Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 49

Определить циркуляцию одного из вихрей дорожки. Карман и Жуковский решали вопрос об устойчивости вихревых дорог по первому приближению„отбрасывая в уравнениях возмущенного движения члены высших порядков; таким образом, вместо первоначальных уравнений рассматрквались получаемые таким путем линейные уравнения. Законность такого упрощения при этом ничем не доказывается и по существу дело приводится к замене рассматриваемой задачи другой, с которой она может не находиться ни в какой зависимости.

Исследование устойчивости движения приводится к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения вида ах~ — =Х,(х„..., х„,1) а Жуковский получил систему уравнений — =аЧ, — =а$ а$ дч д/ ' а/ из которых следует, что устойчивость может быть только тогда, когда а = О, но при этом условии членами высших порядков пренебрегать нельзя, так как изменения 4 и Ч будут даваться уравнениями — =Х, — =)' а1 ' д/ где Х и [х — члены высших порядков.

Таким образом, в обоих случаях вопрос об устойчивости считать решенным нельзя. Покажем, что условия с[1 (пд//) = )/2, с)1(пд//) = )/3 не являются условиями устойчивости, $2. Уравнения высших приближений в случае Жуковского. Решим задачу Жуковского, предполагая, что в нижнем ряду вихревой дорожки один из вихрей получил возмущения„а все остальные вихри закреплены. Тогда уравнения возмущенного движения для вихревой улицы Жуковского с[1(пд/[) = )/3 напишутся 41 2 Ь йвх д$дч дчх (2.1) Ч вЂ” ~ х 22+2 уаЧ+ хЧЭ~ [ [' Производные вычисляются для $ = О и Ч = О; Х и )' — голоморфные функции переменных $ и Ч, разложение которых начинается с членов не ниже третьего порядка.

Линейные члены в уравнении (2.1) отсутствуют по условию а = О. Индуцированная скорость возмущенного вихря слагается из индукции вихрей своего ряда и ряда параллельного 1 Ь— Ч г +",,"' их -[- чих Ч 2Я ~хаю [1(й — 1/2) — Цх+(Ь вЂ” 11]х 2Я Йй (й/ — $)и+1)х 1' хих 1 (й — 1/2) — $ Г х;-х Ы вЂ” $ 2я ~~и [1(й — 1/2) — Цх+(Ь вЂ” 11)' 2я й ~~ (й! — Ц'+11' Первые члены этой формулы дают индуцированную скорость всех верхних вихрей, вторые — всех нижних, знак (1) у суммы показывает на то, что в суммах член, отвечающий й = О, выпадает. Все вторые производные от + (!) + 1!) ,Х х — 1 (й1 — $)'+Ч* ' 1 (й1-Ц*+Ч' обращаются в нуль при $ = Ч = О.

Между вторыми производными от первых сумм существует очевидное соотношение дх их дх и„дх и д' их д' их д' иу дед ч д1)х д$~ ' д$~ д|1' дйдч Подсчет показывает, что "') дх их 1 1' 2 (й — 1/2)~/х — БЬх(й 1/2) 1 =О дчх, 1 ~ =и 2 ~ы [(й — 1/2) /х+ Ь~[~ й= — ао 2!д ( ~), = —,Х дв ох1 1' чд 2Ьв бЬ (Ь 1(2)в )в д~Р )в=э-о 2Я гй ((Ь вЂ” 1/2)в!в+Ьв)в Г У2 З( Гввв ва (лЬД) (в сов (о Ы) следовательно, Уравнения возмущенного движения вид — = АР— АЧ'+Хв, д( д' о„дв ов д' ов — = — = — =О дй дч дЧ' дР высших приближений будут иметь — '1 = — 2А$Ч+Гв ЫЧ дЕ где Х* и У г — голоморфные функции вблизи начала координат, разложение которых по степеням $ и Ч начинается с членов не ниже третьего порядка.

Таким образом, исследование вихревых дорожек в случае Жуковского приводится к исследованию уравнений (2.2), характеристическое уравнение которых имеет два нулевых корня. Случай этот относится к тем особенным, когда не только определитель, но и минор его при $ = О обращаются в нуль. Чтобы сделать заключение об устойчивости интегралов этой системы, рассмотрим сначала уравнения второго приближения — = АР— АЧ', — = — 2А$Ч ов в оЧ д) д1 которые допускают частный интеграл вида — =АР, Ч =О <Ц Ф из которого непосредственно следует неустойчивое изменение $ 1 3=в А1 1/$в Для окончательного решения вопроса нужно показать, что члены высшего порядка Х1в1, г'<в1 не могут интегралы системы уравнений (2.3) обратить в устойчивые.

Чтобы это показать, рассмотрим уравнение дЧ вЂ” 2$Ч+ 1' 2.4 двв ввв в.» Х(3! (.) Докажем, что из уравнения (2.4) можно определить голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при $ = О. Допустим, что этот интеграл представлен под видом ряда Ч = аг $в + ав+1 эг+' + ". Введем замену, положив У(в> гвЧ,(э «) Х(в) фв,Р(г г) тогда уравнение (2.4) примет вид В дг — 2г+ мафр(й, г) Ы$ ! — гв+ йвр я, г) Правая часть будет голоморфной функцией $ и г вблизи начала и при $ = О, г = О обращается в нуль.

216 Это уравнение достаточно ясно говорит о неустойчивости движения. Таким образом, в случае, разобранном Жуковским, вопрос об устойчи- вости решается уравнениями высших приближений и в отрицательном смыс- ле. При условии с[) (лб//) = )~ 3 вихревая дорожка неустойчива.

В 3. Решение вопроса устойчивости в случае Кармана. Уравнения воз- мущенного движения, которые получил Карман, имеют вид + (() +ею ~т ~тх — ~тх /Г у ~тх — ~ть д( 2л „хь" (х — Х)тм 2л лм [(х+1/2 — Х) 1-)-(6[т +О + (() (([ х (à — гг Н( 2л ам [(х+ 1/2 — )() 1+(6)т 2л ~~~а (х — )()т(т где знак ([) у сумм указывает на то, что слагаемые при х = Р. должны быть опущены; х принимает значения от — оо до + со и ь)х = $(х+ /т[тх) Ьтх = а(к+ /Чтх. Для упрощения исследования Карман находил частный интеграл систе- мы уравнений (3.[) под видом $тх = $(ех(т, т)тх=-т[(ехлр, $ „= $ е(х+(/т) (ч, для определения функций $ь т[„ $м т), получаются уравнения — — = Ат), — /В$, +С))„— — = А$(+/Вт), +С$, 2л (($, 2л ((Ч, г и г ти (3.2) — — = — Ат)т — /В$, — Ст[„— — = — А$, + )Вт), — С$, рл т(чт .

2л гн(= ' г си т[тх = т[т е(х+) /з)(ч Коэффициенты А, В н С вЂ” известные функции от тр л(р ! (р' лт 1 А ((р) — — — — — —— 1т 2 1$ Р сЬ|(л6|О яр ти [(л — <р) 6Д[ лт тв (~р6/1) ! ~Ь (~6/!) 1 ~Ь (~6/1) л(р сЬ [(л — Ч) 6//[ л' с)) (у6/1) Р си (л6|!) Р сьт (л6//) Характеристическое уравнение этой системы имеет корни й= ~ [[В~)/А' — С') 21Г Следовательно, уравнение это примет вид $ — ' = — Зг+с, $+2($, г) с(т, где ЯД, г) — голоморфная функция $, г, уничтожающаяся при $ = г = О.

Коэффициент при г в правой части не равен целому положительному чис- лу, а этого вполне достаточно для возможности удовлетворитьуравнению голоморфной функцией переменной $, уничтожающейся при $ = О, Пусть решение это представится в виде ряда, если с, -ь О, г= Ь, 5+ 6,Р+6, Р+... Тогда голоморфный интеграл уравнения (2А) примет вид т[=6(Р+6тР+ " Воспользовавшись этим интегралом, первое уравнение системы (2.3) можно преобразовать к виду — ~=АР+([,Р+..

и Если для некоторого значения др будем иметь, что А' — Сй)О, то среди корней характеристического уравнения будет корень с положительной вещественной частью. Поэтому для устойчивости необходимо, чтобы Ай— — Сй.~ О для гр, изменяющегося от О до 2я. Этому неравенству можно удовлетворить, если положить с]д(яЫ[) = ]/ 2. Это условие является необходимым, но недостаточным, так как корни при этом обращаются в чисто мнимые, а это, как показал Ляпунов, приводит к критическим случаям, и по первому приближению об устойчивости ничего сказать нельзя. Вопрос устойчивости для этой системы частных интегралов должен решаться уравнениями высшего приближения.

Покажем, что условие с]д (пЫ[) = ]/"2 не является условием устойчивости. Если некоторая система дифференциальных уравнений имеет устойчивый частный интеграл, то это еще не значит, что общий интеграл будет изменяться устойчиво; если же один из частных интегралов неустойчивый, то и общий интеграл будет тоже неустойчивым. Докажем неустойчивость одного частного интеграла системы уравнений Кармана. Найдем систему частных интегралов этих уравнений при следующих начальных данных: о о о о о о о о згх = ьд~ зйх = зд! Чгх = Чдс Чйх = Ч! ( х~ «~д! ~~+оо Если в начальный момент эти равенства имеют место, то и вообще в любой момент времени они будут существовать, т.

е. систему интегралов можно определить под видом $дх=1м 1йх= — $д~ Чдх=Ч! Чйх= — Чд Функции 3д и ч, будут удовлетворять двум дифференциальным уравнениям 1' +х Ь вЂ” 2Ч! 2л х![й (Ь вЂ” 2Ч,)й+[(й — 1/2) ! — 2$д]о 2л Г у (Ь вЂ” 1/2) ! — 2$! + 2л,йы (Ь 2Ч!)й+[(й 1/2) ! 2$д[! +со Ь 4Е Ьй+(/г — 1/2)й Р й — х Г +" (й — 1/2) ! 2л 2й Ьй+(й — 1/2)дР %= !(! в которые обращаются точные уравнения после их преобразования, В раскрытом виде зти уравнения примут внд 4$д Чд+Х, 21 =„~д-[.у Ф где 2 [(й — 1/2)о!д — Ьй] ~д (й — 1/2)й !' — Ь' 2лй [Ьй+(Ь вЂ” 1/2)' Р]' ~~хо [Ьй+(й — 1/2)йР]о Ров (2лЬ/!) -=2 й — оз й ! Характеристическое уравнение этой системы имеет корни я„й = ~ гх, из которых один положительный, этого вполне достаточно для йеустойчивости. Таким образом всегда можно найти частную систему интегралов уравнений (3.]), удовлетворяющих некоторым начальным условиям, и эти интегралы будут неустойчивые.