Гиперзвуковые течения вязкого газа (Дорренс У.Х., 1966 - Гиперзвуковые течения вязкого газа), страница 5

(2.35) ! Здесь 1/е есть мера частоты столкновений между частицами (хго и /-го компонентов смеси. Если 1/е велико, то столкновения часты и /, в (2,34) близко к >( . В прет(р) деле прн е, стре м я)цемся к О, получим равновесную газовую смесь.

Подставив (2.34) в (2.35), получим бесконечный ряд уравнений, а именно О = ~~~ РУ ( /(О), /(0>) (2.36) д/(о> д/(в> — +ч> — =,«[л'- (/(Р), /()>/+й> (/)и, /(в>)] (2.3?) у и т. д. Прямая подстановка показывает, что уравнение (2.36) удовлетворяется с помощью (2.33), Далее, подставив (2.33) в левую часть (2.37), найдем, что правая часть, содержащая интегралы от /((> и /(Р, равна выражению, включающему временные и пространственные производные от пь Т и чв Известно, что единственным решением уравнения (2.37) для функции /('>, удовлетво. ряющим с учетом (2.34) уравнениям (2.10), (2.14) и (2.15), является линейная комбинация членов, содержащих градиенты величин Т, ув, р и пь Козффициенты при этих членах определяются из системы интегральных уравнений, содержащих Чг, и„ Т.

Эти уравнения для первого порядка по е были решены Чепменом и Каулингом ') путем разложения части подинтегральных выра- ') СЬ а р >п ап 3., С а(т)(п и Т. С.„ТЬе Мв(ьеп>а()са> ТЬеогу о( Ь>аппп)(пгп) Сгавев, 2д ед., Сагпьпдде ()п)тегвну Ргевв, Хе)в уогК, ! 958; русский перевод: Ч е п и е я С., К а у л и и г Т., Математическая теория веодяородиык газов, ИЛ, М., 1960. 2.2. Уравнения газовой динамики жений в бесконечные сходящиеся полиномиальные ряды. Для получения разумной точности оценки интегралов требуется лишь несколько членов ряда. Этим способом получены явные выражения интегралов для коэффициентов переноса Рп, ц и л, но он не даст других функций распределения, кроме ~~~'.

Математические детали слишком громоздки для того, чтобы их здесь приводить. Подробное изложение можно найти в книге Чепмена и Каулинга, а также в книге Гиршфельдера, Кертнсса и Берла, на которые мы ссылались выше. Одним из результатов этих вычислений является выражение для скорости диффузии Чз — л' тч 1 т д!ойТ з1,= — р гл~Р, б — — Р; рлз в',в лгтг дг (2.38) ! где (2.39) При разумном приближении теория дает следующую формулу для коэффициента бинарной диффузии: 3 [2лй (тг+ тй)(т;т~)~Л Величина Рг в формуле (2.38) является коэффициентом т термической диффузии.

Интегралы столкновений Й~! г. >' и диаметр столкновений ом рассматриваются в гл. 1О. Известно, что интегралы столкновений непосредственно зависят от динамики столкновения частиц и, следовательно, от поля молекулярных сил. Заметим, что из уравнения (2.38) следует зависимость скорости диффузии частиц некоторого компонента смеси от градиента концентрации, температуры и давления. Однако в интересующих нас приложениях уравнения (2,38) зависимость от градиентов температуры и давления имеет второстепенное значение. Из теории Чепмена — Каулннга следуют также уравнения, определяющче теплопроводность и вязкость через интегралы столкновений йг)г . Эти уравнения прин 4' водятся в гл.

1О. В настоящий момент очень важно 3 р. х. лоррена Гл. д уравнения яовранинного слоя отметить, что уравнения газовой динамики полностью следуют из молекулярной теории. Лишь в определении поля молекулярных сил остается некоторая доля эмпиризма, которая может быть устранена при помощи квантовой теории, хотя такая задача, за исключением самых простейших случаев, чрезвычайно трудна. Использование молекулярной теории так, как это описано здесь, является наиболее рациональным подходом при изучении течений реагирующих газов.

Для такого утверждения есть два основания. Во-первых, метод позволяет должным образом ввести в уравнения течения члены, учитывающие химические реакции, и, во-вторых, члены, учитывающие межмолекулярные потенциалы и зависящие в основном от сил взаимодействия между парами одинаковых и разных частиц газовой смеси, входят явно в уравнения для коэффициентов переноса, которые следуют из этой теории.

При той форме записи, какая принята в данной книге, только уравнения сохранения для отдельных компонентов являются теми газо- динамическими уравнениями, которые содержат в явном виде член, учитывающий химические реакции. Скорость диффузии. Полное уравнение для вектора скорости диффузии, которое дает молекулярная теория газов, представлено уравнением (2.38). В рассматриваемых нами случаях можно сделать предположения, позволяющие упростить эти уравнения, Во-первых, большинство интересующих нас смесей будут существенно бинарными в том смысле, что 'все компоненты разбиваются на два класса, состоящие из тяжелых и легких частиц.

Например, диссоциированный воздух состоит из тяжелых частиц Ое н Х, и легких частиц О и К. Реакция графита с газовой смесью дает тяжелые частицы СО, и легкие Ое и Ые, а возможно, и СО. В том случае, когда для охлаждения используется гелий, тяжелыми частицами будут Оа и Хь а легкими — частицы Не.

Для подсчета потока массы О илп 'г' через Оа илн Ке, Ы, нлн Ое через СОе, илн Не через Хе и Оа с хорошим приближением может служить один коэффициент бинарной диффузии бм. Для смеси двух газов (2.38) лает агаве 1 г д1одТ 7, = — ' Огас(а — — Ог, (2 41) ра, а,аг, дг З.д Уравнения газовой динамики где бз определяется из уравнения (2.39) при 7' 2. Для Чз можно написать аналогичное уравнение. Кроме того, в бинарной газовой смеси гп1п12!1+ пгзп272 = О, (2.42) ГП1П1 + 1П,П, = ПГП, (2.43) П,+Па =л. (2.44) Если 61 и 62 находятся из (2.39) с учетом (2.43) и (2.44), то Ог дг (2.47) Отсюда, имея в виду (2.45), найдем из (2.4!) н аналогичного уравнения для Чз разность Ч1 — '(Г = пт,) д!ояр р / дг д!онТ ~ г дг (2.48) здесь В,'р йг= г тт„т,тапа (2.49) Комбинируя теперь (2.48) с (2 41), получаем — шп, ! д п1 1п, п,т11 д!ояр д!оя Тз ~ 1 =012~ +( ) +й — ).

п,т Гдг и '1 и р ) дг т дг (2.%) Удобно ввести массовую концентрацию с = п1т1, пт (2.51) где ~ч~~ т1пз щ г.1) (2.52) Зв б1=-82, (2.45) Кроме того, используя аналогичные уравнения для 172 и учитывая (2.42) и (2.45), получаем П12 =- И21 (2.46) Гл.

л. Уравнения оогранинного слоя так что д я~ т' дС~ (2.53) дг о т т, дг Подставляя (2.51) — (2.53) в (2.50), получаем Ч,= — Й„~ — (1опС,)+ ' ' С,— (1ояр)+ 1дг т дг + — 1 ~ йг (!од Т)~. (2,54) Итак, мы видим, что поток массы зависит от градиентов концентрации, давления и температуры. При любом данном направлении отношение различных членов, входяших в выражение для потока массовой диффузии, дает пропорции где йт — порядка !О-' для интересующих пас газовых смесей. Для большинства рассматриваемых нами случаев и поэтому хорошее приближение для К дает формула д Ч, = — йи — (!оя С,) (закон Фика). (2.55) Так, например, уравнение сохранения массы 1-го компо- нента имеет вид Р дг +(Рчо) дг =та~+-д —, (РВы д,! (2.56) дС~ дС~ д ( дС~ ~ и в таком виде будет применяться в дальнейшем. Очевидно, что при желании можно ввести в уравнение (2.54) диффузионный поток, зависящий от градиента давления и градиента температурьь 2.3. Уравнения пограничного слоя.

В этом пункте мы изложим концепцию Прандтля о пограничном слое и покажем, как ее могкно использовать для получения из зт 2.К ураелелпл пограничного елол уравнений газовой динамики уравнений пограничного слоя. Полученными в результате уравнениями пограничного слоя мы будем пользоваться на протяжении всей книги. Прандтлева концепция пограничного слоя. Предполагается, что все явления переноса газовой смеси происходят лишь в тонком слое вблизи поверхности обтекаемого Рис.

2.1. Схема течения в пограничном слое. тела. На рис. 2.! схематически представлена геометрия течения в пограничном слое около затуплепного тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью. Вообще говоря, важны по крайней мере три толщины пограничного слоя; толщина пограничного слоя 6 профиля скорости (рис. 2.1), толщина температурного пограничного слоя бт (см. также рис. 2.!) и толщина пограничного слоя для концентраций компонентов 6,.

Когда число Прандтля и число Шмидта одновременно равны 1, эти толщины совпадают для частного случая течения возле пластины. Если, как это обычно бывает в большинстве газовых смесей, число Прандтля и число Шмидта меньше Гл. г. 'сравнении пограничного слоя единицы '), то толщина пограничного слоя для температуры и концентрации больше, чем для скорости. Безразмерные коэффициенты, о которых идет речь, определяются следующилг образом: ~рт и Рг = — ~ (число Прандтля) (2.57) Яш — Д вЂ” (число Шмидта) (2.58) Р ~ ° и в дальнейшем будут часто появляться в уравнениях. Их значение мы выясним в п. 2.6. Для большинства рассматриваемых нами газовых смесей они достаточно близки к единице, так что в следующем ниже анализе порядков величин мы можем положить все толщины пограничного слоя равными толщине пограничного слоя скорости.

Прандтлева концепция пограничного слоя может быть выражена неравенством б (з) << з В действительности решения уравнений пограничного слоя показывают, что ( — ) =О ( — ), гсее= — '', (2.59) и этой оценкой порядка толщины пограничного слоя мы сможем воспользоваться для вывода уравнений пограничного слоя из уравнений газовой динамики.

Для иллюстрации этого метода рассмотрим переход От уравнения для в-компоненты в системе Навье †Ст. са (уравнение сохранения количества движения в проекции на направление вдоль пограничного слоя) к уравнению для з-компоненты пограничного слоя в сжимаемой смеси газов. Как показано ча рнс. 25, з ну — ортогональные координаты. Скорости в направлениях в и д ооозпачим соответственно через и и и. Уравнение для ') Глава 1О посвящена исследованию переносных свойств газовых смесей, в том числе и таких, длн которых числа Прандтлн и Шмидта отличны от единицы.

89 2.д уравнения пограничного слоя Из (2.3!) и (22!) следует, что для установившихся течений уравнение сохранения массы имеет вид — + — =О, дри дро дз ду (2.61) так как в двумерном случае тго = '+ о). (2.62) Приведем теперь эти уравнения к безразмерному виду таким образом, чтобы все входящие в них члены были одного и того же порядка. Это можно сделать, если отнести все компоненты скорости к характерной скорости, все координаты — к характерной длине, плотность и коэффициенты вязкости — к характерной плотности и вязкости соответственно.