Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 56

ге 2я о (2) то движение неустойчиво. Если у ( Π— асимптотически устойчиво. Если У = О, то формы Х>"'> и У'("'> задачи об устойчивости не решают. В формах Х>"'>, У>"'> и Р, входящих в (2) вместо х и у, подставлены соз 0 и з>п 0 соответственно. При Р— знакоопределенной и >'= О задача решена привлечением форм более высокого порядка, чем Х<"'> и У("'>. В работе 1') решается вопрос об устойчивости интегралов системы и х =у, у =у(х,у,х„...,х„), х,'= ~р,„х„+Х,(х,у,х„...,ху) а=> (а 1,..., л) при известных предположениях относительно правых частей.

Эта задача решена Ляпуновым в случае отсутствия присоединенной системы в работе 249 Ляпунов рассмотрел в своей диссертации простейшие из особенных слу чаев: случай одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней для уста- новившихся движений и случай одного корня, равного единице, и двух со. пряженных мнимых корней е~'"ь, равных по модулю единице, для сис. тем с периодическими периода е> коэффициентами, в предположении, что ).ь>1п есть число несоизмеримое.

Несколько позже Ляпуновым был рассмо- трен случай двух нулевых корней с одной группой решений. Первые работы Г. В. Каменкова по устойчивости движения были по- священы дальнейшему развитию теории устойчивости движения в особен- ных случаях. В работе (з) решается задача об устойчивости интегралов системы диф- ференциальных уравнений вида х = Х (х, у), у = У (х, у) (1) Здесь Х (х, у) =Х<"'> (х, у)+Х<'"+» (х, у)+ ...

)' (х, у) = ус"'> (х, у) + у'<'"+' > (х, у) (- ... аналитические функции х, у, обращающиеся в нуль при х = у = О. Доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения вида (1) удовлетворяют условиям: 1) функция Р(х, у) = хУч"'> — уХ<"'> знакопеременная в смысле Ляпуно.

ва; 2) Функция Х> Чх может быть сделана величиной положительной прв условии Р(х, у) = О, то невозмущенное движение неустойчиво. Теорема 2. Если дифференциальные уравнения (1), таковы, что 1) Р(х, у) = хУ<"'> — уХ<"'> — функция зиакопеременная, 2) Х< Чх( О, У<"'Чу ~ О при Р(х, у) = О, 3) Х 4"'> = О, У<"'> = О не имеют общих ветвей, проходящих через начала координат, 4) по крайней мере одно из равенств дХ>~> д>'~~> > дХ>~~ д>'<~> у — х = оГ>"'>, и — х — = оХ>"'> дх дх1 ' гв ду> ~.ду не имеет места при условии Р(х, у) = О для всех о ~ 1, то невозмущенное движение асимптотически устойчино.

Теорема 3. Если Р(х, у) = хУ<"'> — уХ< '> функция знакоопределенная и при этом «Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движенияэ (!893 г., Матем. сб., вып. 2, стр. 253 — 333). Та же задача при наличии присоединенной системы также решена А. М. Ляпуновым, но стала известна и опубликована лишь в 1963 г. Не зная о существовании решения, данного Ляпуновым„Г.

В, Каменков исследует другим методом вопрос об устойчивости в случае двух нулевых корней с одной группой решений с присоединенной системой. В этой работе Г. В. Каменков при доказательстве теорем о неустойчивости широко пользуется известной теоремой Четаева, что значительно упростило исследование задачи. Функции Ляпунова и Четаева для полной системы после разделения критических и некритических переменных Г. В. Каменков строит в виде суммы двух функций У (х, у, х„..., х„) = У, (х, у) + У, (х„..., х„) Здесь У! (х, у) — функция Ляпунова или Четаева для критической системы, а У,(х„..., х„) определяется из уравнения дУ« ~ (рп х, + ...

+ р,„х„) — =. ~ (х,'+ ... + х„') 1=! а и дх! Знак плюс или минус берется в зависимости от знака У,'. Таким образом, Г. В. Каменков в работе [') доказывает возможность сведения в случаях несущественно особенных задачи об устойчивости системы (и + 2)-го порядка к системе второго порядка. Работа [Ч посвящена исследованию устойчивости движения в особенном случае двух нулевых корней с двумя группами решений при наличии при соединенной системы. Г, В. Каменков показывает, при помощи каких преобразований можно перейти от исследования устойчивости системы (и + 2)-го порядка к эквивалентной задаче об устойчивости системы второго порядка. Зтот переход от исследования устойчивости полной системы к исследованию лишь критической системы позднее стал называться «принципом сведения».

В процессе использования принцип сведения подвергался в работах различных авторов дальнейшему развитию. После перехода к исследованию системы второго порядка обобщаюгся результаты работы ['[. Доказана общая теорема об устойчивости по формам Х!"'! и У!"'! в случае, когда форма г"(х, у) = хУ!'"! — уХ! > — знакопеременная. ' Теорема. Если 1) г(х, у) — — хУ!'"! — уХ<"'! — знакопеременная или знакопостоянная функция 2) Х<"')~х(0, У!"'>/у(0 при г(х, у) =- О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

В более поздних работах Г. В. Каменкова [!е'э[ условие 2) заменяется эквивалентным условием )с,(х, у) = хХ!«о + у)'!"'! (О. Если хотя бы на одной из вещественных прямых Р(х, у) = 0 выражение )«',(х, у) =. О, то формы Х!"'! и У!"'! вопроса об устойчивости не решают и необходимо привлекать к рассмотрению формы более высокого порядка. Задача об устойчивости в этом случае чрезвычайно усложняется. Решить эту задачу Г.

В. Каменкову удалось значительно позже [ы). Результаты работ [' — '[ уже в тридцатых годах нашли применение прн исследовании устойчивости бокового и продольною движения самолета. В монографии [Ч Г В. Каменковым обобщены результаты работ [4 з), впервые исследована устойчивость в критических случаях нулевого и пары чисто мнимых корней и двух пар чисто мнимых корней в предположении, что чисто мнимые корни ~ !) „~ !)., таковы, что сумма (т!2!, + т«).,) Ф 0 250 для любых целых т„удовлетворяющих условию (т, + т,) ( У, где Ф— порядок форм в преобразованной критической системе, которыми решается вопрос об устойчивости.

Ограничение (т, + т,) ( М не исключает так называемого внутреннего резонанса в членах порядка выше, чем М. Показано, что задачу об устойчивости в случае одного нулевого корня н пары чисто мнимых корней, а также в случае двух пар чисто мнимых корней при упомянутом ограничении, наложенном на чисто мнимые корни, можно свести к исследованию устойчивости двух нулевых корней с двумя группами решений. Далее рассматривается общий случай, когда определяющее уравнение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет и-кратный нулевой корень, которому отвечает т групп решений, 2р чисто мнимых, удовлетворяющих условию т~)ч+...+1прХ„+О (тз+...+и ~(Л) и у корней с отрицательными вещественными частями.

Здесь и, — целые числа, включая нуль. Показано, что эта задача может быть сведена в случаях несущественно особенных к исследованию устойчивости системы с (т+ р)-кратным нуле. вым корнем, которому отвечает (и + р) групп решений. Для систем с л-кратным нулевым корнем, которому отвечает а групп решений, доказана очень важная теорема о неустойчивости по формам т-го порядка. Теорема. Если система уравнений такова, что уравнения Р,ь — — хьХ,<"'1 — х,Хь1"'> = О при любом фиксированном й н при з = 1, ..., /г — 1, А + 1, ..., и ймеют вещественные решения, отличные от х, = х, = ... =. х„=- О, и, если форма л й = ~ч~ х,Х,1'">(х„...,х„) прн Р,„=О я=3 может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Для доказательства этой теоремы Г. В. Каменковым дано обобщение известной теоремы Брио и Буке на системы вида х — =у,.(х,у„..., у„) Ыю «=1,..., а) (3) где 1'; — голоморфные функции х, у„..., у„, обращающиеся в нуль, когда х = у, = ... = у„= О. Доказано, что если уравнение аг, ~ р,„— б,„я~ =О для р,„= — '! дух 1 =р,=...=э„=а не имеет целых положительных корней, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций у„..., у переменной х, удовлетворяющих системе (3) и обращающихся в нуль при х = О. В том случае, когда исследуется устойчивость систем с чисто мнимыми корнями, удовлетворяющими условию з,т,), Ф О, уравнения Р,„= О всегда имеют решение, отличное от тривиального, и теорема о неустойчивости особенно важна для таких систем. В заключительной пятой главе работы рассмотрены те особенные случаи задачи об устойчивости движения для систем с периодическими коэффициентами, исследование которых можно свести к предыдущим.

Показано, 251 с помощью каких преобразований можно перейти от исследования устойчивости периодических движений к исследованию устойчивости равновесия. Последние работы Г. В. Каменкова [ш ы] по теории устойчивости в критических случаях посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Рассматриваются системы уравнений х, = — );у,+Х,(х„...,х„;у„..., у„;т) ув' = 2'ахв+~ 8(х1> ' гяр' у1 " ур' т) (=!" л! где Х, и У, — голоморфные функции переменных х„..., х; уо ..., у „ разложение которых начинается с членов не ниже второго порядка. Коэффициентами разложения Х, и У,являются периодические функции с об1цим. вещественным периодом в, Для р = ! и иррационального з,вЪ задача об устойчивости разрешена, Ляпуновым, В [м] решена задача для ).в)я рационального.

Показано, что в этом случае с помощью преобразований, не изменяющих задачи об устойчивости, можно перейти к исследованию критического случая двух нулевых корней с двумя группами решений вида х =Х!м)(х, у)+... +Х!'"+">(х,у)+Х<'"+"+')(х, у,!)+... и =- У~"'! (х, д) + ... + Р'"+" ! (х, у) + У<'"+я+ ' ! (х, у, г) + ... (4), где т ) 2, ж + М = )Ум причем ]Ч, равно сколь угодно большому числу. Как уже отмечалось, вопрос об устойчивости системы (4) в том случае„ когда для его решения достаточно рассмотрения форм Х<~! и У~"!, был полностью исследован Г. В. Каменковым в работах ]э, ', 6], где, однако, отмечено, что формы Х! ! и У! ! так же, как и первое приближение, не всегда решают вопрос об устойчивости н необходимо привлекать к рассмотрению формы более высокого порядка.

В этом случае задача об устойчивости представляет исключительные трудности, которые Г. В. Каменкову удалось преодолеть в работе ["] и сформулировать ряд общих теорем об устойчивости не только по формам (и + !)-го, но и более высокого порядка. Применение доказанных теорем к каноническим системам дало возможность обобщить результаты Леви в Чивита, Зигеля.