Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 11

Поэтому волна повышенного давления, возникающая, наприРис. 4.2. Криволинейный скачок унлотне- Мер, перед телоМ, раепрония и схемы ириного и косого скачков страняяеь вперед, дефор- мирует набегающий поток, прн этом линии тока искривляются уже перед телом. Поток как бы заранее приспосабливается к обтеканию тела. Вдоль нулевой линии тока происходит непрерывное уменьшение скорости от у до у = О в критической точке, а давление возрастает от р до давления торможения р,. Отсюда следует, что в дозвуковом потоке скачки уплотнения не могут возникнуть. В сверхзвуковом потоке возмущения против направления скорости не распространяются.

Поэтому даже непосредственно перед заостренным телом поток не возмущен. При встрече с таким телом направление скорости потока внезапно изменяется (см. рис. 4.1). Это приводит к скачкообразному изменению величин скорости потока, давления, плотности и температуры. При обтекании тупоносого тела появляется сильная волна повышенного давления, которая распространяется со скоростью, значительно превышающей скорость звука (~ 4.5 гл. 1Ч). По мере распространения волны повышенного давления интенсивность ее падает. Уменьшается при этом и скорость распространения волны.

Поэтому скачок уплотнения возникает перед телом на таком расстоянии, когда скорость распространения волны повышенного давления становится равной составляющей скорости набегающего потока, направленной против движения волны (см. рис. 4.2, а). Расстояние отсоединенного криволинейного скачка уплотнения от тела зависит от формы тела и скорости невозмущенного потока 5 4.

1. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения Перейдем к изложению основных свойств скачков уплотнения. Допустим, что в некотором сечении АВ сверхзвукового потока газа образовался прямой скачок уплотнения. Обозначим параметры состояния газа до скачка через р„р„Т, и о„а после скачка— через р„р„Т, и оз. На рнс. 4.3 показан характер изменения скорости и давления в прямом скачке. ц Считая, что значения параметров ог газа до скачка известны, получим формулы для определения их после скачка.

Для нахождения зависимости между параметрами газа за скачком и перед ог иим использУем УРавнение неРазРыв- Роа,й Рисгрг ности, уравнение количества движения, уравнение энергии и уравнение состояния. Уравнение неразрывности, выражающее равенство секундных масс газа до и после скачка, напишем в следу виде: ~т НЛ рис. 4.3. Характер изменения скорости и давления в прямом скачке уплотнения Рг ог = Рв оя Так как изменение количества движения газа при прохождении через плоскость скачка происходит в результате разности давлений ря — р„то Рз — Рг = Рг ол(ог оз). (4.2) Равенство полной удельной энергии, которой обладает газ перед скачком и за ним, имеет вид 2 2 — +с.= —,+св (4.3) — 71— о .

Очевидно, что чем больше о, тем ближе располагается скачок уплотнения к телу. Скачок уплотнения, строго говоря, представляет собой не математическую поверхность, а слой весьма малой толщины (порядка длины свободного пробега молекул). Поэтому в теории скачков уплотнения математически их можно заменять поверхностями разрыва. Следует подчеркнуть (это будет доказано ниже), что появление скачков уплотнения около тела приводит к увеличению его лобового сопротивления.

(4.4) Система четырех уравнений (4.1) — (4.4) позволяет определить значения параметров газа за скачком по их значениям перед ним. Из условия постоянства полной удельной энергии 1, дои после скачка уплотнения следует, что температура торможения в скачке уплотнения не изменяется, так как она равна 12 тр= —, Уср ' или в системе единиц СИ Т, = — '. ср Тогда, пользуясь формулами (З.З) и (3.10), получим, что в потоках до и после скачка уплотнения максимальная о,„и критическая арр скорости имеют одинаковые значения.

Следовательно, в потоках до и после скачка уплотнения значения удельных расходов ро, полной удельной энергии 1„температуры торможения Т„максимальной и „и критической аср скоростей одинаковы. Получим формулу для определения скорости потока за скачком уплотнения. Из уравнения (4.2) имеем Р2 Р! О1 — 02 =— Р2 "2 Р1 "! Помножим обе части этого уравнения на произведение скоростей п1 о,: П! О2 (11 О2) П1 О2 Р2 Р! Р2 ж (4.5) и выразим отношение — через скорость потока. Для Р Р представим — в следующем виде: Р Р Р 22 р к этого где а' можно определить по формуле (3.9).

— 72— Возможность применения этого уравнения к сечениям струйки, расположенным по разные стороны от плоскости скачка, обусловливается тем, что процесс сжатия газа в скачке уплотнения можно считать адиабатическим (т. е. теплоизолированным). При прохождении газа через скачок его полная энергия не изменяется, происходит только перераспределение различных видов энергии — теплосодержание увеличивается в результате соответственного уменьшения кинетической энергии. Используя применительно к скачку уравнение состояния газа (1.7'), будем иметь Тогда р 2к (4.6э Рх К вЂ” ! 2 2 ("1пах О1) ра 2к — (Опала О2). (4. 7) Подставляя в уравнение (4.5) отношения -8 — ' и Р' (4.7), 'поРа Рх лучим К вЂ” ! ! 2 "1 ог (оа ог) 21, Рвах (о1 ог) о1 ог (о1 о2)1 или 2 о,ог = а„р.

(4.8) Формула (4 8) называется формулой П ран дт ля. Обозначим коэффициент скорости до скачка уплотнения через Л1= — ', за скачком — через Л, = — '. Тогда из формуахр а„р лы (4.8) следует, что Л1 Л2 (4.9) В формулах (4.8) и (4.9) скорость потока до скачка уплотнения сверхзвуковая ог) а,(Л,) 1). Тогда скорость за скачком уплотнения, равная а2 л а„ а г 1 меньше скорости звука (о,(а,р, о,(а, Лг(1).

Следовательно, при переходе через прямой скачок уплотнения сверхзвуковой поток становится дозвуковым. Минимальная скорость потока за скачком уплотнения будет при ох=о,„(Ма=по) г а„р к ! Огра!а= — = ! Опаах. рп1ах К + В скачке уплотнения о, Ф о,. Поэтому, сокращая обе част!2 уравнения на разность о,— о„в результате небольших преобразований получим к — 1 2 Ог Ог = — Йпаха к+! Найдем относительное изменение скорости ( в пря- 1 21 Р2'1 Р1 мом скачке уплотнения в зависимости от числа М,: 1 Р2 1 Р2 Р1 21 Подставив о„найденную по формуле Прандтля (4.8), получим 22 Р1 Р2 2Р = 1 —— р, 22 1 (4.10) а2 Преобразуем выражение — "" следующим образом: 22 ! 22+1 22 22+1( 2 — 1 М21! ! ! ! Подставив выражение (4.11) в формулу (4.10), получим (4.12) Р,— 22 2 21 к+1 Для воздуха при к=1,4 максимальное относительное изменение скорости (при М,-» со) равно ( ' 21 /2222 б ' Получим формулы для определения изменения давления —, плотности — и температуры — в прямом скачке уплотР2 Р2 т, Р1 Р1 т, нения в зависимости от числа М,.

Из уравнения (4.2) имеем — = 1+ — 'о! Р2 ° 1 2 21 — Р2 Р1 Р1 Подставляя сюда "' ' по формуле (4.12) и принимая Р' = Р1 Р1 к = —, получим а2 ! Р2 2к М2 к — 1 Р, к — ,'1 ' к+1 (4.13) Из формулы (4.12) видно, что чем больше число М„тем больше относительное изменение скорости в прямом скачке уплотнения, т. е. чем больше число М„тем интенсивнее скачок уплотнения. При М,-»со(о,-» о,„) Из формулы (4.13) следует, что изменение давления в прямом скачке уплотнения для данного газа зависит только от числа М, (рис.

4.4). При М,= 1 Р' =1, а при М,.в. оо отношеРз ние †' неограниченно возрастает. Ре Для определения отношения уравнением (4.1): воспользуемся Ре Ре 40 ое Подставляя сюда о„найденную по формуле Прандтля (4.8), имеем Рв Ре ав аз где †"о определяется по формуле оз 1 (4.11).

Тогда 30 !0 1 м, 2 Э о 5 6 (4.14) +М! Рис. 4.4. Кривая зависимосми изменения давления ре в аряРв мом скачке от числа Мз Ре Рв Те 7 2к Ме к — 1) /к — 1 2 1 Т, (к-1-1 к+!)! к+1 к+1 Мя) — 75— Отсюда видно, что при М,=1 Р' = 1, а Рз 1пп — = р, к+! м,-со Ре Следовательно, при переходе через прямой скачок уплотнек+! ния плотность возрастает, но не более чем в ! раз (для воздуха при к=1,4 не более чем в 6 раз, а при к=1,2 не более чем в 1! раз). Кривая зависимости Р' отМ, представлена карис.4.5.

Ре Характер возрастания плотности в прямом скачке уплотнения объясняется значительным увеличением температуры за скачком. Возрастание температуры можно определить, пользуясь уравнением состояния (4.4): Т, р, Т, р, р Рв где отношения Р' и Р' можно найти по формулам (4.13) и (4.14) Рв Рз соответственно. Поэтому Кривая зависимости отношения — от М, показана на рис. 4.6. т, т, Из формулы (4.15) видно, что при М, = 1 — '= 1, а при т, Мд~ оо отношение температур — неограниченно возрастает. Нат, д пример, уже при М,=10 температура воздуха за скачком уплот- нения больше температуры перед скачком примерно в 20 раз.

Т 7, У В 7 б 5 ь з 7 д 7 3 4 5 б 7 В У ДВ 7 В ь 5 б м Рис. 4.б. Кривая зависимости ивменения температура — в пря- 7'ч т мом скачке уплотнения от числа м Рис. 4.5. Зависимость отношения Рь Рд от числа 1гдд для прямого скачка уплотнения Позтому при больших числах М, дальнейшее возрастание плотности вследствие увеличения давления (рис. 4.4) почти полностью компенсируется уменьшением плотности за счет значительного повышения температуры за скачком уплотнения (рис. 4.6). з 4. 2. Сравнение сжатия при прямом скачке с извнтропическим сжатием При изэнтропическом процессе изменение параметров состояния газа связано простым соотношением: (4.16) Из уравнения (4!16) следует, что при неограниченном возрастании давления плотность увеличивается неограниченно. — 76— Подставляя значение М, из уравнения (4.17) в уравнение (4.13), полу- чаем 1 ! 2 5 Ф 5 б Рв 6 к+1 ов ро к — 1 у, (4.18) Рис.

4.7. Извнтропа и ударник адиабата в координатах Рв бв рв ро к+! ов к — 1 м Соотношение (4.18) выражает закон уда ной адиабаты Гюгонио. 6 а рис. 4.7 изображены два закона: изэнтропический и закон ударной адиабаты в координатах Р' и — " . Рп Рв Пользуясь уравнением состояния газа до скачка уплотнения р,=)(р, Т, и за скачком ри= 1(рвТ,, можно вывести для прямого скачка зависимость между отношением давлений р' Рп и отношением температур —.