Гиперзвуковые течения вязкого газа (Дорренс У.Х., 1966 - Гиперзвуковые течения вязкого газа), страница 7

Преобразования (2.90) и (2.91) содержат как частный случай некоторые введенные ранее преобразования. Например, 1. Когда и„р, и )г, постоянны и )г О, 48 Гл. 2. Урагнгнин пограничного слои (-"1''"Г р' гго о Это преобразование Манглера '). 3. Когда и„р, и р, зависят от з и А=О, з= — ~ р,и,)г,сУз, о (2а) Г рг Это преобразование Иллингворса — Леви а). 4. В самом обшем случае з = ) р и р г" оЬ, О (2.91) а р.и"о г р ч= — '-, ) — Ф. (2а) о Ре (2.90) ') См., например, Н о чг а г1)г Ь., Моаегп аече!оргпеп!а 1п Пша аупагп1са, р. 382 — 386, Ох!ага ()п!чега!!у Ргеаа, !нею Уог)г, 1953. ') 1!11п ячгог15 С.

К., Ргос. йоу. Зос. Еопйоп, 199 (!949) ь е ч у 5., Д А ггопаи1. лс!., 21 (7), 459 — 474 (1949)г а) ьееа Ен 1г! РгориЫоп. 26 (4) (1956). Это преобразование Лиза — Дородницына'). Таким образом, мы имеем выражения, позволяющие преобразовать наши уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Применим их к остальным уравнениям пограничного слоя (2.56) и (2.72).

После некоторых алгебраических преобразований, аналогичных тем, которые делались при выводе (2.94), получаем полезные операторы ри — +ри — =ри,р,р,го ~~ = — 1 = — — = — )(2.95) а а,,аг,а,аЧ а ( ат аа )у '' ° ~ а а аЧ 2 аЧ) 2А. Сввддние уравнении пограничного слоя к обыкновенным 49 и для любой функции Г',1(з, р) Применяя операторы (2.98) (2,56), (2.72), получаем ') , дСг г дч дСг ! дСг дв дв дт1 2в дн 1 д ( С 2в дч ~ Зпг —,' (р) — „'). (2.96) н (2.96) к уравнениям дп,) рвриего'рг (2.97) и д7 дв ч-[ ( — „,— ~)Т, ','~',;]'<- — ",'(( —,— ~)сгг]. г (2.!02) ') Здесь С, ье, Рг, Бга — безразмерные числа, определения которых даются в и.

2.6 и далее, ье — число Льюиса, Рг — число Прандтля, Зго — гасло Шмидта. — Прим. рвд. 4 ь'. к. дерр , дт! д7 ! д7 Г— дв дл 2в дн — — — [ — — !) т Ь; — . (2.98) 2Т дн ~Зт11е ) 'дя~ Предположим теперь, что Сг(з, т1) и 7(з,т1) также являются автомодельными решениями, т. е, пусть Сг= (Се),яг(т1), (2.99) 7=7 8'(т1). (2.1ОО) Тогда уравнения (2.97) и (2.98) преобразуются в ( У С 1, 2в!'гг д (Сг) 2втвг З~ / (Сг) ~в рре ерег'о" (Сг) н Гя. и уравнения пограничного елоя Для сравнения можно показать, что уравнение сохране- ния количества движения должно быть (С(н), + .)е 2в ии ~(~,)г Р, 1 ие Р 1 Граничные условия для этих уравнений имеют вид при р = — О, и = 0 при у — н оо, т1 — е. со ( е)е Г'(0) =О, 1(0) = 1„, à — н1, 1 — нО, ~'(о) = д„', д' о, р(О)=я„, ее — и 1.

(2.94) Уравнениям сохранения массы отдельных компонентов, энергии и количества движения соответствуют преобразованные уравнения (2.10!), (2.102) и (2.94). Если — =к = сопз1, в о' (Сй (Се)е йв — ' =сопз1, " ' =сопз1 (ле) (С,) ~е ~~е — =' = сопа1 ~е — — 4 = сопз1, 2в е(и ие ов то л;|(и;), и р/р„зависят только от а1. В этом случае уравнения (2,101), (2,102) и (2.94) представляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной пн Как будет видно ниже, во многих интересных случаях эти ограничения выполняются, 2.5.

Некоторые частные интегралы уравнений пограничного слоя. В случае когда (а,) и д являются постоянными, можно, используя (2.101), (2.94) и (2.102) и соответствующие граничные условия, вывести ряд важных частных интегралов уравнений пограничного слоя. улй некогорь»е интеграла» уравнений пограничного слоя 31 Эти интегралы приводятся ниже.

— дуг 1. Если с(и„с(з = О, =' = О и 1 е = Рг = 1, то »гз у=а['+Ь (интеграл Крокко) '), или с использованием граничных условий для гг и ! вг = и в+»' ( ! — К ) . (2. ! 03) . 2. Если Япт=Рг, с!(С»),»»И=О, Н,!сХз=0 и и» вЂ” — 0 (замороженный поток) и если либо Рг=!, либо и,=0, то а»е а»п+Ь» (интеграл Пробстина) '), или с использованием граничных условий для а» и д з» =(з») + ') (д — д ). (2.104) 3. Если Яп»=1, гйз»=0 (замороженный поток) и — =О, то йи, и (СО, »!3 йз а»=ат~'+Ьа (второй интеграл Пробстина) '), или с использованием граничных условий для а» и 1' в»= (з»)„+[! — (з»),!!'.

(2.!05) 4. Если Яп»=Рг=1, ей»=0 (замороженный поток) и йг»1и, »1 (СД *' =О, из с»з»уз то из (2.104) и (2.105) вытекает а=аз»г'+ Ь,, и с использованием граничных условий для сг и !' получаем +Г(! — к ). (2.106) . '! Сгоссо 1.„3ойо Мга1о !ппие 1апппаге пе1 паз !ипяо ппа !агп!па р!апа, Кепи гни».

1»п»о. Кота, 2, ! 38 (194!). ) На ус з 'вг. О., Р г о Ь з 1е»п К. Р., Нурегзоп»с Г1очг Тйеогу, р. 294, Асадего»с Ргезз, 1пс., 1че»т уогй, 1959; русский перевод: Хейз У. Д, П р обе тип Р. Ф., Теории гиперзвуковых течеиий, ИЛ, М„1962, Гл. 2. Уравнения пограничного слоя Этот интеграл является частным случаем интеграла Крокко. 5. Если в=О, и,=О (критическая точка), 1.е=1, шт=О (замороженный поток), то а!=а,а+Ь! (интеграл Скала) '), Используя граничные условия для г! и д, получаем в,=(а,) + ( ') (д — д ).

(2.107) Это уравнение совпадает с уравнением (2.104) для ин- теграла Пробстина, но в данном случае отсутствуют ограничения ') =' = О, И, д(СО, ' =О. сгв г1в 6. Пусть г!(Са),/И=о, с(I,!И=О, 1.е=! и либо и,=О, либо Рг=1. Положим С! = ~ч'.~ Г„еС„, я (2.108) ри — + ро — = — ( 91) де — ) + р — (2.109) дСе дСа д г' дСп! дСп да ' ду ду(, ду ) д! на г! м просуммируем по )т, и в силу того, что масса элемента сохраняется [уравнение (2.27)) дС; — — ~Тая (2.110) получим ри — + рш — ' = — (рй!т — 1~ . (2,111) дСг дСг д I дС11 дв ду ду ( ду ) ' ') Я са1а Ь. М., гт)6 а!е О. 1., !п!вгп.

Д Нее! апг! Мана Тгапт(вг, 1 1!), 4 — 22 11960), ') Здесь речь идет лишь о решении н самой критической точке (в=о), а не о решении для всего пограничного слоя.— Прим, рвд. где гс а — та часть массы и-го компонента смеси, кото- рая вносится г-м элементом, С! — массовая концентра- ция 1-го элемента. Умножим уравнение К5, Иеногорьге интегралы нраннениа погранинного слоя 53 Используя (2.95) и (2.96) уравнению (2.111) можно придать вид (2.112) ~ —,„аг)'+/а! =0 в том случае, когда гг(С!)и/г/а=О н С, = (Сг),аг(г!). (2.113) Таким образом, если в (2.102) пг//с/а=О и 1е=Рг=1, то у!=пад+(га (ннтеграл Лиза) ), Используя граничные условия гг= (гг) гы д=д и а!=1 при 3'= 1, получаем 7.

Пусть с/(С,),/г/г=0, г//,/г/а=О, 1.е=Рг=1 и и,=О. Тогда, применяя (2.103) и (2.114), находим ~! г а/ +/га' (2.114) или, используя граничные условия, а! = (а!), + [! — (аг),1 /'. (2.115) Уравнения (2.103), (2.105) и (2.106) дают удобные соотношения между /', д и а, для замороженного потока, а уравнения (2.103), (2.114) и (2.110) — удобные соотношении междУ /', 3 и Ег длЯ химически РеагиРУющего газа.

У нас будет случай воспользоваться этими ценными соотношениями в дальнейшем. Очевидно,что ураннения (2.114) и (2.115) более общие, чем уравнения !2.105) и (2.106), так как последние вытекают из первых при Юг=О. Все эти интегралы перечислены в табл. 2.1 вместе с условиями, при которых они сушествуют. Нужно помнить при этом, что необходимым условием нх существо- вапиЯ слУжпт постоЯнство (аг)ы и 3' вместе или по отдельности.

'! Ьее а Е., Сопиес!1те Неа! Тгапа1ег аг!!и Мана Аон!!юп апа СЬеписа1 1!еас1юпа, !и «СогпЬпя!!оп апд Ргорп1юоп Тыгн АОАК1Э СоПояп!щп, р. 451 — 498, Регкапюп Ргеаа, Неги УогК, 1958. Таблица 2. Частные интегралы уравнениЯ ламинарного пограничного слоя Кля смеси реагирующих и нереагирующих иомионентоа бщ Интеграл Э нл 1 О 1 1 Π— ') О О О О Рг О 3 О О О 4 О Рг О О рг 1 1 1 О О О О О О Все а1 и Ь. постоевны. а ау Черточки означают, что соответствующие величины могут принимат.- любое значение.

2.6. Безразмерные коэффициенты переноса. Как вил но из п. 2.4, в уравнениях пограничного слоя появляютср следующие безразмерные коэффициенты переноса: Рг = — ~ — (число Прандтля), Ср р (2.116 (2.117 Ралгтср рг Ье = ~ = — „(число Льюиса), (2.118 й ою где С,~ул~СгС (замороженная удельная тепло- емкость). В этом пункте мы выясним значение перечисленны: пара метров.

Гл. 2. ерааненил ногранычного слон Бщ = 'а (число Шмидта), рагга л = аТ" ' + г гу =а,у+о гт = атУ'+г л = азу'+Д гу = ~ й + Ь- г, =ааА+д ге = ааУ'+ б, 2.6. Безразмерно~э коэффициенты переноса зо Рассмотрим выражение, входящее в правую часть уравнения энергии (2.72): (2.119) Упростим это выражение на основе уравнений (2.73а)— (2.73в), "- Д1~о,~)о„ет,.эт) э Я! или Подставляя (2.120) в (2.119), получаем э„(эз„- ' э э„ц.эо Е к,-я'-). (2.12|) При выводе (2.121) мы использовали определение чисел Рг, Зт и 1е, данное равенствами (2.116) — (2.118).

Первый член в выражении (2.121) характеризует перенос энергии за счет теилопередачи, второй — работу сил трения, третий — перенос энергии за счет диффузии. Введем безразмерные переменные и коэффициенты,определив их следующим образом: С Т и и = —. ие Гл, 2, 'еравнения ноеранинного слоя Преобразовав (2.121) с помощью (2.122), найдем, что й (дТ(ду) Тепаопроиояность 1 ри(ди/ду) Работа сия трении РгЕК ' р0„~ч", аг (дС;!ду) Лиффузии 1 4 ри (ди/ду) Работа сия трении Зпг ЕК ' р0 „~и~, Ь! (дС;!ду) Лнффузин Рг а (дТГду) Тепяопроеопность Япг а улети е т =(у,— 1) М„ С уДТ 2 ЕК= — ' ае где ЕК вЂ”.: иа/Ь, называется числом Эккерта.

Таким образом, при достаточно большом числе Е(с профиль температуры в пограничном слое определяется в основном членами, характеризующими работу сил трения, которые доминируют над диффузией и теплопроводностью. Кроме того, при достаточно большом числе Рг и фиксированном числе Эккерта работа сил трения преобладает над теплопроводпостью. Если число Бт велико, то члены, характеризующие работу снл трения, преобладают над членами, характеризуюгциати диффузию. Обратные утверждения справедливы при достаточно малых числах Рг и Ягп (для большинства газовых смесей оба зти числа меньше единицы). Если число Рг велико, а число Зт Мало, то в определении профиля температуры диффузия играет преобладающую роль по сравнению с теплопроводностью.