Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 50

Можно также доказать неустойчивость некоторых интегралов из класса, рассмотренных Карманом. 21 В Полагая ~р = О, уравнения (3.2) можно преобразовать к виду — =Аз(т),— и,)+Х, — =А,Д,— $,)-(-)' 44 Й)~ ш а — =А,(1),— и,)+Х, — =А,(5,— $,)+У 4Ь ли~ ш Л1 Из уравнений (3.3) получаем $, — 5, =- с„т1, — и, = с, следовательно, ЙК,)г(1 = ам Йг,~г(1 = ~, (3.3) откуда $, =- а.,(+$,0, и 1.( т(,о В заключение можно сказать, что противоречия в условиях устойчивости, данных Карманом и Жуковским, не существует; оба условия с)1(ябД) = т 2, сЬ(пб/1) = у'3 не являются условиями устойчивости.

Метод, которым решали задачу Карман и Жуковский, имеет принципиальные возражения в самой основе. При выводе уравнений возмущенного движения в обоих случаях предполагалось, что центр одного вихря или центры вихрей вихревых дорожек получили перемещения, при этом совершенно не рассмотрен вопрос о возмущающих причинах, производящих эти перемещения. Из элементарных соображений энергия возмущающих причин в обоих случаях должна быть бесконечностью. Зто следует из представления вихря в идеальной жидкости, как кинематической картины движения безграничного объема жидкости с определенным полем скоростей.

Кроме того, на вихревые дорожки, движу.щиеся за телом, нужно смотреть не как на естественное движение жидкости, а только лишь как на схему явления, которая до некоторой степени отвечает естественному движению жидкости. 5 4. Принцип наименьшего сопротивления. Вопрос о движении твердого тела в реальной жидкости до настоящего времени ие решен и даже нет методов его решения. Обычно, когда решают задачу движения тела в жидкости, предполагают жидкость идеальной, однородной, несжимаемой, движение ее непрерывным и безвихревым. Так трактуется вопрос в основных исследованиях Клебша, Томсона и Тета, Кирхгофа, Лямба, Чаплыгина, Стеклова, Ляпунова и др. В этих глубоких исследованиях вопрос решен не только принципиально, но и во многих случаях может быть доведен до конца. Основываясь на дифференциальных уравнениях, полученных Клебшем, Ляпунов решил вопрос об устойчивости постоянных винтовых движений, которые может иметь тело при условии, если на тело и жидкость недействует никаких сил.

Указанные фундаментальные, во многом отношении ценные исследования не могут с достаточным приближением обрисовать картину движения тела в реальной жидкости. Трудность решения этого вопроса в общем случае заставила идти по пути построения отдельных схем, которые в некого. рых частных случаях решают задачу о движении тела в реальной жидкости.

Так поступил Кирхгоф в струйной теории, Прандтль и Чаплыгин в теории крыла аэроплана конечного размаха, аналогично поступил и Карман, да. вая вихревую теорию лобового сопротивления. В этих приемах успешное решение задачи зависит от того, насколько выбранная схема движения жидкости отвечает естественному движению ее. 219 Во многом отношении эти теории зависят от экспериментальных данных и нэ иих основываются, При исследовании кармановскнх дорожек будем предполагать, что вихри за телом расположены шахматным порядком. Зто положение будем считать экспериментальным фактом.

Следовательно, задача наша будет заключаться в том, чтобы из всех математически возможных шахматных вихревых дорожек выделить ту, которая наиболее отвечает естественному движению жидкости. В основу исследования положим ясный принцип наименьшего сопротивления для установившихся движений твердого тела в сопротивляющейся среде. Предварительно установим связь этого принципа с принципами устойчивости.

Будем предполагать, что тело, движущееся в жидкости, может допускать целый ряд установившихся движений, которые производятся силами, приложенными к телу, и начальными импульсами. Только в этом предположении имеет смысл ставить задачу об отыскании минимума сопротивления.

Пусть д„дм ..., д„— величины, определяющие движение тела в жидкости. Для каждого установившегося движения будем иметь систему постоянных значений ф>, д,", ..., д„'. В некоторых случаях сопротивление ищется как интеграл уравнения движения твердого тела в жидкости. В этих случаях определение устойчивых постоянных движений твердого тела сводится к отысканию минимума сопротивления. Движение, отвечающее значениям д„ом ..., д„, которые обращают сопротивления в минимум, несомненно устойчивое. Зто предположение является непосредственным следствием известной теоремы коц(п'а об устойчивости движения, когда один из интегралов обращается в минимум. Более простое доказательство этого положения можно дать, основываясь на первой теореме Ляпунова [Ч.

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию У, производная которой У' в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с У, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчивое. Пусть (~ (д„дм ..., д,) — выражение для сопротивления, причем значения д,', д,', ..., д„' обращают его в минимум. Рассмотрим движение, бесконечно близкое к данному, положив д, = — дл + хо тогда величины х; будут удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям.

Возьмем функцию У=Я,— 9(д,'+х„д,'+хм ...,д„'+х„) переменных х„х„..., х„. Функция эта будет удовлетворять всем условиям первой теоремы Ляпунова, она будет знакоопределенной, потому что при хг = ... = х„= О, У, = О, при х, ~ О У =, О, так как ӄ— наибольшее значение ее. Производная этой функции У' тождественно равна нулю, потому что (~ по условию интеграл уравнений движения, на основании чего заключаем об устойчивости движения д,', д,', ..., д„'. В случае, когда сопротивление не является интегралом уравнения движения, можно утверждать, что если тело в своем движении выбирает путь наименьшего сопротивления, то величины, входящие в выражение для сопротивления, определяющие движения тела, изменяются устойчивым образом.

Пусть д,', д,а, ..., д„' — величины, дающие движение, в котором тело имеет наименьшее сопротивление ~") (ц о лао . „д о) = пц'и Д 220 Рассмотрим возмущенное движение, характеризующееся величинами о,с + хо Движение будет устойчивое, если х,' + х,с + ... + х„'< е', д'я Е ~ ~Т. Рассмотрим функцию У=-9(чт'+х Юс'+х " Еи'+х.) — ЯО/1' Ес' " 4.') Эта функция обращается в нуль только при х, = х, = ... = х„= О, и, следовательно, она определенно-положительная.

Если тело в движении идет по минимуму сопротивления, то функция У убывающая. Следовательно, всегда можно найти такое е, чтобы возмущения х„х,, ..., х„были внутри сферы х,с + х,с + ... + х„' = ес, для любого момента времени, следующего за Т. Вот те заключения, которые можно сделать об устойчивости движения твердого тела в сопротивляющейся среде, не зная уравнений движения его, а основываясь лишь на общих законах механики и на естественных движениях тела, которые мы можем наблюдать. Рассмотрим вихревые дорожки Кармана с этой точки зрения, определим ту из них, которая дает наименьшее сопротивление. Возьмем интеграл количества движения и найдем условие, при котором он обращается в минимальное значение Ь Г* 9 = рà — (о — 2и)+р— Е 2иЕ Г ад где о = сопИ, Г = сопз1 и и = — й — — скорость вихревой дорожки для 2Е Е случая шахматного расположения.

Уравнения дЯ/дЕ = 0 и дЯ/дЬ = 0 дают (о — 2и) + — +21 — =0 (о — 2и) — 2Ь вЂ”" =О 2иЬ дЕ дЬ (4.1) где ди Г Е вЬ яЬ 1 — = — — ~й — +— дЕ 2Р ~ Е Е сь'(вЬ/Е) / 22! Г иЬ и= — й —, 2/ (ди Ги 1 дЬ 2/с сн~ (иЬ/Е) Из уравнений (4,2) й (пЬД) = Е/2пЬ (4.Э) решая которое в отношении Ь/Е, получаем Ь/Е = 0,245. При таком соотношении вихревая дорожка будет давать наименьшее сопротивление. Если уравнение (4.1) преобразовать с помощью уравнения (4.3), то сила лобового сопротивления выразится такой простой формулой ЕЕ =роГ— Ь Ыа С Е Полученная формула по структуре похожа на формулу, которую дал Жуковский для подъемной силы.

Для решения задачи необходимо иметь формулу, определжощую циркуляцию Г. В первой работе Карман приводит формулу, определяющую величину циркуляции под видом Г = оЕ, которую он получил, исходя из соображе. ний образования вихрей, как результат существования вихревого слоя около поверхности тела единичной длины, откуда непосредственно получается Г= о(.

Если воспользоваться этой формулой для определения и/и, то получим и/и = 0,35, что очень плохо согласуется с действительностью. Несовпадение с опытом побудило Кармана этот результат из второй работы исключить, и этот вопрос считать нерешенным. Несовпадение с опытом формулы для циркуляции Голубев объясняет тем, что скорость на поверхности тела не является постоянной и меняется от 0 до и. Беря среднюю величину и/2, получаем приближенную формулу Г = о!/2. Эта формула дает значение меньше наблюдаемых.