Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 57

Вторая часть работы [м] посвящена исследованию устойчивости движения в критических случаях р пар чисто мнимых и п-нулевых корней. Показано, что задача об устойчивости в критическом случае любого числа пар чисто мнимых корней всегда приводится к исследованию устойчивости критического случая кратного нулевого корня. Кратность нулевого корня и число отвечающих ему групп решений определяются характером чисто мнимых корней. Если чисто мнимые корни ~: й, при иррациональных Х, удовлетворяют соотношению ллт,Х, ~ О, то в результате эквивалентной по отношению к задаче устойчивости замены Г. В. Камеиков приходит к системе р нулевых корней с р группами решений, понижая в этом случае. порядок системы вдвое.

Если только корни ~ !), таковы, что ), = а,![), (а„]), — целые числа), то в результате преобразований Г. В. Каменков получает систему с нулевыми корнями того же порядка 2р, что и исходная система. В работе ["] получен новый вид дифференциальных уравнений возмущенного движения в критическом случае и-нулевых корней с п-группами решений, для которого упрощается построение функций Ляпунова и Четаева. Сформулированы для него критерии устойчивости и неустойчивости.

Последняя работа Г. В. Каменкова [ "] также посвящена исследованию устойчивости периодических движений. Доказана общая теорема. о том, что задачу об устойчивости периодических движений в случаях несущественно особенных всегда можно свести к задаче устойчивости равновесия.

252 Теорема о существовании голоморфных функций вд = г! (а„..., д„,; 1)„ периодических по 1, удовлетворяющих системе (см. стр. 194) дгт ' дг! — д! +,'~~ — (л„й, + ... + И...Н., + У,) = рн з, + ... + р,„з, + г, де, позволила Г. В. Каменкову исследовать устойчивость движения и в некоторых существенно особенных случаях. 2) Исследование устойчивости движения на конечном интервале времени сводится прежде всего к установлению самого понятия устойчивости в этом случае, которое так же, как и определение Ляпунова, выражало бы естественное свойство движения в смысле прочности и неподатливости по отношению к начальным возмущениям, но только на конечном интервале времени.

В качестве такого определения Г. В. Каменковым в работе [') было предложено следующее. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения х, =р„(!)х!+...+р,„(!)х„+Х,(х„...,х„;!) (е=!,..., п) (5) (где р,! — вещественные, непрерывные и ограниченные функции времени 1, а разложение функций Х, по целым положительным степеням х, начинается с членов не ниже второго порядка) таковы, что при достаточно малом положительном числе А величины х„рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию ~~„(а!!х, + ...

+а;„х„)'(А 1=1 на конечном интервале времени [~„1е + т), если только начальные значения этих функций х„удовлетворяют условию л ~(а!!х!,+...+а!„х„,)'(А с[е1[ах ![~О (),р=1,...,п) 1=! то невозмущенное движение устойчиво на интервале времени т; в противном случае — неустойчиво, т. е. т = О. Принимая такое определение устойчивости, Георгий Владимирович формулирует и доказывает следующие фундаментальные теоремы [е).

Теорема 1. Если характеристическое уравнение, соответствующеесистеме дифференциальных уравнений возмущенного движения при 1 = 1„ не имея кратных корней, имеет только отрицательные корни или комплексные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение. обладает устойчивостью на некотором конечном интервале времени т. Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется. по крайней мере один положительный корень или два с положительнымн вещественнымн частями, то невозмущенное движение не обладает устойчивостью на конечном интервале времени, т. е. т = О. Теорема 3.

Если среди корней характеристического уравнения по крайней мере один нулевой или два чисто мнимых корня при остальных отрицательных или комплексных с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение может не обладать устойчивостью на конечном интервале времени. Прн доказательстве этих теорем Г. В.

Каменков представляет исходную систему (5) в виде х, =р„(1,)х,+...+р,„(1,)х„+Ьр„(1)х,+...+ар,„(1)х„+ +Х, (х„..., х„; 1) (где рп(1) =- р«1(Г») + Лрм(1), Лрм(1) = О, а р««(1») — вяз~ения функций р «(«) при 1 = 1,) с дальнейшим преобразованием линейной части системы с постоянными коэффициентами и каноническому виду.

В работе дан также метод определения величины интервала времени т, на котором движение устойчиво. Постановка самой задачи об устойчивости движения на конечном интервале времени и метод ее решения, данные Г. В. Каменковым, оказались исключительно плодотворными и полезными при решении прикладных задач, а сама работа Г. В. Каменкова [») положила начало целому научному направлению в теории устойчивости движения. 3) Развивая общую теорию устойчивости движения в критических случаях, Г. В.

Каменков в работе [') подошел к одному из наиболее неясных вопросов — к исследованию устойчивости движения в случаях, близких к критическим, имеющих большое прикладное значение, особенно в задачах управляемого полета. Такими называются случаи, когда характеристическое уравнение О(х) =- «[е1[ р«„— Ь«„х[= 0 (Л,[«= 1,...,и;6«„=0 при ) ~ р,б«„= 1 прн ) = р) .соответствующее системе обыкновенных дифференциальных уравнений воз- мущенного движения вида х, = р„х» + ... + р,„х„+ Х, (х„..., х„) наряду с корнями с отрицательными вещественными частями имеет по крайней мере один корень с малой положительной или отрицательной вещественной частью.

Постановка задачи об устойчивости движения в этом случае, данная Г. В. Каменковым в работе ['[, является весьма оригинальной. Дело атом, что обычно наличие корня с положительной вещественной частью уравнения (6) является достаточным условием неустойчивости движения независимо от членов Х, (х„..., х„). Очевидно также, что наличие только корней с отрицательными вещественными частями обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения, Эти две замечательные теоремы Ляпунова лежащие в основе всей теории линейных колебаний механических систем и устойчивости их движений, получены им прн весьма жестких ограничениях, налагаемых на начальные возмущения хпь х„,..., х„,. Определяя устойчивость движения, Ляпунов предполагает, что все ~х„[ могут быть сделаны менее любого наперед заданного числа. Таким образом, предельное значение начальных возмущений есть нуль.

Учитывая, однако, что в реальных условиях начальные возмущения могут быть ограничены снизу, Г. В. Каменков определяет устойчивость невозмущенного движения следующим образом ['[. Если в пространстве х„..., х„можно указать замкнутую область О, обладающую тем свойством, что возмущения х„..., х„, рассматриваемые как функции времени и удовлетворяющие уравнениям возмущенного движения (7), не выходят за эту область для любых значений г ) г», если только их начальные значения х,», ..., х„, находились внутри или на границе этой области, то невозмущенное двйжение устойчиво; в противном случае оно неустойчиво.

Изложенное определение устойчивости, данное Г. В. Каменковым, не нарушает механического смысла, заложенного Ляпуновым в определении устойчивости движения. Данное Г. В. Каменковым определение по своему смыслу также близко к пониманию устойчивости, высказанному Пуанкаре в третьем мемуаре его монографии «О кривых, определяемых дифференциал ьными уравнениями».

254 Помимо решения принципиального вопроса об устойчивости, Г. В. Каменков в своей работе дал способ отыскания самой области 6, что представляет практический интерес. В этой работе Г. В. Каменков подошел к проблеме нелинейных колебаний, показав глубокую связь этой проблемы с функциями Ляпунова. Впоследствии это направление было развито в работе [и[. Нелинейные колебания. Последние несколько лет Г. В.

Каменков занимался проблемами нелинейных колебаний. К числу таких проблем, рассмотренных им в работе [и[, относятся: отыскание условий существования периодических решений, исследование устойчивости этих решений, отыскание форм колебаний и процессов установления. Георгий Владимирович исследует как автономные системы типа Их/1Й = — Ху+ рХ (х, у, зм ..

Хл, р) Йу[г[1 = )х+ р)' (х, у, г„..., гл, р) п Нг,/й= ~ р„г;+р2,(х, у, г„...,г,; р) 11 (з=1,..., л) так и неавтономные системы типа лх, — =- — ),,у,+пХм(х„...,х„;у„..., у,; !)+ + р' Хм (хм " хл) Уо " ~ Ул) г) + " +1м (г) + р1м (г) + " а — "'=-),,х,+рЕ'„Хх„, ...,х„; у„...,у„; ()+ + и' )'м (х„..., х„; У„..., У„; () + ... + <Р„(() + Р ~Рм (() + " (Б=!,..., л) Здесь р — малый параметр; Х, У и 2, представляются рядами в отношении параметра р, коэффициенты которых есть многочлены от х, у, г, сколь угодно высокой степени; Хго 1'„— многочлены сколь угодно высоких степеней с непрерывными периодическими относительно г коэффициентами общего периода 2п; ~„и дм — непрерывные периодические функции с тем же периодом 2п. Для указанных систем в работе [ы[ сформулированы и доказаны следующие основные теоремы.

Теорема 1. Если система исходных уравнений такова, что соответствующее ей уравнение Е, (У) = — ( [Х, (У соз О, Р з[п О) соз 0 + 1', (Р соз О, Р з! п О) з(п О! с(0 = О 2Л о 255 в отношении Р имеет й положительных корней нечетной кратности, то каждому из этих корней будет соответствовать по крайней мере один предельный цикл и каждому из этих предельных циклов соответствует периодичесское решение этой системы.