Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 7

Тогда правая часть будет полным дифференциалом и, следовательно, Этот интеграл называется интегралом Лагранжа для потенциального неустановившегося движения сжимаемо й среды. Если жидкость несжимаемая, т. е. р=сопз1, интеграл Лагранжа примет внд —, + — + —,=и+С(1). р аз дт г и (2.18) При установившемся движении сжимаемого газа производная ~ =0 и произвольная функция С(г) превратится в константу.

дт д~ Интеграл (2.17) будет иметь следующий вид: (2.19) — 44— Этот интеграл называется интегралом Лагранжа— Б е р н у л л и. Константа С будет иметь постоянное значение для всей массы газа. Из изложенного следует, что предположение о потенциальности потока и баротропии приводит к необходимости существования потенциала массовых сил. Это У означает, что потенциальное и баротропное движение газа может быть осуществлено только под м действием консервативных сил. Рассмотрим теперь, как можно йнои т проинтегрировать дифференциальные уравнения движения для произвольного (непотенциального) х установившегося течения сжимае- мой среды. Этот интеграл впервые з получил Д.

Бернулли и поэтому его называют интегралом, или уравнением, Бернулл и. Пусть газ движется по отно- шению к координатной системе охуг. Поскольку движение установившееся, траектории н линии тока совпадают н частица газа М движется по траектории, являющейся одновременно линией тока, с некоторой скоростью о (рис. 2Л). За промежуток времени Ж частица газа проходит по траектории элемент пути Нз, который равен скорости, умноженной на время: Спроектируем элементарное перемещение частицы вдоль линии тока на координатные оси х,у, г; тогда получим йх=о Ж, йу=о Ж, юг=о, г(г. Предполагая движение баротропным, напишем теперь диф- ференциальные уравнения движения газа в форме (2.1!), вводя вновь функцию Р (2.16). Будем иметь до„дР— "=Х вЂ” —, И дх ду ""у =у дог дР г=у Л дг Чтобы проинтегрировать эти уравнения, умножим каждое из них на соответствующее элементарное перемещение вдоль линии тока н сложим.

В результате получим (о„г(о„+ о, до„+ о, г(о) =(Х г(х+У г(у+ Е дг)— l дР дР дР— — Дх+ — (у! — (г) . (,дх ду ' дг Очевидно, левая часть полученного уравнения есть полный ог дифференциал от —, Выражения, стоящие справа, также являются полными дифференциалами, т.

е. — дх+ — Ду+ — Да=ар, дР дР дР дх ду дг Х г(х+ )г г(у+ У г(г= Лl. Следовательно, уравнение можно переписать в виде (( — ",')= (и — ( (( — и+Р+ — ", )=0. После интегрирования получаем — и+Р+ — ', =С, или, используя равенство (2.16), (2.20) — 45— Этот интеграл называется интегралом Бернулли для установившегося движения сжимаемого газа, Если р=сопз1, то этот интеграл принимает вид (2.21) Константа С, входящая в формулы (2.20) и (2.21), имеет постоянное значение только вдоль данной линии тока. При переходе к соседним линиям тока эта постоянная может принимать другие значения.

Если пренебречь массовыми силами, то уравнение (2.21) примет вид рэ2 р+ — =С. 2 (2.22) Отсюда !(р= Скр' — 'др др — ~ =Скр' '~(р. Р Поэтому — рк— др к, к р р к — ! к — ! р Подставляя выражение интеграла в уравнение (2.23), получим о' к р — + — — = сопз1.

2 к — ! р (2.24) Учитывая, что ! к р д к — ! р имеем УЯ вЂ” +1= сопз1. 2е (2.25) Из уравнения (2.22) следует, что при установившемся движе- РРЗ нии несжимаемой жидкости полный напор, равный р+— вдоль линии тока остается неизменным. Для сжимаемого газа без учета массовых сил имеем: (2.23) Допустим течение газа является изэнтропическим. Тогда В Международной системе единиц (СИ) уравнение (2.25) имеет вид ое — +1= сопз!. 2 (2.25') о 4 Р Ро Подставляя найденное значение С в уравнение (2.22), находим рое 2 Р~+ 2 2 Для определения давления р, в критической точке положим р=р, и о=О. В результате будем иметь ро Ро=р + 2 (2.26) Определим теперь давление в критической точке А с помощью уравнения Бернулли (2.24), выведенного в предположении, что воздух сжимаем.

Для этого найдем константу С из условий на бесконечности: к Р, "оо — — + — =С. к — 1 р 2 Подставляя найденное значение С в уравнение (2.24) и используя выражение Р Р„ ок= к Реп — 47— Уравнение Бернулли в форме (2.25) представляет собой уравнение энергии для изэнтропического течения (уравнение энергии для общего случая движения газа будет выведено в гл.

ХП). Выясним, какова будет ошибка в определении давления воздуха при использовании уравнения Бернулли (2.22). Рие. 2. 2. Произвольное тело в потоке газа Допустим, что поток воздуха обтекает какое-нибудь тело (рис. 2.2). Пусть на достаточно большом удалении от тела поток воздуха обладает скоростью о и давлением рз. В критической точке А скорость о равна нулю, а давление будет максимальным, равным р,. Используем уравнение Бернулли в форме (2.22).

Константу С определим из условий на бесконечности: ро 2 С=р + —,-. получим Положив в этом уравнении р=-р, и о=О, что соответствует критической точке, будем иметь к — 1,2 или, после несложных преобразований, к + 2 Выражая скорость звука по формуле (1.32), получим 2 г Р " " 2 2 =. — =М КР К тогда к ь =(1+' —,' МЧ вЂ” . (2.27) Тогда в результате преобразований получим 2 — =!+ М 1+ — + — М +.... — 48— Формулой (2.27) можно пользоваться для определения давления в критической точке р, с учетом сжимаемости.

Поскольку влиянием сжимаемости потока можно пренебречь только при малых значениях числа М, то, для того чтобы выяснить пределы применимости формулы (2.26), полученной без учета сжимаемости, в формуле (2.27) примем М ((1. При этом условии разложим правую часть выражения (2.27) в ряд по степеням — Мг (( 1 по формуле бинома Ньютона: 2 Отсюда При к=1,4 2 / 2 4 р а / М, М Рее+ 2 ~ + 4 + 40 + "' или 2 ра=р + '",'" (1+е,), (2.28) где Мг М4 е =1+ — + — +.. Р 4 40 (2.29) Сравнивая формулы (2.28) и (2.26), замечаем, что Лр= 2 РеЕ "еЕ =е 2 представляет собой погрешность в определении давления р„получаемую при использовании формулы (2.26).

Если Лр Р., Р.', отнести к скоростному напору 2 , то относительная погреш- ность Таблица 2.1 170 0,5 6,2 203 0,6 9,0 238 0,7 12,8 272 0,8 17,3 340 1,0 27,5 68 102 0,2 0,3 1,0 2,25 136 0,4 4,0 306 0,9 21,9 34 0,1 0,25 и, м/ееи М Ер, Из таблицы видно, что при скоростях движения тела до о = 102 м(сек погрешность при использовании уравнения Вернулли в форме (2.22) мала и ею можно пренебречь. Следовательно, при скоростях полета, не превышающих 360 — 400 хм/час, допуская ошибки около 22/в, в аэродинамических расчетах можно не учиты- — 49— 3 з . во! Ьр е = —. г Р 2 Следовательно, величина ер в формуле (2.28) представляет собой погрешность, отнесенную к скоростному напору, при определении давления в критической точке ра без учета сжимаемости.

Величину ер также можно трактовать как относительную поправку, учитывающую влияние сжимаемости. Из формулы (2.29) следует, что эта величина ер зависит от величины числа М В табл. 2.1 приведены значения ер в зависимости от скорости потока (от числа М, ) для воздуха (к = 1,4). вать сжимаемость воздуха. При больших скоростях влиянием сжимаемости нельзя пренебречь. Уже при околозвуковых скоростях ошибка в определении рв без учета сжимаемостн превышает 20%. 2.

4. Уравнение импульсов для усгпановивисегося движения невязкого газа При нахождении результирующих сил давления потока на обтекаемые тела часто гораздоудобнее пользоваться общими теоремами механики (как было указано в з 2.2), в том числе теоремой об изменении количества движения или уравнением импульсов, применяя их к конечным объемам жидкости, чем получать эти зависимости путем интегрирования диф- У вус ференциальных уравнений движения. Выделим в потоке какую-нибудь замкнутую поверхность 5, внутри которой находится обтекаемое тело К (рис.

2.3). Применим к конечному объему газа, заклю- Рис. л.з, К виводу уравнения импульсов — зов ченного между поверхностью 5, называемой контрольной поверхностью, и телом К, теорему об изменении количества движения. Обозначим количество движения этого объема газа через М. Ограничивающая этот объем контрольная поверхность 5 перемещается вместе с находящимися на ней частицами и в силу этого деформируется. За время ссг поверхность 5 переместится и займет положение 5' (контур поверхности 5' можно получить, отложив от каждой точки поверхности 5 вектор, равный о Ж; концы этих векторов образуют поверхность 5').

Масса газа, ограниченная поверхностью 5', будет обладать количеством движения М'. Разность е(М=М' — М представляетсобой изменение количества движения за время с(с. При установившемся движении разность с(М будет равна количеству движения газа, заключенного между поверхностями 5 и 5'. В этом нетрудно убедиться, так как в остальной части объема газа, общей для обоих положений рассматриваемой массы газа, количество движения при установившемся движении одинаково и при вычитании сокращается.

Таким образом, необходимо подсчитать лишь то изменение количества движения, которое произошло вследствие перемещения поверхности 5 в положение 5'. Для этого или, сокращая на й, р'=Ц ро„об5. (2.31) Выражение (2.31) представляет собой у р а в н е н и е и мпульсов для установившегося движения конечного объ ема газа. возьмем на поверхности 5 площадку г(5, которая за время Ж перешла в положение г(5'. Количество движения, соответствующее объему г(11 между поверхностями 5 и 5', очевидно, равно р и го= ро„й Ы5о, так как объем аЪ' можно рассматривать как элементарный цилиндр с основаниями аБ и высотой о„й, где о„— нормальная составляющая скорости о на площадке г(5.