Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 13

е. когда с/„ имеет одно и то же значение во всех точках стержня. Для плоской стенки, когда Т является функцией только координаты х, из уравнения теплопроводности следует с(г Т/с/х'+ с/г/Л =- О; Т = — х' с/г/2Л+ С, х+ См (7.9.1) с/г = — Л(ЙТ/с/х),=в = — аг (Тг — Т„г); с)с = — Л (с/Т/с/х)„~в = ас (Т, г — Т ) = с/г+ с/гб.) Определяя из этих условий Сг и С„находим выражение для температур стенки: Т =- Т„л+ — ~ (6' — х')+ — "' (Т,— Т„,) (8 — х), (7.9.3) откуда Т,-| !ас/а + сс, 6/Л) Тг +дг !Ь/ссс+ 6с/2Л) (7.9 4) Тс,л— ! + ссг Ьсх+ аг/ас тг —.

тс — д (6/ас+ Ьс/2Л) Чу Ь ! + а, 6/Л+ ас/аг ас (7.9.5) Если одна поверхность стенки, например со стороны х = О, настолько хорошо изолирована, что можно принять а, = 0 и соответственно (с/Т/с/х)„в = О, то Т л = Т, + с)г (6/ссх + Ьс/2Л) ! Тсс,г = Тс+'с/и 5/ас. (7.9.5) 58 где Сг и С, — постоянные интегрирования. Положим, что со стороны поверхности, которая принята за начало отсчета координаты х, стенка омывается средой с температурой Т, и коэффициентом теплоотдачи а,. Со 'стороны другой поверхности среда имеет температуру Т, и коэффициент теплоотдачи и,.

Пусть Т, ) Т,. Тепловой поток через поверхности 'стенки равен Рассмотрим теперь температурное поле в цилиндрической односторонне охлаждаемой стенке. Когда Т является функцией только радиуча К, имеем: и т 1 ит чг — + — — + — =0 4й' й иЯ х ыт . чг я — =: — — У+С,; Ж~ 2Х (7.9.7) Т = — — ~ Я'+ С„!и Я+ С,, 4А Поскольку цилиндр односторонне охлаждаемый, то с поверхности охлаждения отводится только тепло, выделившееся в цилиндре за счет внутренних источников. Это тепло равно 9* = и (Йг — Й1) 7г Если цилиндр охлаждается с внешней поверхности, то Ч*= — Х(йТ(г(й), 2пй,= 2~Я~(т„д — Т ); ((т( (Ци, =О.

Т=- Т, + ' ( — ~1 — ( — ') ] + 1 — ( — ) — 2 ( — ') 1п — ') . (7.9.10) Температура внутренней поверхности цилиндра Т„д — — Т,+ ~ ~ (( — +1 ) ~1 — ( — ') 1 — 2 ( — ') 1п — *~. (7.9.11) В том случае, когда известно значение т„л (например, путем измерения в опытах), константа С, может быть вычислена из уравнения (7.9.7) при Т = =тетин )7=А', н Тст.2= Тс,,т+ ' ~2!п — '+ 1 — ( — ') ~.

(7.9.12) 1 ~д~/ Лля сплошного круглого стержня (Я, = 0) уравнение температурного поля имеет вид Ч~~~~а ~ 2Х, ( Р)*~ (7.9.13) Температура на оси стержня чу ~~2 г 2х т„,= т,+ — ( —.+1). 4Х (ай, (7.9.14) Температура на поверхности стержня Та=я, = Тч+дг Р,,(2о = Та=о — дг Я/4Х. (7.9.15) Если цилиндр охлаждается с внутренней стороны, то граничные условия можно записать в виде д" = а2п)г, (Т„л — Т,); (г(ТЫ)1)и, =- О.

59 Здесь )г, и Я, — внутренний и внешний радиусы цилиндра; Т, — температура охлаждающей среды. Определяя отсюда значения постоянных интегрирования и подставляя их в интеграл уравнения (7.9.7), получаем выражение для температурного поля Соответственно Т=Т, -1- У ' ~ — [( — ') — 1~+- 1 — ( — ) +2( — ') !п — ); (7.9.16) Т„,=Т,+ — "' [( ~')' — 1); (7.9.17) 7 ст,а = 7 о + — (( — — 1) [( †' ) — 1~ + 2 ( †) !и †' ) . (7.9.16) Для шара с равномерным отводом тепла по его поверхности РТ 2 с1Т Чу — + — — + — = 0; ду)с = За(Т вЂ” Т ). — а — ст а ° (7.9.!9) Здесь Тс, — температура наружной поверхности шара; Т, — температура окРУжаюшей сРеДы; 1с'а — РаДиУс шаРа. ОтсюДа выРажение ДлЯ опРеДелениЯ температурного поля в шаре имеет вид Т = Т„+ 07у)бА) ()7с — )7) Температура в центре шара Тп = Т + ду )7а!6А (7.9.20) (7,9.21) н температура поверхности шара Т., = Та+В~ )Со!За.

(7.9.22) 7.10. СУПЕРПОЗИЦИЯ ПОЛЕЙ ТЕМПЕРАТУР 60 Если в теле имеются сосредоточенные источники и стоки тепла, описываемые линейным дифференциальным уравнением, причем граничное условие тепло- обмена также линейно, то температурные поля, создаваемые отдельными источниками, независимы друг от друга. Следовательно, результнруюшее температурное поле является суммой температурных полей, создаваемых отдельными источниками н стоками тепла. Это свойство таких полей позволяет сравнительно просто решать ряд задач путем введения в расчет фиктивных стоков или источников тепла.

В качестве примера рассмотрим тепловые потери нензолированного круглого трубопровода, заложенного в грунт(рис. 7.10). В полу- бесконечный массив на глубину А заложен трубопровод диаметром Р. На поверхности трубопровода Т = Т„ на всей поверхности массива Т = Т,. Последнее условие означает весьма интенсивное охлаждение поверхности грунта илн достаточное заглубление трубы, так как в ином случае поверхность массива над трубопроводом была бы прогрета значительно сильнее, чем более удаленные области. Заменим рассматриваемый трубопровод линейным источником с той же плотностью тепловыделения (+да, Вт!м). На плоскости чертежа этот источник изобразится точкой иь Далее, поместим над поверхностью грунта еу зеркальное отображение нашей системы. При Рис. 7.10. Зад о трубопроводе этом отОбРажениЕ источника т„нахоДЯШЕесп а поауограаичеапом массиве в точке тт, будем рассматривать как сток с тепловыделеннем ( — до). Таким образом, получаем неограниченный масснв с источником, стоком и нзотермой Т„нзображающей поверхность грунта.

В таком случае изотермические поверхности независимых полей источника и стока должны иметь внд концентрических окружностей. Применяя к ннм формулу (7.3.2), можем написать Т То = (до!2лХ) 1п (Я Ъа)' Т" — То = (до/2п) ) ]п Я")Уо)- Здесь )о — коэффициент теплопроводностн грунта; ]7' и )к" — радиусы, проведенные в данную точку от источника и стока; у, — расстояние по нормали от поверхности грунта до источника н стока. Суммируя этн поля, получаем Т вЂ” То = Т' То+ Т" — То = (до/2лХ) !и (]("Я'). (7.10.2) (7.10.8) )(' =х'+(у,— у)', Подставляя этн значения радиусов ]о' и Я" в уравнение (7.10.2), получаем Т вЂ” То — ~ 1и ~ У' У 1 (7.10.4) 2иа ! к' + (Уо У) ] Согласно последнему выражению, нзотермы результирующего поля имеют вкд окружностей, центр которых перемещается вниз от точки т, по мере уменьшення Т.

Поскольку поверхность трубопровода является окружностью, ее можно отождествить с нзотермой Т = Т,. Для точки )о на верхней образующей трубы К = у,'+(й — й,);~ )~» =Уо (й )~о)~ где й — глубина залегания осн трубы; Яо = О/2 — радиус трубы. Для точки л на нижней образующей трубы йо=)Г»+Мо',~ )~» = 2Ка М (7.10.5) (7.10.6) Кроме того, И,"Я; =-)7»Я», (7.10.7) поскольку точки й и л принадлежат одной и той же нзотерме. Из этнх соотношений следует, что У,»,' Тк = (К -]- О) ((Р— Тд; )к» вЂ” )о» =-26 — О. (7.10.8) Следовательно, для любой точки нзотермы Т, (7.10.9) Подставляя это значение )7 "/)7' в (7.10.2), получаем формулу Форхгеймера: 2их (Т, — Та) )п ]2ЫР+ У(2»(Р)о — 1 ] Тепловой поток с участка трубопровода длиной 1. равен (;) =доЬ.

(7. 10. 10) (7. 10. 1 1) 6$ Поместим начало координат на пересечении осн т,то с поверхностью грунта. В этом случае т О, а Ф о О 3 х О. о а о Ф О Ф Ос с О, О ак т а '" яР та ат а т «к« О Фк «о «к а Оа 3 3 Я„ К 3. а Б и о а о Ф о а о О, о а о Ф О' Ю т а а 3 а 3" а а 3 о о 3 х Ф О Р Ю й Ф а. а Б И О. О е. а ы О т т 3 а а к о о а т « й а, с 'О О О О. Ос ! [ ФЧ о О, о а Ф о О, о 3 а Я о Ф а о а Я » Ф В 33 х 33 Ф а а Ф Ф 3 о О. Ф о а а о х о « Ф З а. с $ с о х а а О' Ф й О, а 3 а Ю Ф о с и « к к к 3 а О. е т 33 М Б Ф аБ а т Б а т ОС т О т Ф х Ф а Ф а О' а Ф О' ф Ф ат Б о а а Б Ф о са а Ф о СЯ:Ф СЧ Я Я Ф М О. Ф 3" о О, а а а Б ко И 4 33 О Ф х а Сс т «х а а Ф Ф к Ф М Ф х а о а т 3 а 3' а о о и Я Ф са о -<Ы О3 т а Я а а с а Ф М 3Б О..-, о О а т~ О Ф х 3 Б а т а 33 а а т Ф Ф о С3 а и от а а 3 ох ха а а Бт ,,3 а ах 3 ах ах ОФ т а 33 а « 3 а, «3 О а .я а т « аа х Б Ф "а а о с а а о а;1 Ф СО со ь со са 3 3 3 «3 С3$ 8 8 сс ас оооо «3 са СО са са сч«с со С 3 СЧ СЧ С'3 СО са сс сс «3 — са оооо ас са о са Ю СЧ3.ОС -~У + о (,к + -1Б 33 6 ФЯ С~ Г1 Ст + !Ст 3Б! « с 62 о" С~ Ф х ! С~ + + *х о х т х а х о х 63 — (.с + ~0 -Р ох х о т х о, т т о, ох х о о х =6И Ойх тох о.

о ~оо 3 б о х ,Ы ~ Д' о +. -~~ а 0 Е ох х о х х 'о т а о х х 3 о о т х 3 ы о. о о Ю о ох ыо оа о х о „ о аале х ! Ф б х х ох ао а х М о ( Ю о ! + х о х + ! + + + ь",! л ! 6: ль Й х а х х о. о о с х хМ аа > о И аа о хх х а >х оо ах с х ах о х «о «о >- о х х й оа о> Е> а х а и о а о о х х й а д + .~ ! сх с о, о » о х х и о ЮЯю о, й ~ф с:( о х о х сх х,б х х~ 1~ ". !.У «5 х + ! + И~о о !2 х >4 я ++ а~ + х + + .с -Я =. + л Жо, >. сх з о >, о х о х охс ', а>оо х охоЖ О о хо охсс о >х о "о > Оссх с р о > о. >Их Хоо Р а,ц о. хМ о о о и .а « Ф х у х «о„д о" й д Ф 1- "й ь о Ф о, о о ( о й[ ЛФ Фа ОФ~Ф5 ьооХ о о ь Ф ь„Х хххйх о Фо Ф,х хо йохо хох Фхдх х о о»э Х ь О ФФЗ о ах Э Ф й «О О,й Фоьо Х О Ф О Д «Ф О Ф ййййо 3 За«.

795 Хо 1|,Ф Ю Ф о ох Ф «х Ф 3 о Ф й ь х Ф,Ф дь+ «' х о О о»Ф 3 й ~~ "Фо ооо о о «ФФ Ф х о.х х О ьФ о й Д х х х о о ФИФ 3 Ф Фох О. Х ООХ « о" ьо хоо ФБФ ДФ О О 1ХФФ о х З е~о Ф Ф « о ь ь о » ФОО ФФФ х ФФО 5 О ФФХ ох ХФФ да о о ах «' ~/Л 1~ 8 !~ Ф О а' Ф «3 «« о » о о О с« Ф о дх Ф х Б х х о ы Ф М оо »а О х оа в вв х х ох а а х о М о с х с' о о сс сс- х ОО о» х 5 хо с" о и о сс о о ю О х х х о.

с р о х + о сс + » с с о с сх о о х о а сч Г. х Я~сХ а Р 6 В с'о ы х хо ,х х о да ха о, хо хо с», сс, а О О Мха а ох х сс сс, сс а х о о с х х а х х О» О' х о Й~ а,, о»д а о о о *х х о аХ ха» охо а о » о. с ххи х о о с о х ~Г~- ~сх 'у ох х а а о о ох х х х х О О ох» о х о а а»' а Хо азха а х о а а о а Ооа сс х»д о, О О о о хаох а о 2 хо х ах*И а сода ххоо БО х хо »,о о а о»ха а хх о а ахх со,ох х о а х о~ х ° а о х а о. аоах Х ах а о а охОоа »ао.о х х хс.

а а х о Хаххо Оооо »' сс Х И й,Ф Ф Д3 О иийи Ф3 й и ив и~их и И "и м 4хЯЬи о ииХи ~~оияи щи и ии~о и ииощ Д д,ии д,.а и и о~ к Ф и Ж "О й й с Ю "оо иаэс Ж» иихф Р' И Яхр ~~ай Мой и и % О о Ф х о х х ь о а о о о о х х х с х д а О х д д хк о ьх о д х с 9 с' ох д хс ха о ь у Йх о "х о хо д о аь ьх о о хь 3." Е +~+ хм схо с о'х ь хо ао ь%х ох ход ох о х Б хохх х с хх о Х о х о,о.8 ххх х о х,х 0)о о о„х охи и х ах х ох х с1 с х с1 о 'о'х х „х о б о хо ой х с' о с д о Х~ х хо хо о х с~. х сс о ь \ .с х о. Ю одх о,х о х х ооь ххо хй Ях ~х х с. оо а хд о о (а о,.