Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 44

Тогда область У,)О будет заключена внутри области У '~ О и это свойство функции У,' определяется формами, порядок которых менее или равен Л), независимо от форм более высокого порядка. Возьмем функцию Четаева, отвечающую системе (1,1), в виде (у " у)+1Р(г " гр) Здесь У, (г„..., гр) определим из уравнения (1.5) при М ) О. Производную функции У в силу уравнений (1.1) при выполнении условий 1) — 3) можно представить в виде (1.6).

В отличие от предыдущего слу. чая функции ь); могут и не обращаться в нуль при у, = ... = у,, = = г, = ... = г = О, так как функция У! может содержать линейные чле- Р ) ны. Обозначая значения функций ь!) при нулевых значениях у„гг через )'.)1' определим число М ) О так, чтобы выражение Р Р (У (г,„..., г ) = М (гР+ ... + гр') + ~~~, '~ г! г; (м)щ )=! )=1 представляло определенно-положительную квадратичную форму. Тогда У' = У,'(у„..., у„,) +(У(г„..„г )+Е!') +Е!з) Р Р м!')= ~~' ~~ г;г)(.ц!')(у„..., у„,; г„..., г,,; 1) )=))=! где Ь!)!!) обращаются в нуль при у, = ... = у„, = г„= ... = г = О. Очевидно, что выражение Е!') при достаточно малых у„гг не изменяет знака У (г„..., гр), а Е!') не изменит знака У,'. Следовательно, в области У ) О функция У' представит знакоопределенную функцию всех переменных У„гр Так как функция УР ( О, то область У ) О заключена внутри обла- 13 зал.

з)гз 193 сти Г ) О. Таким образом, 1~ является функцией Четаева для системы уравнений (1.1). Таким же путем путем для системы (1.1) можно построить функции У и Ф'„удовлетворяющие теореме Четаева (з). й 2. Докажем теперь, что любую систему вида (1.1) можно преобразовать в новую систему, правые части которой удовлетворяют условиям 1) — 3). Задачи же об устойчивости по отношению к переменным системы (1.1) и переменным преобразованной системы будут эквивалентны. Введем замену гг=11+от(ум . эул,', 1) (1=1." 1р; п1 — — из+29) (2.1) где от представляют У первых членов рядов и;, удовлетворяющих уравне- ниям диу тч диу — + г, — (уму, + ... +д,„, у„,+У,(у» ., у„,; и„..., и; 1)) = Ув Р =,~, 'рп и, + Х~ (у„..., у„,; и„..., и; 1) Ф 1 (2,2) Ряды и~ в общем случае будут расходящимися, Рассмотрим два возможных случая. В первом случае результат замены переменных г~ по формулам (2.1) обращает тождественно в нуль все формы К',~ (у„..., у,; 1) для значений й У + 1, как бы велико число У не бралось.

Это возможно лишь в том случае, когда 1'. (уы " уз,', им ..., и; 1) = — О (2.3) где ит — ряды, удовлетворяющие системе (2.2). Этот случай является существенно особенным. При исследовании этого случая будем рассматривать преобразование гг ~~+и~(у„..., у„,; 1) Ц=1, ..., р; л,=т+2о) л т,т,— я~ = (Е, где Š— любое целое число, включая нуль, а л4 — целые положительные числа, удовлетворяющие условию и, + ... + т„, ) 1. 3) функции У, [у„..., у„,; г1(у„..., у„,; (), ..., гр (у„, уч 1) 11'м:О. Тогда существует единственная система голоморфных функций гг =гг(ум ..., у„,; 4), периодических по 1, удовлетворяющих системе дгг Д да~ у+ ' — (а.

у + - +а-,у,+1;)=р„г,+ ... +р,„г,+г, з ! вую (1=1. " ° я) и обращающихся в нуль при у„= ... = у„, = О. 194 Это преобразование возможно лишь тогда, когда ряды, определяемые уравнениями (2.2), являются сходящимися. Докажем следующее. Теорема 1. Если система (1.1) такова, что: 1) уравнение ~д,ь = б,ьт ~ = О или не имеет кратных корней, нли при наличии кратных корней каждому такому корню отвечают столько групп решений, какова его кратность; 2) Между корнями уравнений ~ рп — 6пх! = О и ~д,ь — 6г я! = О не существует зависимостей Преобразуем систему (1.1) к каноническому виду $.'=ч.$.+В.($»Ч»1) Ч'=н Чт+Н йь Чг 1) Ч1'=тг1Ч +о1-~ Ч1 — т+Нг(5 Чг 1) (э, й == 1, ..., л,; 1=- 1, ... „р; 1= 2, ..., р) (2.4) Рассмотрим систему функций т)1 — — чт ($» ..., $„,; 1), удовлетворяющих системе л> дчт+ ~)~~ дъ, 5 „Ч +7у „,(5 5 .

+ и, +Ж'16» ..„5.,; Ч, -, Ч,; 1) —, — -. ъ~~ дт), тг — а (2.5) (2.6) (2.8) 13' 195 Ц=2, ..., р) Л~ дч1 у дч1 — + д,г — ч,$,= — н1Ч1+О1 г ти г+Н11 ($» °" $~5 1) + ю дг,'~г, дд. +01м)6т~ ...~ йп,', Ч» .. Чг~ 1) — д~ э (1=2 " ~ Р) т ! И (О)а» ... гь ' 1)=ХА1Э(1)$ й $та 1 (а ьа и ~т~)(1)з й г Фр (йт+ - +Фп, ) 2; Йт+ " +Йч,+пт+ .. +лз >~ 2) Здесь Н~1" (1 = 1, ..., р) обращаются в нуль при т), = ... = Ч = О. Представим решение системы (2.5) в виде Ч =- Ха)' $ " $ (2.7) где а1~'"'~'ч) (1) — периодические функции 1 с периодом 2я, подлежащие определению.

Отметим, что в результате подстановки т)1 в выражения Б, последние обращаются тождественно в нуль. подставляя значения ч1 в систему (2.5) и отождествляя коэффициенты при одинаковых выражениях $,~ ... $„,гл„получим линейные дифференциальные уравнения для определения коэффициентов а1( ' "" " ) аг ~+Ьт*а,ч =А,*+Р,* (2.8) ар'+1т1'а1 =от г а1 г'+А1'+Р1* (1=2, ..., ГЛ ат+ ... +д„, =1; 1=2, 3 ...) где ' заменяет индекс (Й» ..., Й„,), а Ь1" = д, т, + ... + Й„,т,, — х1. Выражения Р,* представляют многочлены от коэффициентов А1(д» ' ' ~" "' ' ' "Й (1) и различных степеней тех а1~, у которых е, + ... + +йл, ~ ~1 — 1.

Руководствуясь соображениями Ляпунова, изложенными в Р) ($85, 2 42), докажем сходимость рядов (2.7). Определим функции а1» для всех значений 1г» ..., е„„удовлетворяющих условию й, + ... + /г„, = 1, считая что всеа1', у которых lг, + ... + д„, < ( 1 — 1, уже известны, в виде г+ ттт г м а,* = 1 е" "' (А,*+Р,*) г(1 ь ° гг+зя а," = г„, ~ е"1 '(<т1 ~ а; г*+А1~+Р1 )аг Пусть В! есть наибольшие значения величин ! <«1~! * *- +»л,чл, н)< для всех значений Й„удовлетворяющих условию Й»+ ... + л„, ) 2, а величины и!», ..., ир» представляют наибольшие значения модулей тех а,*, ..., а,», для которых <<<+... + й„,(1 — 1. Обозначим наибольшие значения модулей А!»(!) через а;», а через р!» наибольшие значения модулей выражений Р)*, если в последних замейить значения А)<»" »л1" ""р) (<) наибольшими значениями их модулей, а а)* для й! + ...

+ й„, з . = 1 — 1 на и!'. Нз выражений (2.9) получим наибольшие значения модулей тех а!", у которых и<+ ... + и„, = 1. и,»=В<(с<!'+р»), и;*=В<(~а< < ~и< <*+а;»+р,*) <)=2, ..., р) (2.10) Очевидно, что и<<и "' «" ! ) ~ ат<' '" "" ' ~ (»,+ ... +» =0 <=!...., р) (2.11) Давая 1 значения 2, 3..., определим наибольшие значения модулей всех коэффициентов, входящих в ряды (2.7). Рассмотрим теперь систему уравнений С,=В,(Р,<») (й„..., й„,)+Р,<<)(;„.„, й„;, Ю„„., ~„)) ~! В<(<п! ! <ы <+Р! (ь<~" ~ Йп)+Р! (ь<~ "'ю Ъп ~! '"з ьр)) (<=2, ..., р) (2.12) где Р<ч<)($„..., 9„,); Р<<!)($! ..., В,,; ь„...,ьр) () = 1, ..., р) получены из Н)<з>($<, ..., $„,;<) и Н<<'>(К„..., $„„9„..., Ьр, 1) заменой А)*(() и А)(»1" «~р'""р)(<) наибольшим значением их модулей.

Решение зтих уравнений представим в виде рядов ь)= ~и)*$," ... $,,"" <<=<, „., р), («,.)- ... +»„и2) (2.13) абсолютно сходящихся, по крайней мере, для значений | $« ~ достаточно малых. Легко обнаружить, что коэффициенты и<* определяются по формулам (2.10). На основании условий (2.11) можно утверждать, что ряды (2.7) являются абсолютно сходящимися, по крайней мере,для достаточно малых значений ~ $,~.

Переходя к исходным переменным у,„гь получим выражения г! —— =г!(у„..., у„,; !) в виде абсолютно сходящихся рядов, по крайней мере, для достаточно малых значений ~ у, ~. Возвращаясь к системе уравнений (2.2), можно утверждать, что ряды и, (у„..., у„,; Г) являются абсолютно сходящимися при выполнении условйй доказанной теоремы. Система уравнений (1.1) в результате преобразования г)= 9<+и!(у„..., у„„() примет вид ю у. = Х У.» у»+ Х Р.,' (у<, -.. у.„() Ь<+)'.'(у„..., у.„~!. -., ~„1) »=! ' /=! (2.14) Р Р = Х Ри 1<+ Х <',)!!'(У<, - э Ую, <) 1<+2!'(У1, - ~ Ул,, 11э -.э 1р, () ! ! ! 196 где Р,7' и (97г! — голоморфные функции у„..., у„„обращающиеся в нуль при у, = ... = у„, = О, а У,! и Ег! не содержат линейных членов в отношении ьг, ..., ьр. Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами первую группу уравнений системы (2.14) преобразуем к каноническому виду. Получим $.

= — );Ч.+ )" Р,1Юг, Ч» гн 1) Сг+Е. (". Чо г» 1г 1) г ! Р Ч, = )г, $, + Д 8„($„Чг, г», 1) ~7+ Н, (9„Чг, т„, 9„1) Р гг' = ~х~~ ~йюД, Чг, г», 1) ~ +йьЯг, т)г, гн, гьг, 1) !=! Р ьг' = У Рггйг + Т (,)7г(ьг Чггн, 1) ьг+Агбг Чг гн ьг 1) г 1 (2.15) 197 (з, 1=1,, ги гг, »=1, ..., км й г=г, „р) Положим теперь р Р в,=хг+ ~~.", г;ииь т),=у,+ ~~~~ ~ьгр,г, гь=р„+ ~~'.~~~гигь7(2.16) г=! г=! г=! где х„ӄЄ— новые пеРеменные, а икь Р„, игдг — фУнкции от $г, Ч„ г» и 1, удовлетворяющие уравнениям а д, — ~~ы ~ д )чЧг „~г6г~=- — ~~~ и.гРа — Х,о,г+Є—,~~и,г(.гг7 г= г дтгг Р Р Р дрг7 Ч;! !дрг7 др,г ,~г ~ )г Чг )~г $г ) ~~~ озгри+)'в!!и+~а!,~д~~ ои Ргг дг — '! дсг Чг г=! г= ! р р Р— ~.— ~~~~ ( — )ггЧг — )гВг1= —,«~ иггиР г+)(ьг —,~~ игьг Я!7 дг ! ! д$г дтн (г=!...,, гн гг=1, ..., ен 1=1, ..., Р) Эта система уравнений удовлетворяет всем условиям только что доказанной теоРемы.

СлеДовательно, фУнкЦии о,ь иеь игь7 опРеДелЯтсЯ в виДе абсолютно сходящихся рядов с периодическими*коэффициентами. Система уравнений (2.15) в результате преобразований (2.16) примет вид х,= — )!,у,-(-Х,(х„уг, р„, 9„1), у.=),х,+1',(х„у„р„, 9„1) р (2.17) Р~=Р~(хг,у»рг,ь 1) ьг= Х Риьг+27'(х~ уг рн ьг 1) г=! где Х„У„Рю 2г! обращаются в нуль при ь! = ... = ьр — — О, а функции Х„)', и Рь, кроме того, не содержат линейных членов в отношении переменных ~м Функцию ггяпунова, отвечающую системе (2.17), возьмем в виде ~'=Д (х.'+у.')+ Х рь'+)р(ь., -;) где В' — определенно-положительная квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению р сй а( ('" ' '-+Ррррр) ('+"'+~р) , , а(г Производную Г' можно представить в виде э у'= — Х ~'+Х Х'р ~;~ ! ! <=<! ! где <Р<! — обращаются в нуль при х, = у, = рь — — ~т — — О.