Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 51

Воспользуемся уравнением (4.2) для определения циркуляции. Произведя вычисления, получим Г =со! где с=4пХ/(4пзУ+1), 1=ЬД=0,245 Подсчитывая отношение поступательной скорости дорожки со скоростью тела, на основании этой формулы и/и = 0,29 Если подставить значение циркуляции в формулу для лобового сопротивления, то получим обычный квадратичный закон сопротивления среды с! = сро Ь у Кармана получается Я =~0,793 — — 0,314 ~ — ) ~ роз! При исследовании вопроса воздействия потока жидкости на цилиндрическое тело предполагалось, что вихри за телом могут размещаться шахматным порядком.

Карман исследовал кроме шахматного еще параллельное расположение вихрей, и при его методе исследования такие дорожки получились неустойчивые, на основании чего из дальнейшего исследования он их исключил. Из настоящего исследования они исключены по той причине, что эксперимент такого движения не обнаруживает. Рассмотрим их вкратце с целью подтверждения метода исследования. Для прямого расположения вихрей будем иметь ь г г пь Я = рà — (р — 2и) + р —, и =- — с1 1!в 2п! 2! ! Условие (4.3) для этого случая примет вид 15 пЬД = пЬД Этому уравнению можно удовлетворить только одним значением Ь/! = О, что может быть, когда Ь = 0 или ! = оо, в обоих случаях вихревой дорожки не существует. На основании этого можно сделать заключение о невозможности такого движения в действительности, хотя математически оно возможно.

Литература 1. Тй. Кагтап. Ойег деп Месйапытпз без 9/!оегз!авдея, беп е1п Ьечгея!ег Кбгрег 1п !пег Р!цзз!в!ге!! ег!айг1. Об!!!пйег Насймсшеп, 1911, НеН 5, з 509, № 12. 2. Н. и. Жуковский. Полное собрание сочинений, том У. Изд-во АН СССР, 1937. 3. Н, И. Акиезер.

К вопросу об устойчивости вихревых улиц. Матем. сб., 1927, т, 34, вып. 3 — 4. 4. В. В. Голубев. К теории вихревых дорог Кармана. Матем. сб., 1933, т. 40, вып. 1. 5. А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935. 6. А. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб., !893, т.

Х'тгН, вып. 2. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ КРЫЛА АЭРОПЛАНА' й 1. Основные предложения и определения. Теоретические исследования динамической устойчивости самолета, а также исследования вибраций его крыльев приводят к необходимости иметь формулы, которые прежде всего определили бы подъемную силу и момент давления воздуха на крыло при произвольном его движении. Эта задача впервые решалась С. А.

Чаплыгиным' для крыла бесконечного размаха при условии постоянства циркуляции скорости по контуру крыла, При построении потока, обтекающего колеблющееся крыло, периоды колебаний предполагались настолько малыми, что изменением циркуляции, происходящим от колебания крыла, можно пренебрегать. В предлагаемой работе устанавливаются структурные формулы для силы и момента давления воздуха на крылов неустановившемся движении при переменной циркуляции.

Задача решается для крыла бесконечного размаха. Поступательное движение крыла с постоянной скоростью 1', будем называть основным движением, вращение его около связанного с ним центра с угловой скоростью и», а также движение центра вращения с переменной скоростью и будем называть собственным движением крыла. Основное предположение, которым в дальнейшем будем пользоваться сформулируем так: если в некоторый момент времени к скорости каждой частицы жидкости, вызванной основным движением крыла, прибавить скорость, вызываемую собственным движением, то в данный момент времени движение жидкости можно считать установившимсясо скоростями, равными геометрической сумме скоростей от основного движения и от собственного движения крыла.

Поток от собственного движения крыла не является стационарным, поэтому при вычислении силы и момента давления его на крыло необходимо этот поток считать установившимся, что и утверждается вышеизложенным. Задачу неустановившегося движения можно бы ставить несколько шире; именно считать, что, кроме основного и собственного движений крыла, сам поток воздуха имеет неиоторые дополнительные переменные скорости; например, от порыва ветра. Это дополнительное условие вносит усложнение в решение задачи, если считать скорость ветра непостоянной во всех точках профиля; если же скорость ветра заменить средней скоростью, то ход решения останется прежним. Поставленную задачу решим для случая тонких крыльев, считая возмгпкным заменить профиль системой вихрей, расположенных по средней линии профиля'. За исключением самого профиля, поток ' Работа впервые опубликована в сб.

«Тр. Казанск. авиац. ин-та» !933, № 1, а С. А . Чаплыгин. О влиянии плосхопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндринеское хрыло. Сб. «Тр. ЦАГИ», 1926, вып. 19. а Замена профиля вихревой системой впервые применялась, по-видимому, Бирнбзумом, строгое же доказательство этого положения дано М. А. Лаврентьевым. 223 будем считать свободным от вихрей. Кроме того, будем предполагать воздух несжимаемым и лишенным силы вязкости.

Зги предположения необходимо сделать, чтобы упростить задачу до применения формул гидродннамикн. й 2. Вывод интегрального уравнения. Пусть в плоскости дан тонкий профиль со средней линией АВ. Отнесем его к системе координат хоу, неизменно с ним связанной. Уравнение профиля по отношению к этой системе у = у(х) представляет аналитическую функцию. Возьмем вторую систему координат неподвижную ХоУ, ось Х которой направим параллельно скорости 7, основного движения в бесконечности. Собственное движение профиля АВ слагается из 1) вращения около точки о с угловой скоростью в, одинаковой для всех точек профиля, и 2) движения точки о со скоростями и„и ио (см. фигуру).

Будем предполагать, что профиль можно заменить вихревой пеленой и циркуляцию каждогоотдельного вихря подберем так, чтобы результирующая скорость частиц жидкости в обращенном движении была касательной к дуге АВ, т. е. У„= О, где ӄ— проекция результирующей скорости на нормаль. Для вывода уравнения, определяющего циркуляцию в точках профиля, подсчитаем проекции скорости на оси хоу, Проекции скорости от основного движения на оси подвижных координат имеют величины Уо соз а и — Уо з|п а, постоянные для всех точек профиля. Проекции скоростей собствейного поступательного движения и„и и»в тоже постоянные для всех точек профиля, а проекции скорости вращения равны ву,; — вх,, Кроме этих скоростей в точке Ф(х„у,) будем иметь индуцированную скорость от вихревой пелены, проекции которой на оси ох и оу выражаются 1 Ж„= — ) Г(з,г)»' » о(з, Фо= — ( Г(з,г) — 'Йз 2я ~ о где г — расстояние точки М(х„у,) до переменной точки М(х, у) с элементом <Ь.

Тогда проекции на оси координат результирующей скорости обращенного движения выразятся ! — У = У соз а +ву, + и — — Г (з, г)» — '» йз х — о о — У = — У з(па — вх1+и + — "Г(з,() ' " Йз 2я,) о По условию результирующая скорость обращенного движения должна совпадать с касательной к профилю АВ, следовательно, 1/„!'г'„ = у' (х,) нли в раскрытом виде — коз)па — сох,+и,— У'(х,)(1',соза+иУ, +и„)= — ((х — х,) + у' (х1) (у — у,)) Жз ~ гм,м 2а, г' о (2.1) Считая х н у выраженными через з, заключаем, что уравнение (2.1) есть уравнение Фредгольма 1-го рода с неизвестной функцией Г(з, г), причем время ь' можно считать как параметр. Если Г(з, Г) определена согласно урав- нению (2.1), то построить поток, обтекающий профиль, в каждый момент времени, можно таким простым способом: следует покрыть дугу массами с переменной плотностью Г(з, г), определить притяжение этой кривой не- которой точки М с массой, равной единице, при законе притяжения 1/г, полученный вектор умножить на 1/2п и повернуть около точки Ж на прямой угол в сторону, обратную вращению вихрей; полученный вектор и будет скоростью в точке У.

Эту задачу всегда можно решить точно или при- ближенно. й 3. Решение уравнения (2.!) в частных случаях. 1) Предположим, что профиль представляет прямую линию, которая вращается с некоторой угло- вой скоростью около одного из концов. Условия плавного обтекания в этом случае, как это следует из уравнения (2,1), для малых углов атаки можно записать г г (ьл> р,а+„,, 2,) о ь х,— е ь а а Известно, что предел этого выражения зависит от изменения з, = ~р(е) и для каждой физической задачи эта зависимость должна быть определена из ее условий. В нашем случае необходимо положить <р(е) = е, что следует нз представления точечного вихря в идеальной жидкости, как предельного значения вихря объемного. Индуцированные скорости прямолинейного вихря с площадью поперечного сечения в виде круга радиуса е даются формулами В' = — — (г > е), Ж', = оьг(г С з) г 2а г Поэтому, рассматривая действие всех вихрей на профиль, необходимо для каждого вихря отрезок длиной 2е из интервала интегрирования выки.

путь по закону е = з„т. е. взять главное значение интеграла. При этих ограничениях уравнение (3.1) можно решить с точностью до произвольной постоянной, которая определится из условия плавного схода потока с задней кромки крыла 13 щ за~ о!2о 225 Ядро интегрального уравнения (3.1) имеет полюс в интервале интегрирования, поэтому без дополнительных физических ограничений решение этого уравнения невозможно, так как интегралы такого типа математического смысла не имеют. Условимся вообще под интегралами такого типа понимать Г (|, а) = О, 1 (О, а) = О Представим решение уравнения (3.1) в виде Г(з,а) =соГ,(5)+аГ,(5) Функции Г,(5) и Г,(5) будут удовлетворять двум уравнениям с 1 1 Го(5) С(5 = зо 22! 5 — 52 о ! 115 = )со г гс(5) (З.з) 52 Решение уравнения (З.З) дает циркуляцию для прямолинейного профиля в случае установившегося движения Г,(.)=ЗР,~/ '=' 5 Решение уравнения (3.2) дает циркуляцию для параболического профиля в установившемся движении при нулевом угле атаки Г,!5=1) '' -1-2!)с' — (! — — ) Общее решение уравнения (3.1) представляется в виде Го!=2 12,2~ — 2- !(2, — -1-2! — '1! — )) 5 Подъемная сила профиля определится по формуле Р РР ~Г(5,а)515 о Выполняя интегрирование, получаем Р = па1р(с~~+ 3/452)со р1' Момент относительно передней кромки выразится формулой Мо=о )Го') 5Г(з,а)сй 'о (3.4) Подсчеты дают с)25= Р" о а1 + Р)соо21 4 5 (З,б) Центр давления найдется по обычной формуле М о Р Первые члены формул (3.4) и (З.б) дают выражение подъемной силы и момента для прямолинейного профиля в установившемся движении.

При о) = 0 получается, как частный случай, теория плоского крыла в плоско- параллельном потоке установившегося движения. 2) Пусть профиль имеет среднюю линию, выраженную уравнением у = у(х), которое представляет аналитическую функцию. Предположим, что 226 профиль кроме основного движения с постоянной скоростью параллельной оси ох имеет вращение с угловой скоростью дд = д(аЛЙ. Для случая малых углов атаки и малой кривизны профиля условие плавного обтекания можно записать формулой ад -ддхд — у (хд)+а *д'д или — ) д(х= дду (хд)+ "да+'дхд 1 ГГ(х,а) д (3.6) где а=ада!пйт, дд=д(а/Й=адйсозхд В общем случае какого угодно колебания решение уравнения можно представить в виде тригонометрического ряда Г (х, г) = ~ ( Г„(х) з ! и п! + Г„(х) соз п!) л В данном случае Г (х, 1) = Гд (х) + Г, (х) з(п Ы + Г, (х) соз й2 где Г,(х), Гд(х) и Г,(х) — функции, д(х= д'ду (хд) 1 Г Гд(х) 2в,! х — хд д ! — — д(х=х,а,)д 1 Г Гд(х) 2дд,) х — хд д 16 здк.