Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 5

рых все характеризующие их однородные физические величины находятся для любых сходственных точек в одинаковом отношении. Эти отношения характеризуются масштабами. Основными масштабами являются масштабы длины, силы и времени. Если взять произвольный линейный размер модели 11 и разделить его на соответствующий линейный размер 1 натурного объекта, то получим величину линейного масштаба модели, обозначаемую через К~ — — -'. Деля силу %,действующую на всю модель или ее часть, на силу )к, действующую на натурный объект или его часть, получим силовой масштаб модели Кя= — '. Считая, что какое- Р, л ' нибудь событие совершается у модели в течение отрезка времени йи Из=юз илзз где йи и йт,— массы этих элементов.

1зыразим массы йт и с1т, через плотность и линейные размеры: блз — рд1з Йп з = р з п1 ы ° 1 '~! 1 Рис. 1. 1. Подобные поосоки около подобных тел Тогда, подставляя в выражения для сил, получим л 1з рзан1з и Л~,= р,со, й1. з Деля почленно, будем иметь сщ Рз сос и11 з з си ш Так как масштаб ускорения Кое =— Кс Кз то выражение для Ка можно переписать в виде Ка=КРКс Кс '. Замечая, что К2У вЂ” 2 Кз находим 2 2 КЯ=КРК1 К' (1.351 Найденное соотношение справедливо, очевидно, не только для бесконечно малых объемов жидкости, но и для любых конечных объемов, так как всякий конечный объем можно разбить на беско- Кн= — ' = соп51. Т Переходя от масштабов к основным величинам, можно на- писать Р«~«п« г г ~'> Р«2 оа — = соп51, или И« Л = соп51.

Р«Е о« Р« " Перепишем эти отношения следующим образом: ««1 25, й 25 г 25, Рппа 25 И Тогда, принимая во внимание, что в силу подобия 5 1 212 2!2 1 получим Р 2 СЛ 2 ,г Р« о« 5«в 2 или о2 )с=сир — 5, 2 (1.36) где с — безразмерный коэффициент полной аэродинамической силы; «т Ю вЂ” характерная площадь; Ро2 — — скоростной напор.

2 2 Переход от сил, приложенных к жидкости, к силам, приложенным к обтекаемому телу, осуществляется на основании третьего закона Ньютона о равенстве действия и противодействия. — Зов нечно большое число бесконечно малых объемов. Таким образом, заключаем, что постоянство отношений Кн = —, установленное «%1 с««« ' для бесконечно малых объемов, должно в подобных потоках иметь место и для конечных объемов, на которые действуют конечные силы. В дальнейшем под тт' и ««1 будем подразумевать полные аэродинамические силы, действующие на натурный объект и модель, отношение которых при условии подобия потоков должно оставаться постоянным на любом режиме обтекания *: Проектируя суммарную аэродинамическую силу на направление нормали к направлению скорости набегающего потока н на направление этой скорости (рис.

!.8), получим выражения для подъемнойсилы и силы лобового сопротивления: У=се— где си и с, — коэффициенты подъем- Рис. ПВ. Псдъеияая сила и сила ной силы и силы лобо- саара иелеяия ного сопротивления. В аэродинамике наряду с аэродинамической силой рассматривается и ее момент М. Очевидно, для масштаба момента можно написать ~- ~зйз или, переходя к основным величинам, М, рь1',", М р1е ае откуда М, М р, 1... 3 2 = 1л е= сопзс. Полученное выражение дает возможность ввести следующее простое выражение для момента аэродинамической силы: где с„ — безразмерный коэффициент момента аэродинамической.

силы. Перейдем к рассмотрению основных критериев, определяющих частичное подобие потоков в аэро- и газодинамике. В задачах аэро- и газодинамики крайне важным является определение условий, при которых потоки газа, обтекаю1цие геометрически подобные тела, сами являются подобными. Такое подобие потоков называется динамическим подобием. Очевидно, динамическое подобие будет осуществляться тогда, когда различные силы, действующие на элементарные объемы, положение которых подобно в двух потоках газа, находятся в одинаковом соотношении. Различные законы подобия, вытекающие из этого требования, зависят от характера действующих снл.

В каждом из зако- — 31— нов динамического подобия используется безразмерный параметр, характеризующий тип динамического подобия. Наиболее важными безразмерными параметрами в аэро- и газодинамике являются число Рейнольдса Ке и число Маха М. 1. Число Рейнольдса. Число Ке представляет собой отношение сил инерции к силам вязкости.

Сила инерции пропорциональна массе выделенного объема и ускорению движения: ДД р1з " или ЛЛ-р1 оз. Силу трения ЬТ„при движении вязкой среды можно определить, используя формулу Ньютона А7 р тЬ5 где до Т=р— Отсюда или ЛТ р ~АИ. Отношение сил инерции к силам вязкости равно ай рР о~ 01 ьт„эы где 1 — некоторый характерный размер потока или тела; т= — — кинематический коэффициент вязкости; в Р ы — — безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса и обозначаемый через Ке: ы Ке= — .

Когда число Рейнольдса мало, силы вязкости преобладают над силами инерции, и влияние вязкости имеет существенный характер во всем потоке. Если число Рейнольдса велико, то это означает, что силы инерции имеют преобладающее значение. Влияние вязкости существенно только в пограничном слое, прилегающем к поверхности тела, т. е. в области, где имеются большие градиенты скорости. — 32— Таким образом, для соблюдения частичного динамического подобия потоков с учетом влияния вязкости необходимо не только геометрическое подобие, но и равенство чисел Ке этих потоков. 2.

Число Маха. Аналогично можно вывести критерий сжимаемости М, который представляет собой отношение силы инерции к силе давления, действующих на выделенный объем газа. г~* .~ ЬР рР Отношение р дй р д где а — скорость звука в данной среде. ЬЯ „г Поэтому отношение сил — пропорционально — . Ьр аз . Безразмерное отношение скорости потока о к скорости звука а называется числом Маха и обозначается через М: М= — '. (1. 39) В абсолютно несжимаемой среде скорость звука а = ао. Тогда при любой скорости потока в несжимаемой среде М = О.

Чем больше сжимаемость среды, тем скорость звука меньше (число М больше). Для малых чисел М изменение плотности, т. е. влияние сжимаемости, вызванное изменением скорости потока жидкости, невелико, и жидкость можно рассматривать как несжимаемую. Для больших чисел М влияние сжимаемости весьма существенно, и его необходимо учитывать. При М ( 1 поток называется дозвуковым, а при М ) 1 — сверхзвуковым. Таким образом, для соблюдения частичного динамического подобия двух потоков с учетом сжимаемостн необходимо не только геометрическое подобие, но и равенство чис е л М.

Наряду с указанными безразмерными параметрамн, характеризующими частичное подобие, имеется ряд других параметров, имеющих существенное значение в некоторых специальных задачах газовой динамики. Они будут рассмотрены позже. Во многих задачах газовой динамики решающее значение имеют критерии Ке и М. Силовое воздействие потока, характеризуемое аэродинамическим коэффициентом сю на помещенное в нем тело зависит в общем случае от формы тела, ориентировки его относительно потока и критериев подобия.

Для заданной формы тела н угла атаки можно считать, что с„= г(ре, М). (1.4О) Глава П СИС ТЕМА ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОТО ТЕЧЕНИЯ,ГАЗА Рассмотрим произвольное пространственн ое неустановившееся течение газа, пренебрегая прн этом диссипативными процессами, связанными с действием сил вязкости и теплообмена в газе, т.

е. считая его изэнтропическим. В этом случае при заданных массовых силах движение газа можно считать известным, если будут известны три проекции скорости о„, о„, о, и параметры состояния газа. Как указывалось в $3 гл. 1, существуют только два независимых параметра состояния газа, например давление р и плотность р. При изучении движения газового потока будем применять метод Эйлера, в котором исследуется изменение о„, о„, о„р и р в выбранных точках пространства в функции от времени й В случае установившегося движения величины о„о„, о„р и р зависят только от положения точки в пространстве (от координат х, у, г). Выведем основные уравнения для изэнтропического течения газа.

5 2. 1. Ъ~равнение неразрывности Рассмотрим некоторый объем пространства 1'. Масса газа в объеме г' будет выражаться интегралом 1ра1г, где интеграл берется по всему объему У. Пусть 5 — поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем. Через элемент Ю поверхности о в единицу времени протекает масса газа, равная скалярному произведению вектора рое1о на единичный вектор по внешней нормали к поверхности и: с1т = р (он) с1о. — з4— а в координатной форме (2.5) Из уравнения (2.6) находим до» дог до 1 ар г дх ду дг р М' Пусть т=рР есть масса небольшого движущегося элемента жидкости, а $' — его объем. При движении жидкости плотность р и объем у' этого элемента могут меняться, однако масса элемента должна оставаться постоянной (т=сопз().

Тогда дт др Л' ш ш дг — = — и+р — =- 0, отсюда 1 др 0= — — ~ Гш т. е., действительно, величина 0 характеризует скорость расширения единицы объема газа, в связи с чем и называется к о эфф ициентом кубического расширения. Используя величину 0, перепишем уравнение неразрывности в следующем виде: д —,"+ р0=0. (2.7) — зб— а (ргх) + а (ргх) а (р,) дх ду дг Уравнения неразрывности (2.3) или (2.5) часто пишут в несколько иной форме. Для того чтобы ее получить, выполним дифференцирование в уравнении (2.3).