Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 11

е. с полем температур для тела той же конфигурации и Л = сопз1) формулой Т= (а!Ь) (3/1+2Ы/!а' — !). (7.1.! 9» т, Л= ' ~ Л(Т) (Т. т, Таким образом, тепловой поток в изотропных телах с коэффициентом теплопроводности, являющимся функцией температуры, может вычисляться по формулам, выведенным для случая Л ==- сопз1, при подстановке в эти формулы среднего коэффициента теплопроводности, определенного по формуле (7.1.16). Если поверхности, ограждающие данное тело, изотермические, то граничные условия к уравнениям (7.1.1) и (7.1.8) всегда подобны. Действительно, в этом случае на контурах системы соответственно заданы условия: 7зд ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ Рассмотрим плоскую стенку из однородного материала.

Высоту и длину стенки будем считать настолько большими по сравнению с ее толщиной 6, что температура в этих направлениях практически не меняется. Для этих условий (7.2.1) 1 (//(х =О; (/=[/,— ((/,— (/,)/Ь. Тепловой поток, проходящий через 1 м' поверхности стенки, равен д= — ((//(х = ЬТ)./Ь, (7.2.2) где ОТ = Т, — Т, — разность температур поверхностей стенки.

При этом принимается, что Т, ) Т,. Когда Х = сопз1, линейной функции [/ соответствует линейное же распределение температуры: Т = Тт +х (7 1 — Тт)/Ь. (7.2.3) При линейно меняющемся с температурой коэффициенте теплопроводности поле температур определяется через поле функции 1/ — в данном случае формула (7.2.1) — по формуле (7.1.18). Поскольку эти связи не зависят от конфигурации тела, далее все задачи рассматриваются для наиболее простого случая Х = соп51. При установившемся процессе и отсутствии внутренних источников тепла тепловой поток, проходящий через любое сечение многослойной стенки, один н тот же, т. е. при Йд/г[х =- О 7 ст,1 7 ст, т 47[1/от +а (Ь;/)и) +1/ат! (1 (1(п) . (7 2 4) Здесь а, — коэффициент теплоотдачи от более горячей среды к поверхности стенки, Вт/(м' К); а, — коэффициент теплоотдачи от стенки к более холодной среде, Вт/(м' К); Т, — температура горячей среды, К,; Т, — температура холодной среды, К; ); — коэффициент теплопроводности 1-го слоя стенки, Вт/(м К); Ь; — толщина 1-го слоя стенки, м.

Введя обозначения й= [1/а+2',(Ь,./),.) +1/а,[-'(1(/(п), (7.2.5) можем написать и = й(Т,— Т). (7.2.6) Здесь й — коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку„ Вт/(м' К). Величина Рь = 1/л является общим термическим сопротивлением многослойной стенки и слагается из термических сопротивлений 1/а„1/ат и термического сопротивления собственно стенки: 11.".=Х(6;/) )- (7.2.7) Частные температурные напоры могут быть выражены через полную разность температур с помощью формул Т вЂ” Т„, =(Т,— Т,) йа,; Т„,. Т„,. „,=(Т,— Тт) йб,./Х,.; (7.2.8) Т„„+,— Т, = (Т,— Т,)и/ат.

7.3. теплОНРОВОднОсть чеРез цилиндРическую СТЕНКУ На внутренней поверхности цилиндра задана температура Т„а на наружной Т,. Внутренний радиус равен /7,, наружный /7т. Длина цилиндра достаточно велика для того, чтобы пренебречь потоком тепла к его торцам вдоль 49 оси г. При этих условиях в уравнении теплопроводности (7.1.3) температура является функцией только одной координаты — радиуса Я: — + — — =О; Т=Т,— ' ' !п —. ЮТ ! ит Т вЂ” Т й (7.3.1) Лр~ П «Я !п Я,Яд Я, Отсюда тепловой поток через цилиндрическую стенку ) ( лТ') 2 )7 7 2пЫ,(Т,— Т,) 1Лд)а " г 1и(д7й) где 7.

— длина цилиндра. Для многослойной цилиндрической стенки ай = О; Я = й" (Т, — Т,) Ь, (7.3.3) (7.3.2) где lг* = 2л ( — + ')' — 1п '+' -)- ~ (1 (! ( и). (7.3.4) ,..и+,) Величина И называется коэффициентом теплопередачи с поверхности трубы длиной 1 м и равна тепловому потоку, проходящему через цилиндрическую стенку длиной 1 м при разности температур 1' С.

Если относить количество тепла не к 1 м длины трубы, а к площади ее внутренней поверхности или наружной поверхности изоляции, то Я = й, 2лй, Е (Т, — Тз); Я=йа2лй„+,7. (Т,— Т,), ) где йг = й*!2лйд', й, = 1г*/2лй„+ь (7.3.6) Т, — Т„, = (Тт — Т,) А*,'2лЯ, а,; Т„; — Т„;+ —— (Т~ — Тз) ! и— и 1 Тип и аз — Тв = (Тх — 7 з) й*(2лйи+~ п~ (7.3.7) Цилиндрическая тепловая изоляция в отличие от изоляции плоской может иметь некоторое конечное значение критического диаметра, соответствующего максимуму теплового потока. Действительно, тепловое сопротивление трубы с цилиндрической изоляцией равно l~~ и ~а,ГЗ, 2хир 0~ 2Хиз 0~ и~0из l Здесь 17, — внутренний диаметр трубы; 11, — наружный диаметр трубы; 17„,— наружный диаметр изоляции; Х,р — коэффициент теплопроводности материала трубы; Хи, — коэффициент теплопроводности изоляции.

Продифференцировав это выражение по В„, и при условии а = сопз1, получаем формулы Власова: лйи, дК'"(д0и, = 1/2Х„,— 1/аэ 0„,; Следовательно, при О„, = О„р тепловое сопротивление трубы минимально и соответственно тепловой поток достигает наибольшего значения. Критический диаметр изоляции не зависит от размеров трубопровода и коэффициента теплоотдачи а„ а определяется только коэффициентом теплопроводности изоляции и коэффициентом теплоотдачи в окружающую изоляцию БО Для промежуточных температур многослойной цилиндрической стенки сушествуют уравнения: среду. Чем лучше изоляционный материал, т. е.

чем меньше его коэффициент теплопроводности, и чем интенсивнее охлаждение изоляции, т.е. чем больше а„ тем меньше критический диаметр изоляции. Толщину изоляции, при которой тепловой поток становится равным тепло- потерям неизолированного трубопровода, можно найти из уравнения аз(Т„в — Т,) пР,=я(Т„,— Тз) — !п — "' + (7.3.10) / ~, 2Лиа 0з сзз Г/из / Изоляция становится эффективной тогда, когда сопротивление теплопереходу от поверхности неизолированной трубы к окружающей среде становится меньше термического сопротивления тепло- переходу через слой изоляции (рис.

7.1): — ( — !п — + —. (7.3.11) 1 1 Оиа 1 1 1 о"з /зз зхиз з/з соз з/из Стсюда диаметр эффективной изоляции должен быть больше значения Р„, „опре- 2 делаемого из условия — — — = — !и ~"' . (7.3,!2) О 4лз лЛи Рис, 7.1. Тепловые потери через ци линлрическую изоляцию в зависи мости от ее толщины: / — плохая изоляция !2ои <из Оз!З 3 — хорошзз изоляция Рассмотренное решение справедливо, когда аз не зависит от температуры поверхности изоляции и ее диаметра.

Это условие с известным приближением выполняется при вынужденном продольном обтекании изоляции охлаждающей средой. При вынужденном поперечном обтекании изоляции можно полагать (при прочих равных условиях) сс, = АР„,", где п порядка 0,2 — 0,4. Тогда (7.3.1 3) 4/З ! — л из и критический диаметр изоляции Р„р — — (2 (1 — и) Лиз/А]'/11 (7 3.14)1 При.

свободной конвекции ссз = Аз/зТю/Р' ', где ЛТ вЂ” разность темпера- тур поверхности изоляции и охлаждающей среды. Таким образом, с утолще- нием изоляции ссз будет уменьшаться даже при больших значениях Ли,. 7.4. теплопРОВОднОсть чеРез шАРОВую стенку Имеем полый симметричный шар, на внутренней поверхности которого задана температура Т, и на наружной Т,. Температура является в этом случае функцией только одной координаты — радиуса шаровой поверхности: ут хит . т — т / /1'! зИз йо/Гс 1 — /сз//сз 'з Й / ~ йТ ! 4 )~~з 4иХ (тз — тз! — ~,я/а, " — Из-з-йз-з (7.4.1) (7.4.2) Я=4п(Т,— Т,)~ —, +~у„— ( — — )-)-, 1 (1(1(п).

(7.4.3/ 51 Для многослойной шаровой стенки уравнение для теплового потока можно записать в виде Следует обратить внимание, что сферический источник радиуса )й„погруженный в неограниченную однородную среду Я, -+ оо, Т -э Т,), имеет конечный минимальный стационарный тепловой поток Ямин = 4Ы/1г (Т1 — Тэ) .

(7 4.4) Т.З. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ВДОЛЬ СТЕРЖНЯ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ На рис. 7.2 изображена схема к задаче о теплопроводности вдоль стержня (прямого ребра). Одним торцом стержень плотно соединен с твердой поверхностью (трубы, корпуса двигателя и т.п.), имеющей температуру Т,. Температура среды, окружающей стержень, равна Т,. Коэффициент теплоотдачи от боковой поверхности стержня к среде обозначим через а, коэффициент тепло- отдачи от свободного торца стержня к среде — через аы Вследствие возможного различия в температурах и условиях обтекания боковой и торцовой поверхностей стержня в общем случае аь чь а.

далее предположим, что тепе» "~ ас лопроводность материала стержня достаточно велика, чтобы можно было считать температуру по его поперечному сечению практически неизменной. Собственно говоря, эта предпо. а сылка равносильна утверждению, что вследст. вне большого отношения длины стержня к его поперечному размеру частные производные ЛТ/Лу и ЛТ/Дг существенно меньше частной производной дТ/дн. Изменение количества тепла, протекающего через поперечное сечение стержня, составит й~ = б ( — Х(1 дТ!йн).

При установившемся процессе это тепло отдается за счет теплоотдачи через элемент боковой поверхности стержня дР = = Рг/з, где Р— периметр стержня, м; бз — дифференциал криволинейной координаты, направленной по поверхности стержня вдоль оси н. Если толщина стержня б, то бз = )/ 1 + (1/4) (йб/г(н)' Йн. Отсюда уравнение теплопередачи в стержне принимает вид Х "~ (1) = м (Т вЂ” Т,) Р )/1 + (1/4) (~(6/Нн)'. (7.5.1) Знак минус в левой части этого уравнения взят потому„что при Т) Т, тепловой поток вдоль стержня уменьшается вследствие теплоотдачи с его боковой поверхности.