Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 52

э126 удовлетворяющие уравнениям — — д(х= У а 1 г Г,(х) д 2в ~ х — хд 227 Решение уравнения (3.6) можно представить в виде Г(х, а) = Гд(х)+а Г, (х)+шГ,(х) где Г,(х) — функция, определенная уравнением (3.3), Г,(х) и Г,(х) удовлетворяют уравнениям (3.7) (3.8) д Решение уравнения (3.7) всегда можно найти под видом функции Гд (х) = Ад 17' — + 1 '7 —" ! ! — — 1 Х Ад хд Коэффициенты А„А„Ад, ... определяются из отождествления степенных рядов левой части уравнения (3.7), полученной в результате интегрирования, и правой от разложения у'(хд) по степеням хд.

Зная циркуляцию вихрей в каждой точке профиля, построить поток, вычислить подъемную силу и момент не представляет никакого труда. Если профиль совершает простое гармоническое колебание, то уравнение(3.6) примет вид — — д(х = Ь'ду' (хд) + Уд ад з(п И + хд ад Й соз Ы 1 Г Г(х,1) (3.9) 2в,) х — хд д Эти уравнения всегда можно решить точно или приближенно, н решение окончательно может быть представлено в виде Г(х, а) = Г,(х)+ЮГ,(х)+ оГ,(х) где а и ю — определенные функции времени. й 4. Заключение. Изложенным методом можно определить воздействие потока на крыло при произвольном его движении и скорость основного движения можно считать переменной. Последний случай представляет интерес, так как при взлете и посадке движение самолета будет неравномерное.

В изложенном методе предполагалось, что поток за крылом безаихревой, как это считал Чаплыгин в вышеуказанной работе. В действительности, за крылом будут образовываться вихри, аналогичные кармановским, влияние которых нужно было бы учесть. Теория крыла в установившемся движении, построенная в предположении безвихревого потока за крылом, дает достаточно хорошее совпадение с опытом, хотя существование этих вихрей экспериментально подтверждено.

Будем надеяться, что полученные формулы дадут достаточно хорошее совпадение с опытом. ТЕОРИЯ КРЫЛА В ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ' Циркуляцнонная теория крыла, построенная Жуковским, позволяет с достаточной степенью точности определить величину подъемной силы крыла только на малых углах атаки, не превыншющих критического, начиная с которого зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки перестает быть линейной. При углах атаки, больших критического, опытные значения подъемной силы резко отклоняются от теоретически найденных, и одновременно с этим наблюдается значительный рост лобового сопротивления, природа которого отлична от известных составляющих сопротивления, именуемых профильным и индуктивным. Эти обстоятельства вынуждают считать критический угол атаки пределом приложимости теории Жуковского.

Недопустимо большое расхождение экспериментальных и теоретических значений подъемной силы на больших углах атаки объясняется тем, что схема движения жидкости, предложенная Жуковским для представления движения реальной жидкости около профиля, не учитывает факторов, которые в закритической области являются основными, определяющими общие свойства движения реальной жидкости. Согласно представлениям Жуковского, поток идеальной жидкости, обтекающий профиль, обладает свойством потенциальности во всей внешней по отношению к профилю области.

Внутри же профиля помевцается вихрь, создающий циркуляцию скорости по профилю. Величина циркуляции определяется в соответствии с предположением о совмещении острой кромки профиля с точкой схода. Движение жидкости считается установившимся, Все эти предположения в области малых углов атаки согласуются со свойствами движения реальной жидкости и весьма точно позволяют определить силовое воздействие потока на профиль. В закритической же области картина движения жидкости резко меняется: поток, обтекающий профиль, перестает быть потенциальным: за крылом образуется область, заполненная вихрями, вследствие чего движение становится неустановившимся.

Обширный экспериментальный материал, посвященный исследованию весьма сложной картины движения жидкости за плохо обтекаемым телом, несьютря на противоречивость некоторых отдельных экспериментов, позволяет сделать заключение (общепринятое в настоящее время) относительно общих свойств движения реальной жидкости за цилиндрическими телами. Большим числом тщательно поставленных экспериментов установлено, что на значительном диапазоне чисел Рейнольдса картина движения за телом меняется периодически.

Это явление впервые было обнаружено Струхалем в 1878 г. и записано в виде известного закона о пропорциональности частоты колебаний в зависимости от скорости. а Работа впервые опубликована в сб. егр. Кааанск. авива. нн-та», 1946, № 18. 16в 239 н н н ч У стью периодически сбрасывать с себя д Ф ~л гг л ~' вихрии, что эти вихри располагаются в два параллельных ряда в шахматном порядке. (фиг. 1).

Впервые эта картина была зафиксирована Бенаром в 1906 г, и в дальнейшем подробно исследовалась как экспериментально, так и теоретически. Оказалось, что образование и периодическое отделение вихрей с поверхности тела являются общим свойством движения реальной жидкости около плохо обтекаемых тел на весьма значительном диапазоне чисел Рейнольдса.

В 1912 г. Карману удалось построить известную теорию лобового сопротивления, основанную на исследовании шахматных вихревых цепочек, и получить общую формулу для силы лобового сопротивления. Имея в виду предпосылки теории Кармана, приведем краткий перечень основных работ как теоретических, так и экспериментальных, посвященных исследованию движения жидкости за плохо обтекаемыми телами. К серьезным работам, прямо или косвенно подтверждающим предпосылки теории Кармана, можно отнести прежде всего работы Бенара, опубли- ванные в 1908 — 1926 — 1928 гг., работу Молокка (1907 г.); исследования Рябушинского (1911 г.), проведенные с колеблющимся маятником; работы лорда Рейли, Фейджа, Бленки — Фукса — Либерса, Туссена, Леперта, Дункина и др. История вопроса и описание проведенных экспериментов подробно освещены в статьях Бенара в Сош(ез Кепдцз Асаб.

РаПз (1 183, 1926, р. 201; 1 187, 1928, р. 1028 е1 1123). Все перечисленные работы, а также работы последних лет, проводимые ЦАГИ по определению чисел Струхаля на большом диапазоне чисел Рейнольдса (до нескольких миллионов), значительно расширяют область применения схемы Кармана, и в настоящее время эта схема не может не являться основанием для удовлетворительного представления движения жидкости около плохо обтекаемых тел. Указанная особенность движения вязкой жидкости около профиля, связанная с образованием вихрей за телами, не учитывается циркуляционной схемой Жуковского, в результате чего на больших углах атаки наблюдается резкое расхождение теоретических н экспериментальных значений подъемной силы и появляется значительная сила лобового сопротивления, совершенно не учитываемая теорией Жуковского. Несомненно, что и на малых углах атаки, в докритической области, движение жидкости за профилем не является потенциальным и установившимся, .230 но-циркуляционный поток жидкости около профиля крыла при наличии за крылом вихревой цепочки.

Координаты г, и г„' необходимо подобрать так, чтобы в результате пре. образования соответствующие точки ь„и ~,' образовали вдали за телом шах мятную вихревую цепочку. Вычисление интегралов, фигурирующих в формуле (1.3), можно про. извести, не определяя движения жидкости в течение всего промежутка вре. мени от г = 0 до г =- Т. Зги интегралыможновычислить,знаязиачение функции ~р для моментов времени 1 = 0 и Г = Т, а также подсчитав величину д)Р'Ыг для тех же моментов времени. Проводя вычисления, связанные с подсчетом интегралов формулы (1.3), приходим к известным формулам, определяющим подъемную силу и лобовое сопротивление профиля (Ч (стр.

89 †1) !агав (2и — о,)— р (дг)* 2п1 Р"=ро,~ Г" (, (2.2) сп (пй Д) = ) '2 Зто соотношение получено Карманом из рассмотрения устойчивости вихревых цепочек обычным методом малых колебаний с помощью исследования членов первого приближения в уравнениях возмущенного движения. Более тщательные исследования этого вопроса, учитывающие влияние членов высших порядков, привели к заключению, что при любых соотношениях между й и 1, в том числе и при условии Кармана, вихревые цепочки не обладают устойчивостью в бесконечно малом, и, следовательно, условие Кармана нельзя считать обоснованным. В дальнейшем мы будем пользоваться соотношением между й и 1, выведенным из критерия наименьшего изменения энергии, который в применении к задаче о равномерном движении твердого тела в жидкости можно заменить критерием экстремального сопротивления (минимум или максимум Я„).

Действительно, энергия Е, затраченная в единицу времени на продвижение тела, выражается величиной Е ==- ~ Яоа! и, следовательно, уравнение ЬЕ = 0 в данном случае эквивалентно урав- нению Если вариацию 6~ Яд~ в нашей задаче подсчитать при условии изменения й и 1и при этом счйтать ЛГ величиной постоянной, то из уравнений дЯ /дй=О, дЯ„,'д1=0 233 Первое уравнение определяет величину подъемной силы и по внешнему виду ничем не отличается от известной формулы Жуковского. Второе уравнение представляет силу лобового сопротивления и тождественно с формулой Кармана. В дальнейшем эту составляющую силу лобового сопротивления в отличие от других составляющих будем обозначать Я„. Формулы (2.2) сводят задачу о подсчете силы воздействия потока на профиль крыла к определению величин Г, ЛГ, Ь и 1, где 1 — расстояние между соседними вихрями, а Й вЂ” расстояние между цепочками.