Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 53

Уравнение, определяющее силу лобового сопротивления Я, справедливо для любых значений й и 1 и ничем не связано с ошибочным соотношением Кармана, дающим связь между й и 1 в виде без труда можно получить два соотношения между л, 1 и ЛГ 1Ьпо = —, ! 2яс где [*) о = Ы1 = 0,245, ЛГ =со,1 (2.4) с = 4яо/(1+ 4пз сР) = 0,91 При этих условиях формулы (2.2), определяющие силовое воздействие потока на профиль крыла в закритической области, запишутся в виде Р*=ро,)Г*), <~,=ро,[ЛГ[о [2.5) [Первая из этих формул доказывает теорему )Куковского для закритической области. Вторая формула, аналогичная первой, утверждает, что сила лобового сопротивления пропорциональна плотности, скорости в бесконечности и циркуляции скорости по контуру, охватывающему одиночный вихрь цепочки Кармана. При этом коэффициент пропорциональности о является универсальным и равным 0.245.

Заменяя в выражении Я величину ЛГ ее значением по формуле (2,4), получаем новое выражение для силы лобового сопротивления ф,=сро',й из которого следует, что сила Д„пропорциональна ширине завихренной области. 3 3. Обращаясь к уравнению (2.5), мы замечаем, что определение величин Р* и Я„сводится к подсчетам циркуляции Г~ и ЛГ.

Эти величины своим происхождением обязаны силам вязкости, заметно действующим в пограничном слое, и вследствие этого не могут быть подсчитаны способами, применяемыми в идеальной жидкости. Для определения этих величин необходимо было бы) обратиться к анализу уравнений вязкой жидкости.

Однако при решении этой задачи с помощью уравнений вязкой жидкости возникают некоторые особые затруднения, делающие задачу весьма сложной. Обходя трудности, связанные с анализом уравнений вязкой жидкости, мы можем получить одно соотношение между Г и ЬГ, исходя из следующих соображений.

Рассмотрим процесс изменения циркуляции Г(1) и образования циркуляции ЛГ за период времени Т. Обозначая через Г,„, Г !„и Г" наибольшее, наименьшее и осредненное значения Г(1), которые может принимать эта функция за период Т, и принимая во внимание, что циркуляция нижнего и верхнею рядов вихрей отличаются только знаком, мы нв основании известной теоремы Томсона о постоянстве циркуляции можем записать (3.1) Предполагая далее, что циркуляция скорости, потерянная крылом за период времени Т, равна циркуляции одиночного вихря цепочки, будем иметь ЛГ = 4по, а зш (а+ р) — Г' (3.2) Это уравнение уже не является следствием уравнений движения и нуждается в экспериментальной проверке.

3 4. Имея в виду обоснование уравнения (3.2), рассмотрим определенный случай нашей задачи. Предположим, что профиль крыла поставлен под углом атаки 90', и для простоты будем считать его плоской пластинкой. 224 Решение этой задачи, предложенное Кирхгофом, как известно, приводит к значению силы лобового сопротивления, почти в два раза меньшему экспериментального. Согласно этому решению коэффициент лобового сопротивления равен [з) С„= я/(4+ п) = 0,44 Эту же задачу без труда можно решить с помощью уравнений (2.5) и (3.2). Действительно, при а = 90' среднее значение подъемной силы равнс нулю, следовательно, Г* = О, а ЛГ = 4лоеа.

Подставляя это значение в выражение для Яь, получим численное значение силы лобового сопротивления Я„= 4пое' ара Коэффициент лобового сопротивления пластинки определяется формулой Са = по = 0,77 Эта формула указывает, что даже в предельном случае уравнение (3.2) приводит к значению лобового сопротивления, весьма близкому к экспериментальному и является косвенным подтверждением сделанного предположения о потерянной циркуляции и справедливости уравнения (3.2). С целью дальнейшего подтверждения этого уравнения перейдем от сил Р' и Яа к коэффициентам, положив Р" =Си Ро„'Ь, ~~а=Са Рвоз Ь* Обозначая отклонения теоретического коэффициента подъемной силы от экспериментального через тзС„и принимая во внимание формулы (2.5), получим уравнение, связывающее С„и С„: Сь оЛСу (4.1) Последнее уравнение поддается простой экспериментальной проверке.

Имеется обширный экспериментальный материал по продувкам самых разнообразных профилей на большом диапазоне чисел Рейнольдса. Этот материал с успехом может быть использован для проверки уравнения (4.Ц. Стандартные диаграммы, характеризующие аэродинамические свойства прямоугольных крыльев и пересчитанные обычным методом Прандтля на плоский поток, представляют значение коэффициентов С„ и С„ в функции угла атаки. Кривые Са (а) и С„(и), построенные указайным способом, приближенно характеризуют свойства профиля на всем диапазоне углов атаки и за отсутствием экспериментальных значений С„и С, могут быть использованы для нашей цели. Если теперь дополнительно к указанным кривым присоединить теоретическую кривую, построенную по уравнению Си = ае з(п (се+ р) то из полученных таким образом диаграмм можно определить экспериментальные значения С„ и ЛС„.

Воспользовавшись уравйеиием (3,2) и вычитая из коэффициента С, значение коэффициента трения С,-, будем иметь ЛСи=азз)п(сз+р) — С„, Се=ф— Су (4.2) е Значения коэффициентов Си н Са уменьшены в два раза по сравнению с оощепринятыми в настоящее время. 2зз гХ 4.'е 42 Ф Л) Л)(ма Фиг. 3. Профиль Р-П-18(ме = 850000ае = — З,З', о =5, а = 252, С; =00066, (г= 0,233) ) — С '. 2 — С; 3 — Сд =) (а); 4 — ЬС =) (Са); З вЂ” Са(а) т, э. д) а' з Фиг.

4. Профиль ЦАГИ-В 22% (К =350000, иа — — — 2', а=5, аз=244, Схш!а = =0,0012, а = 0,209) т э ) — С„2 — С„; З вЂ” Са (а); ( — ЬС„=ПСа); З-Сз«ь 1(а) Полагая С постоянным на всем диапазоне углов атаки и принимая Сл ш за С, мы можем построить зависимость С„от ЛС„, взяв их значения из эксперимента. Исследования, проведенные для большого числа различных профилей, неоспоримо подтверждают линейную зависимость Са от ЛС, и одновременно дают экспериментальное значение коэффициента а, фигурирующего в уравнении (4.1), весьма близкое к теоретически найденному по уравнению (2.4) и равному 0.245. В качестве примера на фиг.

3 и 4 приведены результаты расчетов по полученным формулам'. На фиг. 3 построена зависимость С от угла атаки о по уравнению (4.1). Если каждую точку этой кривой сдвинуть на величину отрезка СР то согласно нашим предположениям мы должны получить значение С„„для соответствующих точек. Приведенные фигуры, на которых построенные точки легли весьма близко к экспериментальным, убедительно подтверждают справедливость сделанного предположения относительно потерянной циркуляции и, таким образом, доказывают справедливость уравнения (4.1).

Уравнения (4.1) и (4.2) могут быть использованы для построения кривой С„„. На тех же диаграммах построены кривые С„„(а) по уравнению Сз —— паз(п (а+р) — Сь)'о Зти кривые являются наиболее наглядными в смысле подтверждения сделанного предположения. ' В данной публикации значительно сокращено число рассмотренных автором различных профилей, подтзерждающих хорошее совпадение экспериментальных и теоретических значений коэффициента Сн. 236 В заключение необходимо отметить, что уравнение, аналогичное уравнению (4.1), получено в 1924 г. Визельсбергером Р1 при испытании одного крыла с различной степенью шероховатости его верхней поверхности (поверхность с пониженным давлением). Данные этих экспериментов достаточно хорошо подтверждают полученные нами формулы. Некоторые расхождения в кривых С„(а), построенных по экспериментальным данным, и кривых С„„(а), построенных по уравнениям, можно объяснить тем, что, во-первых, экспериментальные кривые С„(а) получены с помощью пересчета продувок прямоугольных крыльев на йлоский поток и вследствие этого содержат в себе все неточности, связанные с этим пересчетом, ао-вторых, некоторые точки могли выпасть за счет естественной ошибки эксперимента, если при этом еще учесть, что производить отсчеты нагрузок во время эксперимента в закритической области крайне трудно в связи с наличием сильной тряски крыла.

Если сопоставить значения составляющих сопротивления Сп С,,„и Сю то мы заметим, что в закритической области коэффициент С составляет всего лишь 2 — 3'/ю. Коэффициент С„,„, несмотря нато, что в области С„ он достигает наибольшего своего значения, в закритической области уже не играет главенствующей роли. В этой области весьма существенную роль начинает играть сопротивление Кармана, которое составляет более 50% всего сопротивления. На фиг. 5 и 6 приведены экспериментальные кривые, взятые из продувок двух профилей серии ЦАГИ-В. Наибольшее расхождение экспериментальных данных с результатами, полученными по уравнениям (4.2), было отмечено для профилей серии ЦАГИ-В 8% и ЦАГИ-В 10э4. Особо большое расхождение получилось в кривых С„(а) и в экспериментальной зависимости Сь = )(АС„) от теоретически иайденйой.

Линейная зависимость С„от АС„начинается на очень больших углах атаки, значительно превышающих критический. В области же С„,„эта зависимость не будет линейной. В результате этого кривые С =а,з(п(а+)3) — С„1о резко отличаются от экспериментальных кривых С„(а). Аналогичная зависимость С = 1(АС„), не имеющая ничего общего с линейной, была получена в экспериментах Бетца и Лотца [Ч.