Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 9

Если в формуле (3.9) скорости о и а считать равными а„р, то 2 к — 1х 2 оъ акр — (Оааах акр/а 2 откуда 2 к — 1 2 а„= — о,„. к+1 (3.10) Для воздуха критическая скорость а„р — — 0,408 о ,„. Используя формулы (3.9) и (3.10), легко получить следующую зависимость: к+1 о к — 1 а = — а,р — — о. 2 2 Из выражения (3.10) следует, что критическая скорость зависит только от температуры торможения Т,. Действительно, подставляя в формулу (3.10) значение о,„по формуле (3.3), получим о к — 1 .

2к 2к ро аар = — 2!о= — ос То = —— к+1 к+1 к+! ро (3.12) Учитывая, что кКТ,=а'„находим 2 2 2 а„= — ао. к+1 (3.13) В частности, используя формулу (3.12) для воздуха (к=1,4, Я=287,04 дж/кг град), будем иметь а„р - 18,3 )7 Т,. (3.14) откуда, используя выражение (3.10), получаем Т = — Т. 2 к+1 (3. 1б) ЗВ, Зах. оо! — 57— Если скорость а„р выразить не через температуру торможения Т„а через критическую температуру Т„„то на основании формулы а„р — — 7 косТ„р, получим а„р ~ 20 ) !Т,р (3.15) Для температуры газа Т„„соответствующей критической скорости, из формулы (3.7) имеем кр кр — =1 —— Т о раааа Так как для изэнтропического процесса — ';: =à — ':)=' —;=( —:)'=' то, используя (3.16), будем иметь ! '=( — ')'-' ' (3.17) к (3.18) Таким образом, все параметры газа в сечении, где скорость потока достигает скорости звука, являются функциями только параметров торможения Т„ро и р,.

Формулы (3.16) — (3.18) при к=!,4 принимают вид Т,Р— — 0,831 То, ркр — — 0,636 р„ркр — 0,528 р,. (3.19) Таким образом, при изменении скорости потока от о=О до и«-акр температура воздуха уменьшается на 16,9%, плотность— на 36,4%, а давление — на 47,2%. Введем безразмерную величину «Р которую будем называть коэффициентом скорости.

Коэффициент скорости в отличие от числа М пропорционален скорости потока, так как критическая скорость в потоке с постоянной температурой торможения не изменяется. Очевидно, что при М(1 и Х(1 течение газа будетдозвуковым, приМ)! и Х..Р! — сверхзвуковым, а при М = 1 и Х = 1 — звуковым. В дальнейшем в ряде случаев будет удобно пользоваться формулами для параметров газа, выраженными не через скорость потока, как в уравнениях (3.5) — (3.7), а через величины М и Х.

Получим эти формулы. Из равенств (3.8), (3.10) и (3.13) следует оа аа ао о' I о' к — ! — — — 1— : М', 2 2 2 оа 2 ~ 2 о«аах ОО "«1ах Раааа откуда ! 1 — — = 2 к — ! а«ах 1 + — М 2 С другой стороны, учитывая равенства (3.10) и (3.20), имеем «Р о к ! )2 а 2 „2 ~ахах ахах кР Следовательно, оз к — ! к! ! Л (3.21) стах ! +— 2 откуда можно получить 1а+! м 2 к — 1 !+ — М 2 (3.2! ') Используя равенства (3.21), формулы (3.5) — (3,7) можа!о привести к виду Р (1+ — ! Ме) — ! 1 Ро (1+ к — ! Мз)к — ! т, (3.22) (3.23) (3.24) или р Ро (3.25) Р Ро Т го =д,р — 59— ЗВ* Из формул (3.22) — (3.25) температура, скорость звука, шаются.

Формула(3.22) имеет большое практическое значение. Ею, в частности, обычно пользуются для нахождения числа М в дозвуковых аэродинамических трубах, определяя экспериментально давление торможения ро и статическое давление р в потоке. д ваться на садком, имеющим два приемных канала — центральный и периферийный (рис. 3.4). Манометр, присоединенный калу измерительного насадка, видно, что с ростом чисел М и Л давление и плотность газа умень- т манометрам Рис.

ЗА. Измерительннй насадок для определения числа М в газовом потоке к внутреннему (центральному) казамеряет давление торможения р„ а манометр, подключенный к внешнему (периферийному) каналу, — давление р в потоке, называемое статическим давлением. Зная ра и р, по формуле (3.22) можно вычислить число М потока. Из формулы (3.24) следует, что температура торможения зависит от температуры и числа М потока: Т,=т(1+ ', 'М), (3.26) для к= 1,4 Та = Т (1 + 0 2 Мх).

(3.27) 5 3. 2. Связь между скоростью течения газа и формой его струи Настоящий параграф посвящен установлению связи между изменением основных параметров газового потока и изменением формы его струи, т. е. между изменением площадей ее проходных сечений. Выяснение этого вопроса даст возможность определить, в каком направлении следует изменять площади сечений газовой струи, для того чтобы основные параметры газового потока, в частности его скорость, изменялись в нужном.

направлении. Для установления связи между изменением скорости потока и формой струи воспользуемся уравнением неразрывности в форме массового расхода: роР = сопз1. В результате дифференцирования получаем ар кь вР— + — + — =О, р е Р (3.28) Выразим — через относительное изменение скорости —. Из аРР ве Р ь формулы (3.6) следует, что а — к 2 / ьа 'хк:1 ьа вь йр= Ра к ! 01 ь2 ) г ха ах ап ах При обтекании тела потоком газа температура торможения равна температуре газа в критической точке поверхности.' При больших числах М температура торможения значительно превышает температуру набегающего потока.

Например, для к = 1,4 при М = 1 температура торможения Т,равна 1,2Т, при М = 5 Т, = =6Т и при М =10 Т,=21Т. тогда (3.29) Подставляя выражение (3.29) в (3.28), получим (3.30) Рассмотрим следующие возможные случаи. 1. Скорость течения газа о меньше скорости звука а, т. е. о(а. При этом (1 — — ",') >0. Из уравнения (3.30) следует, что при увеличениискорости(Но)0) площадь поперечного сечения струи уменьшается (г(Р(0). Это означает, что если сечение струи сужается, то давление будет падать, а скорость увеличиваться. Аналогично можно показать, что при увеличении сечения струи давление будет возрастать, а скорость уменьшаться.

2. Скорость течения газа э больше скорости звука а, снорогть т. е. о>а. В этом случае узел а- и, следовательно, знаки гЬ и дР будут совпадать. Этоозначает, что при увеличении сечения струи скорость возрастает, а давление уменьшает- гас. з.з. зависимость скорости течеся. Следовательно, если ско- а ааэа эт Фол а ° ° а ни рость газа о больше скорости звука, то характер течения прямо противоположен характеру течения с дозвуковыми скоростями. Подчеркнем, что в обоих рассмотренных случаях характер связи между скоростью и давлениемнеменяется. Например, если скорость о растет, то давление р падает, и наоборот.

Но характер связи между скоростью о (или давлением р) и сечением струи г существенно зависит от отношения скорости потока к скорости звука, т. е. от числа М = (рис. 3.5). а — б!— 3 Скорость течения газа о равна скорости звука, т.

е. о= а. В этом случае и из уравнения (3.30) следует, что дР = О. Поскольку при ускорении дозвукового газового потока площади сечений струи уменьшаются, а при ускорении сверхзвукового газового потока эти же площади увеличиваются, то отсюда следует, что при непрерывном переходе скоростей потока от дозвуковых значений к сверх— — у ~ суду шаться, а затем увеличиваться. При этом, как показывает последнее равенство и «! аР о — =О при — =1, дя а Р" = Роо Р Ро где р,— значение плотности при скорости газа, равной нулю.

Используя формулу (3.6), будем иметь 1 о' 1я — 1 ощзя (3.31) в наименьшем сечении струи скорость потока достигнет скорости звука, т. е. о=а=ар. Как видим, критиче- Р с. З.б. СосРяооуяооос СКОЕ СЕЧЕНИЕ ГаЗОВОй соила (сияло Лаваля) струи является ее минимальным сечением. Из изложенного следует, что одним сужением дозвуковой струи газа нельзя получить сверхзвуковых скоростей течения. Для этого необходимо в н а ч а л е с у з и т ь струю до получения в наиболее узком ее сечении скорости, равной скорости звука и = а„р, а з а т е м р а с ш и р и т ь ее для получения сверхзвуковых скоростей.

Так именно и устроены сопла, предназначенные для получения сверхзвуковых скоростей (сопла Лаваля). На рис. 3.6 показан характер изменения скорости и давления по длине такого сопла. Для того чтобы выяснить причины, обусловливающие установленный выше характер связи между скоростью газовой струи и площадью ее сечений, рассмотрим зависимость удельного расхода газа, т.

е. величины рп, от скорости газа о. Удельный расход ро можно записать в следующем виде: Отсюда видно, что удельный расход равен нулю в двух случаях: прн о=О и при о=о,х, так как в последнем случае плотность газа р обращается в нуль. Следовательно, при каком-то промежуточном значении скорости 0(о(о „удельный расход ро должен достигать максимального значения (ро),„. Найдем это значение о. Для этого приравняем производную от ро по о к нулю: = О. аи Продифференцировав выражение (3.31) для удельного расхода по о н приравняв его к нулю, будем иметь ! ! Так как искомое значение о Ф о,„, то, сокращая на (.) ! оа 1 — — )х — ', получаем ~мах оа А — 1 оз ~шах или 1— аз х — ! о~ а|ах мах Решая последнее уравнение относительно о и учитывая уравнение (3.10), находим искомое значение скорости, при котором ро=(ро) (3.32) х — ! 2 2 оа =. = а+! птах = ахр.

Таким образом, удельный расход достигает максимума при о=а„,. — ез— Зависимость удельного расхода ро от скорости о, рассчитанная по уравнению (3.31), представлена на рис. 3.7. Здесь отчетливо видно, что с увеличением скорости о удельный расход ро вначале растет (при о (а„р), достигает максимума при о = = а„р и затем (при о)а„р) уменьшается. Учтем уравнение расхода, выражающее условие сохранения секундной массы газа, проходящей через различные сечения струи: рог = сопз4.