Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 4

/р~ =» ( к~ (1. 28) Из формулы (1.24) следует, что энтропия системы будет оставаться постоянной, если отсутствует внешний подвод тепла (ад=О) и термодинамический процесс протекает без потерь. (йц,=О), т. е. если йу'=О, то «(з=О и а=сон»1. Из выражения же для энтропии в конечной форме (1.27) или (1.28) следует, что если энтропия з=сопз(, то для рассматриваемой системы 1 т' — ' = — соп51, или — „=-сон»1. р»К (1.29) Процессы, протекающие без теплообмена и при отсутствии потерь, т. е. с постоянной энтропией, будем называть в дальнейшем и з э н т р о п и ч е с к и м и.

Параметры состояния газа для изэнтропических процессов связаны соотношениями (1.29). Эти соотношения можно переписать в следующей форме: (1.30) — 22— где индексы «1» и «2» относятся к каким-либо двум состояниям газа, участвующим в изэнтропическом процессе; величину к принято называть показателем изэнтропы. Изэнтропический процесс — процесс обратимый. Следует отметить, что во всех реально наблюдаемых процессах участвуют силы трения. Поэтому йд, ~ О и теплообмен г(д ~ О, т. е. все они сопровождаются необратимыми потерями энергии и теплообменом.

Однако во многих случаях теплообмен и необратимые потери энергии невелики, ими можно пренебречь и считать процесс изэнтропическим, что сильно облегчает исследование газовых потоков. Следует также иметь в виду, что трение является только одним из видов необратимого превращения механической энергии в тепловую. Существуют и другие виды необратимых превращений механической энергии (см. гл. 1Ч и У). Как известно, второй закон термодинамики состоит в том, что в изолированной системе, где внешний теплообмен отсутствует (Лд= О), при любом процессе энтропия системы не уменьшаетс я. Выше было показано, что при изэнтропических процессах (дд = 0) энтропия изолированной системы остается постоянной.

Следовательно, при всех других процессах энтропия изолированной системы будет возрастать, что и определяет направление всех реальных процессов в газе. й 1. 8. Скорость звука В несжимаемой среде всякое изменение давления в данной точке передается мгновенно, т. е. теоретически со скоростью а = ьо. Иначе обстоит дело в сжимаемой среде.

Если в некоторой точке пространства, заполненного покоящимся сжимаемым газом, местное давление р изменится на величину Лр, то при малых значениях Лр возмущения, вызванные изменением давления, будут распространяться во все стороны со скоростью звука. Как известно, скорость распространения звука в упругой среде выражается через модуль упругости Е следующим образом: а= ~/'р— В сжимаемой среде можно считать, что малое возмущение давления Лр аналогично напряжению сжатия о. Относительное сжатие равно относительному увеличению плотности, т.

е. —. СледоваЬр Р' тельно, модуль упругости Е примет вид Е= —. рар Ьр В таком случае выражение для скорости звука запишется в следующем виде: а= ~l Э' При Лр-э 0 н Лр-+ О, получим а= 1/ "Р (1.З1) вр Это означает, что под скоростью звука в сжимаемой среде можно подразумевать скорость распространения малых возмущений. Покажем это на примере. Рассмотрим цилиндрическую трубу, (рис. 1.3), заполненную сжимаемой средой.

Предположим, что дви- — 23— Рис. д 3. К оиредееекию ско рости звука РаЛ е (р+ Л р) о. Это приращение количества движения должно равняться сумме импульсов сил давления ЛрРЛе. Таким образом, находим РаЛг'(р+Лр) о=ЛРРЛг, или Лр=ао (р+Лр). Из (а) и (б) получаем аае о (с+ ар) Др ао(р+Др) ' (б) или а =— Др Др ' откуда при Лр-иО и Лр-иО получим а=~ др ф т. е. действительно малое возмущение давления Лр распространяется со скоростью звука а. Если предположить, что в сжимаемой среде происходит изэнтропический процесс, для которого — 24— жением поршня вызывается малое повышение давления Лр. Это повышение давления будет распространяться со скоростью а в не- возмущенную область. В возмущенной области имеются давление р +Лр и плотность р + Лр.

Сжимаемая среда вследствие возмущения плотности Лр будет двигаться с малой скоростью о. Пусть в момент е граница возмущения будет АВ, а в момент Д + Ле — СО. За время Лг возмущение, распространяясь со скоростью а, пройдет расстояние АС = аЛе и захватит е'ш объем РаЛе. Следовательно, прира- Л й щение массы за времяЛе будет равно РаЛгЛР. Это приращение будет — равно массе, входящей слева со ско- Р'др ~ а ~ Р . ростью о и равной (р +Лр)оЛДР. Приравнивая эти два выражения для д д приращения массы, находим аЛр=о(р+Лр). (а) На основании теоремы изменения количества движения можно утверждать, что приращение количества движения равно количеству движения, возникшему в объеме РаЛг, захваченном возмущением, т.

е. равно ср где к= — , а р, и р, суть давления и плотность в некоторой с„' фиксированной точке, то выражение (1.31) для скорости звука примет несколько иной вид. В самом деле, йр ро я ~ р йР Ро Р Следовательно, а= вал к —. Р (1.32) и мадле сапа папа уопо лооп топо лоопа тлк ьпао Рис. !А. Кривые зависильости скорости звука от температуры и давления с учетом реальнььх свойств воздуха На основании уравнения состояния (1.7) н (1.7') выражение скорости звука а можно написать в виде а = УАЙТ, в Международной системе единиц (СИ) (1.33) а=- ~Гкле, Т.

(1.33') — 25— 2В. зьв. во~ Таким образом, в сжимаемой среде малые упругие возмущения распространяются с конечной скоростью а, зависящей от отношения давления и плотности в данной точке (1.32) или от абсолютной температуры в данной точке (1.33). Необходимо отметить, что при диссоциации и ионизации воздуха величина скорости звука отличается от значений, вычислен- ных по формуле (1.33) для совершенного газа с постоянной теплоемкостью (й = 1,4; )с = 29,27 кГм7кГ град). При этом скорость звука зависит не только от температуры, но и от давления.

Характер зависимости а от Т и р при высоких температурах приведен на рис. 1.4. 1. й. Распространение малых возмущений в потоке газа Если в покоящемся газе (о = О) в точке О находится источник малых возмущений, то эти возмущения распространяются во все стороны одинаково, представляя собой сферические звуковые волны с центрами в точке О. Таким образом, в покоящемся газе звуковые волны распространяются симметрично по отношению к источнику О. о а о>а Рис. Дб, Распространение малых Рис. Кб. Распространение малых воэмусяений в дозвуковом потоке воэмуиее~ий в сеерхэвукоеом потоке Иная картина будет в том случае, когда звуковые волны распространяются не в покоящемся, а в движущемся газе.

Здесь могут иметь место два случая: 1) скорость движения газа дозвуковая (о ( а); 2) скорость движения газа сверхзвуковая (о ) а). Рассмотрим первый случай (рис. 1.5). Пусть источник возмущений О движется слева направо со скоростью о ( а. В этом случае за единицу времени, например 1 = 1 сек, источник возмущений пройдет путь ОА, = о, а звуковая сферическая волна распространится во все стороны с радиусом г = а. Еще через одну секунду центр звуковой волны переместится в точку Аэ, и ее радиус будет г = 2а и т.

д. Таким образом, малые возмущения будут распространяться от породившего их источника во все стороны, не только по течению, но и против него. Совсем иная картина получается в сверхзвуковом потоке. В этом случае скорость перемещения источника возмущения больше скорости распространения волны вдоль радиусов. Поэтому в сверх- — 26— звуковом потоке волны не могут распространяться против течения. Оии не заполнят все пространство, а, наоборот, будут концентрироваться в определенной его части, вытянутой в направлении тече. ния. В самом деле, предположим, что газ движется слева направо со скоростью о ) а (рис.

1.6). В этом случае звуковая волна, исходящая из точки О, распространяется со скоростью а, а ее центр движется со скоростью о ) а. Таким образом, за время 1 звуковая волна распространится на расстояние а1, отсчитываемое от движущегося центра, а ее центр пробежит отрезок ООз = о1. Огибающая этих звуковых волн на плоскости состоит из двух полупрямых ОА~ и ОАе, называющихся линиями возмущений (илилиниями Маха). В пространстве эти линии образуют так называемый к о н у с в о з м у щ е н и я (конус Маха) с углом возмущения и.

Очевидно, что линии возмущения ограничивают область возмущенного потока (внутри конуса) от невозмущенного. Из рис. 1.6 видно, что ае 1 гйп р= — = —, ш м' (1.34) следовательно, с увеличением числа М угол возмущения умень- шается (происходит сужение зоны возмущенного движения). 1.

70. Понятие о подобии потоков — 27— В аэродинамике и газовой динамике особо важное значение имеет теория подобия потоков, так как она устанавливает возмож. ность перенесения экспериментальных данных, полученных для модели, на натурный объект. Рассмотрим два потока, обтекающих натурный объект и его модель. Назовем сходственными точками этих потоков такие, которые геометрически подобно расположены относительно рассматриваемых тел, предполагаемых также геометрически подобными. Подобными потоками назовем такие, у кото.