Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 47

>) бй — =й,.ьр(,, г, 6, у,, 1) бг где >1!!> а!!> — формы 1-й степени отг»,г(1<>д), >[(~ '>,г!н+!>, У,!нг!> — совокупности членов выше й>-го порядка, а Л, 2, У» обращаются в нуль при уг= ... = у„= О. Функции >7 и Е или не содержат линейных членов в отношении у, ..., у„, или содержат их в произведении с га! гзз (йд+ Ьз 'л !»). Если вопрос об устойчивости по отношению к переменным г, г решается формамн >11~> и Я!!> прн условии 1 < й> независимо от форм более высокого порядка, то при исследовании устойчивости интегралов системы (7.>) достаточно рассмотреть систему второго порядка г'=г[>[!м> (гз, г)-]- ..-[->[!2>>(гз, г)], г =а!~»> (г», г)+...

+2! > (гз, г) (7.2) Это утверждение доказано в работе [з]. Полагая гз = р, будем иметь р =2р[)(»!м> (р, г)+...+)(»1~> (р, г)], г'=г!м»>(р, г)+...+л! > (р, г) (7 3) При исследовании устойчивости переменную р мы должны считать величиной по. ложительной. Эта система рассматривалась в работе [»], где приводится исследование простейшего случая, когда система (7.2) имеет вид р' )[1~>,(руг)-[-1[!'"+1> (р, г)-[- ..., г'=я(м> (р,г)-[-2!м+!> (р, г)+... (7.4) н вопрос об устойчивости решается формами ш-го порядка независимо от форм более высокого порядка. Результаты этих исаледований приводятся также в монографии [а] и в Работе [з!.

В рабате [т] исследована задача об устойчивости интегралов системы (7.4), когда для ее решения необходимо рассмотрение форм выше гн-го порядка. Систему уравнений (7.3) в общем случае можно представить в виде н(г. О> р+а! ! ° ! > я+а!З.о> рз+о!г.1> рг + "а! ! . з> гз а> ° х"'"-')- ь»+ а»»ы М г'= р ' р ° =Ь!'а> -[ Ь!з о> [ Ь!ьл>рг+ь!от>г'+»' Ь!г ">р" гь -[ ... щ+ь, з Если Ь!!' > + 0 в (7.5), то задача об устойчивости системы (7.П приводится к задаче двух нулевых корней с одной группой решений. В случае Ь1' 'о> = 0 системе (7 5) соответствует два нулевых корня с двумя группами решений. 206 г, у, + и, (г, 1) <; (з= 1,..., л) х !+и(г, 1), у=Ч+о(г, 1), В результате будем иметь Ф. -»Ч+Е й, Ч, г, о, и; ° уь 1) Ч' йй+Н (че Ч, г, и, о. иь уь 1) г 2«Д,Ч,г, и,о,иь у»,1), у, = ~ р«»у»+>г«($.

Чэ г,и,о,и»,у»,1) (8.1) »-1 (з, Ь= 1,..., л) Совокупности членов выше первого порядка, не зависящих от 1, ч, Ь - з ув в правых частях втой системы представятся в де ди Е (О, О, г, и, э> и», О, О,..., О, 1) — — 2 (и, и. г, и», 1)— ди — )<о+Х (и, о, г, иа, 1) —— д1 до Н (О, О, г, и, о, и», О..., О, 1) = — — 2 (и, о, г, и», 1) + дг до +><и+ г (и, о, г. иь 1)— д1 2«(О, О, г, и, о, и», О...., О, 1) =2 (и, о, г, иь 1) ди, >', (О, О, г, и, о, иь О,..., О, 1) — — Я (и.

о, г, и», 1) + и ди, + ~~~~ р,» и»+ г«(и, о, г, и», 1) —— »-< (8, 2) В обоих случаях переменную р необходимо считать положительной. Исследование системы (7.5) представляет некоторые затруднения лишь в том случае, когда все коэффициенты Ь<»> (» = 1, ..., К) обращаются в нуль при любом сколь угодно большом числе № В этом случае члены выше К-го порядка в правой части второго уравнения системы (7.5) могут не обращаться а нуль при р = О. 6 8. Исследуем этот случай.

Возвращаясь к системе (6.1), преобразуем ее. по- ложив Обращение в нуль коэффициентов Ь<о ~>з(Ь = 2...,, со) возможно лишь в том случае, когда 2 (и, о, г, иы ..., и„; 1) — 2' (О, О, г, и, о, и», О,..., О, 1) = О Определим значения функций и, о, и, из (8.2) прн условии 2(и, о, г, и>„1) =Б (О, О, г, и, о, и». О,..., О, 1) Н (О,б,г,и,о, и>„О,..., О, 1) = )г, (О, О, г, и, о, и», О,..., О, 1) = О тогда правые части системы (8.1) будут обращаться тождественно в нуль, если положить В=Ч-у =".=уз=О Если систему (8.1) преобразовать к виду (7.1), то формы 2< > будут обращаться в Н> нуль прн г = О для любых 1, как бы велико число!не бралось. Система второго поряд. ка (7А), соответствующая системе (8.!)„будет такова, что прямая р = О будет особенной прямой для форм )< < > н 2< любого> кол, угодно высокого порядка.

Исследование <О <О подобных систем представляет затруднения лишь в тех случаях, когда формы Я<1> н «> 2< > прн сколь угодно больших 1 определяют устойчивое движение. Очевидно, что устойчивость может быть только неасимптотнческой. Если же будет обнаружено, что иевозмушенное движение неустойчиво по формам 1-го порядка (1 < К), то интегралы системы (8.!) будут также неустойчивы, Отметим, что если ь рационально, то задача об устойчивости, представляемая системой уравнений (6.1), способом изложенным в 6 4, приводнтся к анализу трех уравнений с тремя пулевыми корнями с тремя группами решений. Если же правые части системы (6.1) ие зависят от времени, то как при иррациональных, тах и при рациональных >> система (6.!) приводится к виду (7.1), в котором в правых частях члены'выше К-го порядка от 1эавнсеть ие будут.

В этом случае решение (6.6) будет периодическим с периодом 2п(а. Примечание 1. Пользуясь случаем, отметим, что метод сведения задачи об устойчивости системы (и + 2)-го порядка к системе второго порядка с одними критическими переменными был впервые применен в 1935 г. при решении задачи Ляпунова [два нулевых корня с одной группой решений) в статье [з[.

В 1936 г. в статье [з) метод сведения был применен к решению задачи об устойчивости в случае двух нулевых корней с двумя группами решений. В этой статье доказывается, что устойчивость и неустойчивость полной системы (л+ 2)-го порядка следует из рассмотрения укороченной системы второго поридка. В работе 1939 г. [з) доказано общее положение, касающееся сведения систем [ш+ 2д + р).го порядка к исследованию систем [т+ 2>))-го порядка только с критическими переменными для установившихся и периодических движений в случаях несущественно особенных. В этой работе система уравнений преобразуется к такому виду, что отыскание функций Ляпунова или Четаева для полной системы сводится к отысканию этих функций, для укороченной системы. Так как теоремы Ляпунова и Четаева обратимы, то формулированное утверждение эквивалентно следующему.

Если укороченная система асимптотически устойчива или неустойчива и это следует из рассмотрения >у первых форм укороченной системы независимо от форм более высокого порядка, то и полная система соответственно асимптотячески устойчива или неустойчива. Под «принципом сведенияз здесь понимается преобразование исходной системы к виду, для которого функции Ляпунова и Четаева строятся по первым Ф формам укороченной системы, а функции Ляпунова и Четаева для полной системы имеют вид [г=У (У, ...,У„,)+Уз(г, ...,г ) где У1 — функция Ляпунова яли Четаева, отвечающая укороченной системе, а )>«вЂ” квадратичная форма„ определяемая из уравнения др р — (Р!1[гг+ - ° +Р!р гр) = ~ ~Р гг 1 ! г=! Заметим, что при исследовании критических случаев Ляпунов всегда отыскивал функции У, отвечающие полной системе.

В результате чего совокупность членов, содержащих г1, ..., гр линейно, он обращал в нуль соответствующим выбором функции [>, а не преобразованием уравнений. В простейших случаях одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней принцип сведения не дает существенных преимуществ по сравнению с методом, которым пользовался Ляпунов. Но уже для случая двух нулевых корней с одной группой решений затруднения настолько возрастают, что Ляпунов вынужден был откаааться от построения функции У и перейти к решению задачи с помощью рядов Рз).

В статье [11[ и. Г. малкин сделал попытху дать обобщение принципа сведения на системы [1.1), в которых р ! (!) и >)«я [!) — любые непрерывные и ограниченные функ. ции ! для ! ж О. это обобщение основано иа теореме, опубликованной в статье [11). При доказательстве этой теоремы И. Г. Малкин допустил грубую ошибку. Утверждается, что по отношению к рядам г) = гг [хг, ..., х„, !), удовлетворяющим уравнениям дг) дг) д! — +'~,(Р«1Х1+" +Р«з+'(«) — =А)([;Х1>" >Хз>г1>- >гр) дх, «1 ряды о; = о) [хз, ..., х„), определяемые системой ,~~ (а„х,+...+а,„х„+г',) — ' = [';(х„...,!х„; о„..., ор) «1 «з з «д«) "'» з» '"> р [[=1 ° ° р) являются усиливающими, если У и [>! получены из Х«и 21 в результате замены коэффициентов их разложения наивысшими модулями, а коэффициенты а,о для о < з представляют верхние пределы модулей р, .

Все а„= а, Это утверждение ошибочно. Легко убедиться, что ряд о = сзхз + сзхз+ ..., удовлетворяющий уравнению — (х+хз) ==х'+хо дх не является усиливзющим для ряда г = о,ха + азха+ ..., определяемого из уравнения дг — ( — Х вЂ” Х )=Х +Хг дх 208 так как а, = — г!з! се=!!з но сз = — г/а а аз=!!э Таким образом, теорема, на которой основано доказательство первой основной теоремы об устойчивости в критических случаях, не доказана, а следовательно, не доказана и первая овновная теорема. И. Г.

Малкин при доказательстве принципа сведения необоснованно пользовался преобразованием, указанным в работе [з[. Сходимость рядов гу = г!(г» ..., г„; !) И. Г. Малкиным не доказана, тогда как ряды гу — — гу(гд, ..., г„), фигурирующие в [з[, являются абсолютно сходящимися. Учитывая логическую неполноту в рассуждениях при доказательстве этой теоремы, И. Г. Малкин в монографии [а) делает новую попытку доказать основную теорему с помощью преобразований, отличных от тех, которые применялись им в статье [!'1. Доказательство, предложенное в [з[, содержит грубую ошибку, обнаруженную Н.

П. Еругиным [гг[ Преобразование м зГ я 3 х,=г $„г= у у!+...+ у„, можно применять прн условии, что новые переменные з, изменяются в интервале ~ее. При доказательстве И. Г. Малкин считает [й,[, так как же и [г[м достаточно малымн. Если принцип сведения понимать так, как он сформулирован в работе [з[, то ре зультаты, относящиеся к системам (1.1) с постоянными и периодическими коэффициен. тами, легко обобщаются на системы того же вида с непрерывнымн н ограниченными по ! коэффициентами. Предположим, что в системе (1.1) коэффициенты ру! — — О, д,з О для ! > ) и й > ю Это допущение не уменьшает общности задачи [гз[.