Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 6

В результате получим ар др др ар (ао до, ао,1 — + — о + — о + — о + р ~ — + — + — *1 = О. д1 дх " ду У дг г ~ дх ду дг ! Замечая, что первые четыре слагаемых представляют собой полную производную от р по времени г, получим следующее уравнение неразрывности: — +р — + — + — 0. др (до асу до ~ Ш (дх ду дг! (2.6) Введем коэффициент кубического расширения 0, характеризующий относительное изменение объема газа за единицу времени. Покажем, что коэффициент 0 равен: дох дог дог 0= — "+ — + — '.

дх ду дг ' В частном случае, когда жидкость несжимаемая, т. е. р=сопй, коэффициент кубического расширения 0=-0. Следовательно, уравнение неразрывности примет вид до „дьт до — "+ — + — '= О. в де ду дг Это уравнение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости. В векторной форме оно имеет вид йоо=О. В случае установившегося движения газа при решении практических задач часто пользуются уравнением неразрывности в форме уравнения массового расхода, т.

е. рог = сонэ), (2.9) где Р— площадь поперечного сечения трубки тока. 2. 2. Дифференциальные уравнения движения в форме Эйлера Для того чтобы написать общие законы механики применительно к жидкой или газообразной среде, необходимо прежде всего мысленно выделить в этой среде некоторую ее часть и заменить действие окружающей ее среды соответствующими силами. В том случае, когда в результате решения задачи должны быть определены распределенные характеристики (распределение скорости и давления), применяется метод элементарных объемов. При этом из жидкой или газообразной среды выделяется элементарный объем, в пределах которого изменением скорости и плотности можно пренебречь.

Применительно к этому объему можно написать соответствующие уравнения механики, относящиеся к динамике точки. Тогда в результате предельного перехода при стягивании элементарного объема в точку получаются дифференциальныеуравнения движения. Необходимо иметь в виду, что интегрирование дифференциальных уравнений движения газовой динамики, как правило, в общем аиде невозможно. Кроме того, при составлении дифференциальных уравнений искомые функции (скорость, давление, плотность) предполагаются непрерывными дифференцируемыми функциями координат.

Как будет показано в гл. 1Р' и г', это не всегда имеет место. В некоторых случаях (например, при определении суммарных аэродинамических характеристик тел — подъемной силы, сопротивления и момента сил) нет необходимости пользоваться диф- ференциальными уравнениями. В этом случае можно применять метод конечных объемов, Для этого в жидкой или газообразной среде выделяют конечный объем, в пределах которого необходимо учитывать изменение скорости и плотности. Применительно ко всей массе, заключенной в этом объеме, можно написать уравнение механики, относящееся к системе материальных точек (например, теорема об изменении количества движения, теорема живых сил). Этот метод не позволяет определить распределение скорости и плотности, а, наоборот, эти величины должны быть известны.

Однако для определения сил с необходимой точностью в ряде случаев достаточно знать распределение скорости весьма приближенно. Уравнения, полученные с помощью метода конечных объемов, применимы и к областям с разрывным изменением параметров потока. Для вывода дифференциальных уравнений движения невязкого газа воспользуемся методом элементарных объемов и выделим в потоке малую частицу, объем которой обозначим через йР, а через Ю вЂ” площадь боковой поверхности этого объема. Применяя принцип Даламбера, рассмотрим равновесие сил, действующих на объем Р.

Обозначая через Р главный вектор массовых сил, отнесенных к единице массы, а через Х, 'т', У вЂ” его проекции на оси координат, получим для главного вектора массовых сил, действующих на этот объем, следующее выражение: ~ Ррсй~. Со стороны окружающей среды на частицу будут действовать поверхностные силы.

Так как здесь рассматривается газ как идеальная жидкость, то вектор поверхностной силы (силы давления) будет направлен по внутренней нормали к поверхности Я. Вводя орт п внешней нормали, будем иметь р = — пр. Следовательно, главный вектор поверхностных сил примет вид — 1 прйБ. Обозначая через ~о ускорение элемента объема Л~, для главного вектора сил инерции получим следующее выражение: — ) врп"г'. По принципу Даламбера, главный вектор всех сил, включая и силы инерции, должен быть равен нулю: ) Урду — ~прая — ~аорпМ = О, — 38— или ) (г — 1ь) рЛУ вЂ” ) рпЖ=О.

Применяя к последнему интегралу форму лу Остроградского— Гаусса ) рпг(Б = ') араб рЛУ, находим ) '1(г" — в) р — игаса р ~ Ю= О. В силу произвольности рассматриваемого объема )У подынтегральное выражение должно быть равно нулю в каждой точке газового потока и в любой момент времени. Таким образом, приходим к основному уравнени1о движения невязкого газа: — †. дах †.дРУ вЂ” дог и=-1 '+1 — +А —" М д1 ' Ш р=1Х+1)г+М, Нгаб р=1гд — +1д — +Й дг, то уравнение Эйлера в координатной форме примет вид дог др дх др ду др дг ! (2.1 1) Уравнения (2.11) применимы для исследования движения как сжимаемой, так и несжимаемой среды.

Каждый член уравнений дах дау дрг представляет собой ускорение: —, —, — — проекции полного дФ' Ю' И ускорения движения; Х, )', Š— ускорение частицы газа, вызы- 1 др 1 др 1 др ваемое массовыми силами, а — — —, — — —, — — — — ускорер дх' р ду' р дг ния частицы от сил давления. Поэтому полное ускорение дви- — 39— — — 1 ю = г' — — пгаб р. Р Полученное уравнение является у р а в н е н и е м Э й л е р а в векторной форме.

Так как жения частицы складывается из ускорений, вызываемых массовыми и поверхностными силами (силами давления). Преобразуем уравнение Эйлера. Для этого выразим проекции ускорения через проекции скорости согласно формулам до» дох дох дох до„ дг дг » дх У ду * дг "= — +о — +о — +о — ", до до до до до — = — +Π— +Π— +О д«дг " дх У ду «дг до«до« ~ до«до«до, « — «+О «+,+О д« дг дк У ду « дг В результате получим следующие дифференциальные уравнения, являющиеся уравнениями Эйлера в развернутом виде: дох дох — +О д«» дх +о— до„ ду до +о у ау до« +о У ду до» +о — »=Х— «дг до„ 0 » дх доу — + дг до — '+ д1 доу +о — '=у— «дг (2.12) а, 0 дх до 1 ар +о — '=2 — —— «дг рдг о„(х, у, г, 0) = ~, (х, у, г) о„(х, у, г, 0) = 1« (х, у, г) о,(х, у,г, 0) ~,(х,у,г) Очевидно, начальные условия необходимы при решении задач для неустановившегося движения газа.

Граничные условия делятся на два вида условий — динамические, относящиеся к силам, и кинематические, относящиеся к скоростям. Динамические граничные условия, выполняющиеся на свободной поверхности, сводятся к равенству давления внешней среды и давления на рассматриваемой поверхности. На поверхности обтекаемого тела выполняется условие безотрывности обтекания, т.

е. О„=О, которое является кинематическим граничным условием для неподвижной поверхности. — 40— Интегрируя основные дифференциальные уравнения движения газа, получим решения, содержащие произвольные функции и произвольные постоянные. Для их определения необходимо ввести дополнительные условия, носящие название начальных и граничных условий. Рассмотрим прежде всего начальные условия.

Начальные условия заключаются в задании поля скоростей в начальный момент времени 1 =- О. Это означает, что найденные решения о, (х, у, г, г), о„(х, у, г, г), о, (х, у, г, 1) должны при г = 0 обращаться в заданные наперед функции координат ~ь 1«, (г, т. е. 2. 3. Интегралы дифференциальных уравнений Эйлера ! !дох дог'~ У 2~дг дх) или до, доу дох до, доу дох ду дг ' дг дх' дх ду (2.13) Обратимся к системе уравнений Эйлера (2.12): дох дох дох дох ! др — +о — +о — "+о — "=Х вЂ” —— д! хдх Уду г дг рдх' до до до до ! др + о + ' + " 1' д дгхдхгдугдгОУ' дог дог, дох дог 1 др — '+о — '+о — '+о — '=Я вЂ” — —, д! "дх Уду 'дг удг' или, используя (2.13), получим (2.14) г= Преобразуем эти уравнения следующим образом. Как известно, при потенциальном движении дт дт к дх У ду' х дг' — 4!— Дифференциальные уравнении движения в форме Эйлера в общем виде не интегрируются.

Интегралы дифференциальных уравнений можно найти только в частных случаях, а именно: в случае потенциального течения и в случае установившегося движения сжимаемого газа. Рассмотрим сначала случай потенциального неустановившегося движения. Как известно, при этом вектор угловой скорости — ! ог = — го1о=О, и, следовательно, его составляющие по коорди- 2 натным осям ог, а и в, равны нулю: Используя эти соотношения, а также свойство независимости смешанной производной от порядка дифференцирования, можно дху дг частные производные — ", —, — ' написать в следующем виде: д1 ' д1 ' д1 ' —."'= Й2) = -'. (Й).

' —."' =.-'('-:-) =.-',(Я) — '"'= 4(2) = 4(й) Тогда уравнения (2.14) примут вид 2 = р дг + дг12) дг 1дг) (2. 15) Представим первые члены правых частей в виде частных производных по координатам от некоторой функции Р(х, у, г, 1): 1др др 1др др 1др др дх дх' уду ду' здг дг' Аналогично можно написать, что 1др др р дг д1 — 1 — г(х + — г(у + — дг + — Ж) =- ! гдр др др др р 1,дх ду дг Ж др др др др = — г(х + — г(у + — дг + — й, дх ду дг дг или откуда Р ) др (2.16) Очевидно, функция Р будет определена, если задана зависимость р от р, так как в этом случае интеграл (2.16) может быть вычислен. — 42— Умножая эти выражения соответственно на йх, г(у, г(г, Ж и складывая, находим Движение, при котором плотность является однозначной функцией только давления, называется б а р о т р о и н ы м.

Для баротропного движения интеграл (2.16) является функцией только давления. В аэродинамике сжимаемого газа обычно рассматриваются такие процессы, при которых плотность р выражается непосредственно через давление, т. е. когда функция Р действительно существует. Вводя эту функцию в уравнения (2.15), находим Для интегрирования этих уравнений умножим их соответственно на дх, Лу, дг и сложим: Хил+у (у+гб =- — ~Р+ — + — ) их+ д г а' дт~ дх (, 2 д~) д ( 2 +д1) ~+д ( 2 д~) Х йх+Уду+Хлг=д(Р+ 2 + ~",).

Поскольку правая часть — полный дифференциал, левая часть также будет являться полным дифференциалом. Но полный дифференциал левой части, представляющей элементарную работу массовых сил, есть, очевидно, дифференциал силовой функции и, т. е. Интегрируя, получаем Р+ 2 + д', =и+сй, о~ дт где С вЂ” произвольная функция времени ~. Подставляя вместо Р его значение по формуле (2.16) окончательно находим — "'+ — ", +ф=и+с(г). (2.17) — 43— Выражения, стоящие в скобках, — функции не только х, у, г, но и г. Поэтому, интегрируя их, будем считать, что переменное г закреплено.