Гиперзвуковые течения вязкого газа (Дорренс У.Х., 1966 - Гиперзвуковые течения вязкого газа), страница 4

Но даже здесь в принципе можно значительно уменьшить долю эмпириз- Ч 8 с 8 ! ! с Ь ! ! п я Н., Воппдагу ьауег ТЬеогу, 4!1г едн р, 42 — 64 апд 288 — 292, Мссггая'-Н!1! Воок Сопграпу, 1пс., Меч Уогн, !960; русский перевод: Ш л и х г и н г Г., Теория пограничного слоя, ИЛ, М., 1956. 7.7. Уравнения газовой дана,яака ма, обратившись к некоторым специальным теориям. Этот вопрос рассматривается в гл.

1О. Математическая теория газов, в частности кинетическая теория, подробно изложена и книгах Чепмена и Каулинга '), Гиршфельдера, Кертнсса и Берда з). В гл. !О будет показано, что коэффициенты переноса )т, )г и Огз являются функциями температуры газовой смеси, молекулярного веса компонентов н некоторых параметров, характеризующих поле межмолекулярных сил. Ввиду того что соотношения, определяющие коэффициенты переноса и уравнения газовой динамики для смеси газов выводятся на основе этой теории, некоторые ее аспекты будут освещены в данной главе.

Молекулярная теория течения газов. Молекулярная теория течения газов описывает макроскопические свойства газовых смесей, не находящихся в термодинамическом или химическом равновесии, исходя нз некоторых предположений относительно поведения микроскопических частиц, составляющих данный газ. Введем функЦию РаспРеДелениЯ скоРостей молекУл )г(х, У, з, п„па, о„1), которая дает в момент времени 1 вероятное число молекул 1-го компонента смеси в объеме г(хс(уг(з в точке пространства с координатами х, у, з, составляющие скоростей которых заключены между вз и п„+с(оа, о„и оа+г(па, пг и пг+г(ог. Пространство х, у, з, о„, п„, п, называется фазовым пространством, а координаты и скорости являются в нем независимыми переменными.

Общее число частиц в объеме с(хпгус(г, отнесенное к величине этого объема в момент времени 1, определяется„ очевидно, как пг(г, 1) = ) ) ~ Гг с(п, аЪа вЬ„ (2.2) ') Сй ар ш ап 5., С ота1)пи Г, О., Тйе Ма1йепга11са) Тйеогу о1 Мопнш)опп Оавев, 24 ед., Сашйг1дяе !йп1тегв11у Ргевв, Хеш Уогй, 1958; русский перевод: Ч е п и е н С., К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М, 1959 т) Н ! г в с й 1 е 1 с1 е г Л.

О., С и г ! ! в в С. Р., В г г д й. В., Мо)есн)аг Тйеогу о1 Оавев апд Рцдн)дв, сйар, 7, р. 441 — 513, Лойп Цгпеу апд Зопв, 1пс., Меж 'г'огй, 1954; русскин перевод; Г и р ш ф е л ь д е р Лж., Кертисс Ч., Бе рд Р., Молекулярная теория газани жидкостей, ИЛ, М., 1961. 26 Гж 2. Уравнения лаграттнага алая а плотность частиц гчго компонента газовой смеси ввиде Р,=гггтг =лг, ) 1"гг(чг.

Здесь т; — масса одной частицы Его компонента смеси, и; — число таких частиц в объеме г(хс(уел. В дальнейшем нам потребуются обозначения ') г = х(+ у) + Ж, ч = о„1+ он) + э,К (2.4) (2.5) ггч = сЬ„сЫи г(о,. (2.6) Если не указаны пределы, то в интегралах вида (2.3) интегрирование производится в пределах от — оо до + оо. Другие кинематические и термодинамические величины выражаются также интегралами вида (2.3). Так, например, среднее значение любой зависимой переменной, связанной с частицами гъго компонента газовой смеси, выражается формулой 1 г О,(г, г) = — ) 7,0, ггчо п; откуда следует, что чг(г, г) = — ~ (гч, гучг (2.8) (2.7) есть средняя скорость частиц г-го компонента. Газоди- намическая, или средняя массовая, скорость выразится соотношением ~ лгтгчг ча(г Г) = ~ лгтг г (2.9) или, ввиду того что ~ л,т, =р, ч, (г, г) .= — ~н иг ) (гч, г7чг.

(2.10) '] В этой книге везде используется декартова система координат, а векторы выделены полужирным шрифтом. Так, например, в равенстве (2.4) 1, 1, и — единичные векторы, параллельные осям к, у, к соответственно, 27 дЯ. уравнения газовой динамики В случае однородного газа чо чи Введем обозначение для скорости частиц 1-го компонента относительно системы координат, движущейся со средней массовой скоростью чм 'ч', = ч, — ч,. (2.1 1) Скорость диффузии частиц г'-го компонента определяется как 1 1 17з(г ()= — „, ~Рг1Гг«чг= — „, ~Р;(чг — чо)«чг (212) Эта скорость равна нулю только для однокомпонентного газа.

Из кинетической теории следует, что температура связана со средней скоростью соотношением (2.13) где 7г — постоянная Больцмана. Используя равенство (2.7), получаем т(г, т) = — ~~,т; ~ 7,.~",. г(ч,, (2,14) г р (г, 1) = '~ л,т, = '~~~ т; ~ 1, йчо Т(г, а) = — ~~Я т; ~ 1'Яй(ч,, 1 чо (г г) =,~~ тг ~ 7гчг о(чг р,=р; — Т, р,=л,тп Р = и.'г Рн (2. 15) (2.14) (2.10) (2.16) (2.17) где и = Х до Теперь мы имеем уравнения, связывающие все макроскопические величины с функцией распределения микроскопических величин. Это уравнения (2.2), (2.10), (2.!4) и уравнения состояния для совершенного газа 29 Гл.

2. Уравнения пограничного слоя Очевидно, что далее проблема сводится к нахождению функции распределения !». Функция распределения опре- деляется из уравнения Больцмана, которое описывает изменение Г» в фазовом пространстве. Это уравнение в предположении, что на частицы не действуют никакие внешние силы, имеет вид ') Ь» +т»»» Ья + О»а 3 +п»г Ьа = зйl»у~ (2.18) Ь!» Ь!» д!» Ь!» С~ где !» — функция распределения для »-го компонента, или однокомпонентная функция распределения, а У»у — — 2п ~ ~ (Д'. — Цу) д»уЬйЬ»УУ '). (2.!9) юдес)г Д' — функции распределения сталкивающихся частиц»-го и !хго компонентов смеси после столкновения, Ц» — те же функции до столкновения, д»у — абсолютное значение скорости частицы »-го компонента относительно частицы /-го компонента до столкновения, Ь вЂ” наименьшее расстояние, на котором пре. кращается взаимодействие между частицами»-го и !ьго компонентов смеси.

Интеграл в равенстве (2.!9) представляет изменение плотности частиц Ьго компонента в контрольном объе- ме, происходящее в результате их столкновений с ча- стицами 1-го компонента и отклонения вследствие этого частиц»-го компонента внутрь или за пределы этого объ- ема. Произведение функций распределения частиц»-го и !сто компонентов, вычисленное в точке с радиусом- вектором г, дает наиболее вероятное число таких ча- стиц в контрольном объеме фазового пространства, Та- ким образом, постановка задачи завершена.

Однако при этом возникла сложная проблема решения уравнения (2.!8) для функции распределения !». ') См., например, Гнршфельдср, Кертисс и оерд, ор. »И., стр. 444 — 449. ') В и. Ю.2 указаны условия, при которых поле газодинамических переменных определяется с помощью однокомпонеитиой функции распределения. ДД Уравнения газовой динааини 29 8,' — „+, — „— ~,.7,, (,=О, (2.20) ( д(с дй где д д . д д (2.21) — — — ~+ — )+— дг дх ду дг Но ) О, ~6 г(~,= д О ОАо!г,) — ) 6,ФФ%, или, имея в виду (2.7), дй д — д8~ 8,— г(у = — (п,О,) — и —, дГ ' дГ дГ (2.22) аналогично ) 0~ '(г~ — ) гЬ~ = д ~) ~~8;у,.

Ыу~) — ~ ! у таК КаК Уи И Г вЂ” НЕЗаВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В фаЗОВОМ пространстве. Используя снова (2.7), получаем дг) дг ! дг ]' д ) г(У~ = д (пгйгуг) — п~ ~У~ д ) (2 28) Уравнения переноса. Ясно, что если удастся решить уравнение Больцмана (2.18) и получить функции распределения !» для всех компонентов смеси, то с помощью (2.10), (2.14) — (2.17) можно определить все переменные, характеризующие поле течения.

Однако решение уравнения Больцмана далеко не простая задача, и в книгах Чепмена и Каулинга и Гиршфельдера, Кертисса и Берла, на которые мы ссылались ранее, этот во-' прос занимает большое место, Мы тоже рассмотрим этот вопрос, так как его понимание необходимо при выводе уравнений газовой динамики и изучении переносных свойств газовых смесей. Сначала из уравнения Больцмана получим уравнения переноса Максвелла — Энскога. Для этого выведем дифференциальные уравнения, описывающие изменение средних величин Оь характеризующих поле течения для частиц 1-го компонента.

Такие уравнения можно получить путем умножения уравнения (2.18) на 8; и последУющего интегРиРованиЯ по всем скоРостЯм Уь т. е. зо Гл. 2. кривления иогрининного слоя и равенство (2.20) превращается в уравнение Энскога хг + дг '(лАчг) л~ ( дг +~~ ' дг ) =~л~д ~ переноса Е,у,, Ьи (2,24) или, учитывая (2.3) и (2.! !), получаем другие уравне- ния др д — -~- д . (рг ( в', + чв)] = хан — дР— '+ — (рС;(Чг+ ч )) = то;.

(2.29) (2.30) где Уц определяются равенством (2. ! 9) . Проиллюстрируем использование уравнений переноса, положив Ог=иь Тогда ввиду постоянства т» и уравнение (2.24) переходит в "д '+ д . (гггтрг) =т, ~~~~ )' Уыг(чр (2.25) Если в рассматриваемой газовой смеси протекают химические реакции с участием частиц (-го компонента, то ясно, что изменение общего числа частиц з-го компонента зависит от числа столкновений зтих частиц с частицами других компонентов смеси.

То есть ,') ~у„г(к,=Ко (2.26) l где К; есть общая скорость изменения числа частиц бго компонента в рассматриваемом объеме за счет их химического соединения с частицами )его компонента. далее, ввиду сохранения массы при химических реакциях ,,"~К,те=О. (2 27) Следовательно, используя (2.26), уравнение (2.25) можно записать так: дг +дг (2.28) 2.2. Урааиеяия еаэааад динамики Так как ~,Кст,=О и ~т,п,=р и ~'„',тсп,Ч,=О, то из уравнения (2.29) путем суммирования по вселя 1 можно получить уравнение сохранения массы дГ + дг '(РЧо) =-О.

др д Кроме того, из (2.30) и (2.31) получаем уравнение Р дг + ~рчо) ' дг и"' дг ' (РСЮ (2.32) Такая форма записи удобна для дальнейшего анализа. Выше через гн;=К;тс была обозначена скорость возникновения частиц Бго компонента за счет химических реакций, а через Сг — концентрация этих частиц. Уравнение (2.32) является уравнением неразрывности газовой динамики, включающим скорость диффузии Уь определенную через функцию молеку,чярного распределения при помоши равенства (2.12). Уравнения сохранения количества движения и энергии можно вывести аналогично, используя уравнения переноса. Эти уравнения здесь не выводятся '), так как учет химических реакций незначительно влияет на их вид.

Ниже будет показано', что уравнения переноса могут быть полезными при решении уравнений Больцмана. Реитение уравнения Больцмана, Опишем в общих чертах метод Энскога решения уравнений Больцмана. Известно, что когда газовая смесь находится в термодинамическом и химическом равновесии, функция распределения задается классическим законом распределения Максвелла — Больцмана и ( ьт) ехр( — 2ит ('!)' (2.33) Выражение для функции распределения можно получить при помощи методов статистической механики.

Этот вывод фактически делается так же, как выводится комбинация уравнений (9.11) и (9.16). ') Онн выведены н кинге Гнршфеаьдерн, Кертнсса н верха, ар. си., стр. 489 — 464 н 496 — 498. 32 Гд 2. Уравнения яаграничнага слоя Предположим, что функция распределения для газовой смеси, не находящейся в равновесии, задана бесконечным сходя)цимся рядом /(0) + е/(1) + ся/(2) (2.34) и уравнения Больцмапа имеют вид д" ,+ Уг д' — ' '«~ ./>,.