.2.8) 117 0 0,1 0,2 О,З 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0 0,00664 0,02656 0,05974 0,106!1 0,16557 0,23795 0,32298 0,42032 0,52952 0,65003 0,78120 0,92230 1,07252 1,23099 1,39682 1,5691! 1,74696 1,92954 2,!1605 О О, 06641 0,13277 0,19894 0,26471 0,32979 0,39378 0,45627 0,5!676 0,57477 0,62977 0,68132 0,72899 0,77246 0,8!152 0,84605 0,87609 О,ОО!77 0,92333 0,94112 0,33206 0,33199 0,33147 0,33008 0,32739 0,32301 0,31659 0,30787 0,29667 0,28923 0 266?5 0,24835 0 22809 0,20646 0 18401 0,16136 0,13913 0,11788 0,09809 0,08013 2,0 2,! 2,2 2.3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,! 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3„7 3,8 3,9 4,0 2,30576 2,49806 2,69238 2,88826 3,08534 3,28329 3,48189 3,68094 3,88131 4.07990 4,27964 4,48948 4,67938 4,8793! 5,0?928 5,27926 5,4792о 5,67924 5,87924 6,07923 6,27923 0,95552 0,96696 0,97587 0,98269 0,98779 0,99155 0,99425 0,996!6 0,99748 0,99838 0,99898 0,99937 0,99961 0,99977 0,99987 0,99992 0,99996 0,99998 0,99999 1,00000 1.00000 0,06424 0,05052 0,03897 0,02948 0,02187 О,О!59! 0,01134 0,00793 0,00543 0,00365 0,00240 0,00155 0,00098 0,00061 0,00037 0,00022 0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001 Средний коэффициент теплоотдачи по пластине определяется формулой 1 с се= — ! и с!х, е,! о (10,2.9~ откуда (а/Л) /, =/(Рг) ( е ~ ) ~ Значения функции / (Рг) приведены в табл.
10.2. (10.2.!О! Таблица !92 Значения /(Рг) для ламинарного пограничного слоя на плоской продольно-обтекаемой пластяне 0,01 ! 0,1 0,7 ! 1,0 ! 3,0 ! 7,0 Рг ! 0,003 ! 0,005 /(Рг) ! 0,0556 ! 0,0770 0.104 0,266 0,536 ! 0,664 ! 0,956 ! 1,29 50 ! 100 ! 300 ! 500 ! 1000 ! 3000 Рг ! 10,0 15,0 2,50 ! 3,!4 ! 4,52 ! 5,32 ! 6,54 ! 9,60 /(Рг) ! 1,46 ! 1,67 Для гидродинамического пограничного слоя точное решение дает значение с/ — — 0,664(т/цоо х)о,о (10.2.11) или сг — — 0,44/К е'"'. (10.2. ! 2) !0.3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ) Из условия (10.3.!) получим (10.3.2) с, = 0,47/Ке**, (10.3.4) что на 6% отличается от точного решения.
Уравнение импульсов (9.5.!6) при др/дх = 0 принимает весьма простую форму: г(бее/г(х= сг/2. (10.3.5) При автомодельности скоростей и температур относительно продольной координаты (т. е. одинаковости функций го (9) и 0(9) для всех поперечных сечений пограничного слоя) дб*е/дх = бее Я/г(х; (!!дог/дЕ)„= сопз(. (! 0.3.6) 118 Здесь Кее* = гнобее/то, го = гп„/и„9 = у/6, (ь = р/)г„б*е = б**/б— относительные параметры пограничного слоя.
При постоянных физических свойствах потока и аппроксимации профиля скоростей полиномом (9.6.10) в рассматриваемом случае имеем (Л = 0; го 2$ — 2Р+ $' бе* = 0,1175; ((гдго/д$)ст = 2). (10.3.3) Подставляя отсюда соответсгвующие величины в уравнение (10.3.2), находим, что в данном приближении Спответственно из равенства (10.3.5) и уравнения (10.3.2) получим (Рэсо сЗЕ)со 6 Йе„ (Р "со/"й)со ~!— 6 Гсе„ (10.3.7) 3десь Ь = 6/х — относительная толщина пограничного слоя; бо = 6о/х, где 6, — значение 6 при х = 0; Ке„= шох/то — число Рейнольдса, где х — теку- щее значение координаты.
При р = сопз1, 14 = 1, 6, = 0 в приближении (!0.3,3) Ь = 5,83/)т Ке, ст — 0,686/$' Ке„. (10.3.8) 10.4. ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОИ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ПРИ Рт)1 (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ) Вследствие аналогичности граничных условий вид интерполяционных профилей скоростей и температур оказывается одинаковым, т. е.
при полипояе четвертой степени шх/шо = 2у/6 2 (р/6)з + (у/6)' (Тес — Т)/(Тот — 7 о) = 2р/Ьт — 2 (р/Ьт)з +(У/Ьт)' 1 Здесь следует обратить внимание на то существенное обстоятельство, что, несмотря на аналогичность выражений (10.4.1), поля скоростей и температур, ваобше говоря, не подобны, поскольку при Рг чь 1 Ьт Ф 6. Перепишем уравнение энергии (9.5.15) в виде (при с(шо/с(х = с(аТ/к(х = От аЬ"' с„рш (҄— Т ) =)с ~ ~(~ ~') 1 (10.4.2) пх 1 дУ 1сс и подставим в него значения ш„, Т и йТ/т/у из уравнения (10.4.1). После интегрирования получим Во ( ~0 133 0 0214( о ) +0,0055( — т) Я= — (10.4.3) При Рг 1 возмущения, обусловленные молекулярным трением, распрост.
раняются на большую область, чем возмущения, обусловленные молекуляраой теплопроводностью. Следовательно, при т ) а 6 ) Ьт и значение отношения Ьт/6 лежит между единицей и нулем. При этом значение величины, стоящей в квадратных скобках последнего уравнения, меняется в пределах от 0,133 до 0,117, т. е.
всего па !4о4. Принимая в первом приближении среднее значение, равное 0,125, приводим уравнение (10.4.3) к весьма простому выражению относительно Ьт: а(6о) (10.4. 4) (сх 2 с ' ссо (10.4.6) 119 Находя интеграл этого обыкновенного диЯеренциального уравнения относительно Ьто и подставляя в него значение биз уравнений (10.3.7), окончательно получаем Ьт/хо|а С+186ат~/з хз/4/шз/з (10 4 5) Если на входной кромке (х -~'0) толщина пограничного слоя Ьт = О, то С=О и Ьт= 5,72 (а/т)'/3 (тх/шо)' lз.
Поскольку при обтекании пластины средой, имеющей Рг = 1, должяа иметь место точное подобие полей температур и скоростей, то в этом случаг Ьт = Ь. Сопоставляя формулы (10.3.7) и (10.4.6), находим, что с точностью до 2ога при ламинарном пограничном слое и Рг ) 1 Ь/Ьт= Рг')о. (10.4.7) Коэффициент теплоотдачи Л [ д(Т вЂ” Тат) 1 2Л (10.4.8) или 51 = 26т*7ре**, (10.4.9) где Реоо = гао 6т*) а.
(10.4.!9) Подставляя в уравнение (10.4.8) значение Ьт, получаем сс„= 0,35ЛРг1 ~з (спо) тх) ' ~'. (10.4. П) Средний коэффициент теплоотдачи пластины длиной й сс = — [ сс„с(х = 0,7ЛРг ма (спа)т(.) ыо о или в критериальной форме, полагая Яп = сс!.)Л и Ке = саа7.(т, можно запя. сать (10.4.12) %1 = 0,7Ргыа Ке' ~о. (1О.4.13) Второе приближение, дающее практически точный результат, получаем, вводя в квадратные скобки формулы (10.4.3) значение Ьт(Ь по формуле(10.4.7) первого приближения.
Решение имеет вид %1 = 0,715 (Рг — 0,161Рг' /а+ 0,041) '! з Кеыо. (! 04.14) Эта формула дает практически полное совпадение с точным решением, которое при Рг ) 0,6 хорошо аппроксимируется формулой Хп = 0,664Ргыз Кеы-'. (1 0.4.!5) !Озн ТЕПЛООТДАЧА ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОИ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ПРИ Рг«! (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ) о — "= —" Х12 — "-2( — ") +(-) И1-2 —" -'( — ") -Ь)1 "у+ а от -~-) [1 — 2 ~ -)-2 [ — ) — ~~) [ ~гу, 120 При Рг < 1 Ь < Ьт, т. е. тепловой пограничный слой проникает в область гидродинамически невозмущенного потока. Если свободная турбулентность этого потока мала, то профиль температур (10.4.1) можно сохранить н в данном случае, причем интеграл (9.5,5), определяющий величину Ьт, распадается на две области — область О < у < Ь, в которой скорость течения меняется от 0 до са„и область у ) Ь, в которой скорость течения равна скорости невозмущенного потока.
Отсюда вли — 0,3006т [ 1 — — + 0,480 ( — ) — 0,0735( — ) — 0,146( — ) ~~ . (!0.5.1) Определяя порядок отношения Ь)бт по формуле (10.4.7), находим, что уже прн Рг ( 0,1 в уравнении (10.5.1) можно пренебречь членами, содержащими ЬЬт в степенях, больших единицы. Интегрируя уравнение (10.5.1) при этом условии, получаем Ыбт — ~ 1,6 Рг' /в. (10.5.4) Ниже приведено сопоставление значений величин ! г| — Ыбт, рассчитанных при помощи формул (10.4.7) и (10.5.4): Рг=-т!а........
0,1 0,05 0,01 0,005 0 !' 1 — Рг|тз 0 731 0 795 0 885 0 910 1 )' 1 — 1,6Рг г тв .... 0,700 0,795 0,915 0,943 1 Как видно, для области чисел Рт, характерных для жидких металлов, практически можно пользоваться любым из этих приближений. Выбирая более простое расчетное выражение, после подстановки значения Ьг нз формул (!0.4.7) в (10.5.4) и осреднения по длине пластины получаем )чп ж 1,1)/(1 — Ргмв) Ре, (10.5.5) где Ре =шв 1.7а. (10.5.6) Таким образом, в области 0 ( Рг (( 1 увеличение числа Прандтля несколько саижаег интенсивность теплоотдачи по сравнению с решением для потенциального обтекания (ш =- сопл(, Рг = 0).
Объясняется это тем, что при Рг ) 0 в данном решении учитывается деформация профиля скорости в непосредственной окрестности стенки. 10.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛАСТИНЫ, ОБТЕКАЕМОИ ТУРБУЛЕНТНЪ|М ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ Как уже указывалось в гл. 9, отклонение истинного изотермического турбулентного профиля скоростей на пластине от логарифмического имеет кесто только в области значений 0,9 ( га ( 1. Поэтому закон трения при продольном обтекании пластины турбулентным пограничным слоем с постоянныки физическими свойствами можно вычислить из распределения скоростей по уравнению (9.1!.9).
Имеем (10.6.1) Подставляя в эту формулу у = Ь и га =- 1, находим ч гг сг 1 а*л Сч =$~ — — !п— 2 к т (10.6.2) 121 Ьт = 3,65 влг (10.5.2) (1 — 6/Ьт) гав При Рг — 0 Ьйт — О, чему соответствует значение толщины теплового слоя Ьт = 3,65 )г ах/в~. (10.5.3) Сопоставление последней формулы с первой формулой (10.3.8) показывает, что при Рг -+ 0 Соответственно можно получить новое, удобное выражение логарифмическм профиля скоростей: о1 = 1 + (1/х) загс!/2 1п $.
(10.6! Этому профилю соответствуют значения: 6"" = (1/х) ~'с//2 — с,/х'. Н = ба/6" е = (1 — (1 х) )7 2ст) '. Введя это значение бев в формулу (10.6.3), получим закон трения: (10.6.! (10.61 Подставляя в последнее выражение значения С =- 5,5, х = 0,4 и замета! что разность первых двух членов его правой части меняется весьма слабо, а лучаем относительно простой логарифмический закон трения Кармана: с!1'2 = (2,5!п ахене+ 3,8)-'. (10.61 Для степенной аппроксимации турбулентного профиля скоростей типа (9.1! Х 1,1 $л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
