Гиперзвуковые течения вязкого газа (Дорренс У.Х., 1966 - Гиперзвуковые течения вязкого газа), страница 6

Обозначим безразмерные величины индексом (е). Можно установить, что уравнение сохранения массы выполняется и для безразмерных величин. То есть др*н* др'о* да' ду' + — =О (2.63) и оба члена в этом уравнении одного порядка (за исключением тех тривиальных случаев, когда поток массы в одном направлении постоянен). Обозначим характерную ') Здесь мы предполагаем, что объемная вязкость равна — 2/8, как и для случая одиоатомного газа. Для релаксирующей газовой смеси это не совсем верно, но анализ, проводимый при выводе Уравнений пограничного слоя, приводит к (2.66) в любом случае. См. 1. а)1о не Е.

Ч., Х. Аегоааи1. Лег., 28 (9), 846 — 864 (1956), где обсуждается вопрос об уравнениях движения для сжимаемого вязкого релаксирующего газа. з-компоненты в системе Навье — Стокса при отсутствии внешних сил и стационарном характере течения можно написать в виде ') ди ди ри — + ро — = дз ду Гл, у ураянеппя погропияяога слоя алину В напраВлении координаты 3 через Л и В напра- влении д через б.

Безразмерные переменные определим следующим образом: го о Зие ' и и = —, "е (2.64а) (2.64б) р' = Р , р' = ~ , р* = †' , (2,64в) ре Реи где индексом «е> обозначены величины на внешней границе пограничного слоя (см. рнс. 2З). Характерную величину для поперечной скорости и (2.64а) нужно выбирать, имея в виду уравнение (2.63).

Подстановка (2.64а) — (2.64в) в (2.60) дает „„ди',, ди* ри, +ро — = дя* ду* Если теперь использовать концепцию Прандтля, то можно вычеркнуть из (2.65) часть членов в том случае, когда Ке велико. Заметим, что благодаря разумному выбору характерных величии длин и скоростей все безразмерные производные в равенствах (2.64а) и (2.64б) одного и того же порядка.

После возвращения к размерным переменным получим следуюшее уравнение для з-компоненты уравнения сохранения количества движения для пограничного слоя: ди ди др д / ди 1 ри — + ро — = — — + — ~р — ! . (2.66) дг ду дг ду ~ ду ! ' Уравнение сохранения массы пе изменится. Аналогично можно перейти от уравнений сохранения для остальных компонент и уравнения энергии к уравнениям пограничного слоя.

Повторять выкладки здесь нет необходимости. 41 я З. уравнения пограничного слоя Рг =РЛг7 ° (2.67) Из закона Дальтона для парцнальных давлений .Е~Р =Р= Т ро,йс =РОТ. (2.68а) с г Таким образом, газовая постоянная для смеси (2.68б) Уравнение сохранения количества движения для з-ком- поненты имеет вид ди ди др д ( ди 1 Ри — + ро — = — — + — ! !л — ), (2.66) дв ду дв ду ( ду ) ' а для у-компоненты вид 0= — — или р=р,. др ду Уравнение неразрывности записывается в аиде (2.

69) дриго дриго дв ду (2.70) Уравнения пограничного слоя для реагирующего газа. Здесь мы выпишем уравнения пограничного слоя для реагирующей смеси, которые получились в результате применения описанного в предыдущем пункте анализа порядка величин к уравнениям газовой динамики. При этом делаются следующие предположения; !. Все компоненты смеси ведут себя как совершенные газы. 2. Течение установившееся. 3. Эффектами передачи тепла от газа к телу и обратно путем излучения можно пренебречь. 4. Течение является двумерным нли осесимметричным. Когда эффекты излучения приобретают существенный характер, нх зачастую можно учесть при помощи аддитивной функции. Мы их рассматривать не будем.

Для совершенного газа уравнение состояния имеет вид Гл. 2, ууовнения ногяанинного слоя ри — + ро — — ( рТгс — с) + ту . (2.56) дСс дСс д С дСс с дв ° ду ду (, сг ду) Здесь мы пренебрегли термо- и барродиффузией, поскольку онн значительно меныпе массовой диффузии. Таким образом, — Сз„дсс Рси = — — — (закон Фина). (2,71) Уравнение сохранения энергии записывается в виде с где энтальпия с-го компонента Ьс выражается формулой г йс=~С, (т+Я о (2.73а) (йс — теплота образования с-го компонента), о ь=хсА (2.73б) 7= Ь+ —. 2 (2.73в) Мы предположим еще, что газовая смесь состоит в основном из частиц только двух сортов — легких и тяжелых, так что для учета диффузионных потоков всех компонентов используется один и тот же коэффициент бинарной диффузии слсо. Уравнения (2.67) — (2.73в) составляют систему уравнений пограничного слоя для реагссрующей газовой смеси.

где я 0 для двумерных течений и й=1 для осесимме. тричпых, гв(з) — радиус осесимметричного тела в меридиональной плоскости. Уравнение неразрывности для отдельных компонентов имеет вид 2 4. Сведение уравнений пограничного слоя и обынновеннын 43 (2.74) йТ рево дв Введем функцию тока Ф(з, у)= ~ ="с(у+ф(з, О), о (2.75) тогда (2.74) примет вид д дд д о + ду дв ду РТ (2.76) рево ав ду так как д дф д дда дв ду ду дв ') 1. 1 Т. У., )Ч а а а еп а 1 в а Т., 7 Аегопаа1. 5с(., 22 (9), 607 — 616 (195о). 2.4. Сведение уравнений пограничного слоя к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Приведенные в п, 2.3 уравнения пограничного слоя являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые трудно решить.

Исключение составляют некоторые специальные случаи, когда достаточное число чтенов можно опустить, чтобы свести уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, например течение Куэтта, течение в трубе. Имеются, к счастью, и другие случаи, когда эти уравнения можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это происходит тогда, когда существует естественная система координат в, т), связанная с декартовой системой в, у соответствующими преобразованиями, в которой производные зависимых переменных разделяются, в результате чего получаются обыкновенные дифференциальные уравнения, Найдем такие системы координат, используя наши уравнения пограничного слоя для газовой смеси.

Излагаемый метод был предложен Ли Тинг-и и Нагамацу '). Подставив уравнение (2.68а) в (2.70) и используя (2.69), получаем д и д о дв ЙТ ду атТ Гл. л Уравнения оогрлнанного слоя и ие(в) Г (П) НТ се 7 (2.80б) Следовательно, приравнивая (2.80а) и (2.80б), получаем дп ие (5) ду %Т и, таким образом, (2,81а) или с учетом (2.68а), (2.686) и (2.69) о (2.81б) Интегрируя (2.76) от У=О до у=у, получаем о дсО г) сГ (р,с~~) ЙТ дв р соц дв Таким образом, (2.66) можно с помощью (2.69), (2.76), (2.77) записать в виде дф ди ( дс) с) ст(реса)1 ди ду дг ).дв Р,со дг 1 ду 1 дре 1 д I ди 1 = — — —;+ — — (р — ) . (2.78) р, дв ре ду ( ду ) ' Теперь будем искать автомодельные решения (2.78) в ниде ф (з, т1) = Дг (з) ( (т1), (2.79а) и(з, т1) = п,(з)('(Ч). (2.

796) Штрих у )'(г1) означает дифференцирование по т1. т1 является пока неопределенной автомодельной переменной т1(з, у). Мы определим ее, используя (2.75), (2.79а) и (2.79б). Именно, из (2.75) и (2.79а) получим — = = = — — = Х (з) ~' (и) — (2. 80а) дгу и дв дп, дп ду ееТ дп ду ду и из (2.79б) е.4. Сввдгтние уравнений пограничного геок к обыкноввнныгт 45 Осталось определить тч'(в). Это можно сделать, перейдя в (2.78) от я и у к независимым переменным я и т).

Используя (2.79а), (2.796) н (2.8!а), получаем д(т ри, др ои, е,е (т дУ Редт (в) дЧ Ре ди , ди, , „ дт1 — ' — 'и (е —, де дв ' е дв — = — +д'(з)Г д, ° дт)т дел (в) , дт1 а (2.826) где С= —. Рв Рене (2.83) и не агре р и е е в (2.85) полученным из (2.66) переходом к пределу при у-эоо. Теперь + „ ' = ' , (2.86) дх (В) Лт (В) ) д (Реева) ( д (ЫрегО) Рет о Дв Репо и, следовательно, используя равенство (2.86), из уравнения (2.84) получаем е ееаие р,74 (д (Р7р,еог)~ дв) + ' ди.

) (ьФ) — (Е')' 1 — О ( 8 ие дв 1 (т!Регент))д(туреео)!дв1 ) Подстановка зтнх выражений в (2,78) дает уравнение с Рве т Рене т дие ( д.н (в) ттк (в) д(Репо)1 Рие Ре Ре дв ! дв Репо дв Рерг(в) — (С)е)', (2.84) причем при выводе (2.84) мы воспользовались уравне- нием Гл. 2. )ероонения логранонного слоя Выберем Дс(а) так, чтобы «'енегоне (2.88) )сей [О (ЕЕР,ГД)' НЯ1 Тогда се (ее',него)2 ремег О пе сее откуда, имея в виду, что г„'=О при О=О, (Нр гя)2 = 2 ~ р )е гоеи сй о е 1Г2 яф 2 ( е,„,,; „) М(з) = рего (2.89) я я Реоесо Г о Ре)'и, ае (2.90) = „( р,)2, 2еи,с(я, е е О О (2.91) и, следовательно, из уравнений (2.89) и (2.91) 1Ч = —. (22) ~ е ЕЕеГО (2.92) Комбинация (2.81б) и (2.89) дает искомое преобразова- ние независимых переменных ум. Сведение уравнений пограничного ггон к обыкнавенныи 47 Таким образом, если "(г л'лг(з) 7 (Ч) = 7( Е(Ч) Рево (2.93) и = и,(а)7'(Ч), (2 )'л И= —, Рева (2.79б) (2.92) г в Ч= — '-,.

~ — 1р, Р нега Р (2в) Ре (2.90) ~ Ре)ге~О Ие о (2.91) то уравнение (2.87) имеет вид (С(п)'+ Цн+ — =' ~ — ' — (7')г1 = О. (2.94) ие йв ~Р Ре(леиез у Ч= (2Иев7Реие) ги Это преобразование Блазиуса '). КОГДа Ие !ге И )гг ПОСТОЯННЫ И 1=1; 5 з=р,и,!и, )' г'сЬ а ') В ! в в ! и в Н., Л. л((ага. Рауии, ББ, ! (!90В). Заметим, что преобразования (2.90) и (2.91) получаются как естественное следствие при поисках автомодельных решений уравнений (2.66) и (2,70).