Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 2

Совокупность величин х,у, г, гназываютпеременными Эйлера. Следовательно, движение газа по методу Эйлера задается следующим образом: и,=~,(х, у, г,1) о =~,(х, у, г, г') о, 1, (х, у, г, г) (1. 1) ' Предполагая движение газа непрерывным, будем считать указанные функции однозначными, непрерывными и дифференцируемымн функциями координат х, у, г и времени Г. В таком случае для нахождения траектории частиц газа следует в уравах ду дг пениях (1.1) заменить о„, о, о, соответственно на —, — и — „ н интегрировать систему дифференциальных уравнений — 1В— и времени Г), что позволяет использовать математический аппарат, базирующийся на непрерывных функциях. Молекулярное строение жидкостей и газов при этом учитывается косвенно через физические свойства среды — плотность, вязкость, теплопроводность и т.

д. Гипотеза о сплошности жидкой среды не применима для сильно разреженных газов, когда длина свободного пробега молекул становится соизмеримой с линейными размерами обтекаемого тела. При дозвуковых и умеренных сверхзвуковых скоростях воздух можно рассматривать как совершенный газ с постоянными удельными теплоемкостями.

При гиперзвуковых скоростях, сопровождаемых значительным повышением температуры, удельные теплоемкости изменяются с изменением температуры и вследствие диссоциации и ионизация. В этом случае законы совершенного газа оказываются неприменимыми. (1. 2) После интегрирования получим уравнения (1.3) содержащие три произвольные постоянные а, Ь, с, значения которых определяются из начальных условий. Исключая из этих уравнений время 1, найдем уравнение траектории частиц газа.

При определении проекций ускорения газовых частиц в переменных Эйлера следует учесть, что о„ о, о„ на основании уравнений (1.1), являются функциями х, у, г, где х, у,г в свою очередь при движении частиц газа зависят от г. Следовательно, используя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь дсх дсх дсх Фх дсх ду дс» дх — = — + —" — + — — + —— ~а д! дх И ду Н8 дг А или, так как дг — е В П дх ду — =О, — ев д~ х д~ у~ то дсх +О дг дсх Их=в д1 (1.4) — 11— дс п~х =— У д1 дех гс =— д1 — =),(х, у, г, 1) — „,=1 ( у»с) . Ну — „=1,(х, у, г,г) х=~р, (1, а, Ь, с) у=~р, (г', а, Ь, с) г= ~р, (г', а, Ь, с) ~Й3у И У Н дсх Ф х=Ж дух дсх х 1 х хдх Уду дс дс„ +Π— +О " дх У ду +о„'+ о " дх ~ ду х=~р,(г, а, Ь, с) у=~р,(Ь, а, Ь, с) г=~р,(Ь, а, Ь, с) (1.5) Эти уравнения представляют собой уравнения семейства траекторий, заполняющих все пространство, занятое газом; а, Ь, с являются параметрами, определяющими траекторию.

Таким образом, если в методе Эйлера траектории движения частиц получаются путем интегрирования дифференциальных уравнений (1.2), то в методе Лагранжа они оказываются заданными формулами (1.5). Пользуясь уравнениями (1.5), находим проекции скорости и ускорения частиц: Д2„(ц а, Ь, с) ДР д~т,(Ц а, Ь, с) дса дстз (ц а, Ь, с) д(а дсх к Д к Д(2 Дк с Х Д( дт,(ка, Ь,с) д( дч,(б а, Ь, с) д'у а~у= — = У д(з Ду 0 У д( (1.5) д1 ДВ (ба,Ь,с) д~г И = — = с д(с В аэродинамике метод Эйлера применяется чаще, так как он более прост и дает возможность широко исиользовать хорошо раз- витый раздел математики — векторный анализ.

Этот метод и ис- пользуется в последующем изложении. — 12— Следует еще раз отметить, что когда берутся полные производные (1.4), то учитывается не только изменение времени (, но и изменение в зависимости от времени координат х = х((), у = у((), г = г(() частицы газа при ее движении по траектории. Эти производные называются к о н в е к т и в н ы м и. Частные производные по времени берутся, как обычно, при фиксированных значениях координат х, у, г и называются л о к а л ь н ы м и (местными) производными. Второй метод изучения движения газа, называемый методом Лагранжа, в отличие от метода Эйлера рассматривает движение индивидуальных частиц газа вдоль их траектории.

Так как газовых частиц бесчисленное множество, то следует как-то характеризовать данную частицу. Это можно сделать, если в качестве характеристики частицы выбрать ее координаты в начальный момент времени 1 = О. Пусть при 1 = О координаты данной частицы будут а, Ь, с. Это означает, что из всей бесчисленной совокупности траекторий данной частице будет принадлежать та, которая проходит через точку а, Ь„с. Таким образом, координаты рассматриваемой частицы х, у, г будут зависеть от величин а, Ь, с н Ь, называемых переменными Лагранжа, т.

е. 1. 3. Уравнение состояния газа Обратимся к рассмотрению некоторых сведений из классической термодинамики, которые необходимы для изучения свойств газовых потоков. К их числу принадлежит прежде всего уравнение состояния — одно из основных уравнений, используемых при анализе газодинамических процессов. Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давлением, плотностью и температурой), существует определенная зависимость.

Уравнение7(р, р, Т) = = О, устанавливающее связь между этими параметрами, называется у р а в н е н и е м с о с т о я н и я. Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) может быть найден из уравнения состояния. Если пренебречь молекулярным взаимодействием (силами взаимного притяжения между молекулами) и суммарным объемом молекул по сравнению с объемом газа, то уравнение состояния можно представить в следующем виде: (1.7) р =й~р'Г, где Р— газовая постоянная, зависящая от природы газа. Для воздуха Р = 29,27 кГм7кГ град. В Международной системе единиц (СИ) Р = 287,04 двкйг.град, а уравнение состояния имеет вид (1.7') Если изменение состояния газа при принятых допущениях подчиняется уравнению состояния (1.7), то такой газ называется совершенным, а уравнение — уравнением состояния совершенного газа.

Многочисленные эксперименты подтверждают справедливость этой зависимости и для реальных газов в широком диапазоне изменения давления н температуры. Существенное отклонение свойств реального газа (воздуха) от свойств совершенного газа наблюдается при высоких давлениях и низких температурах. В этих случаях силами взаимодействия между молекулами и собственным объемом молекул нельзя пренебречь.

Кроме того, при высокой температуре термодинамические свойства воздуха могут существенно отличаться от свойств совершенного газа с постоянной теплоемкостью. При высоких температурах происходит диссоциация молекул двухатомиого и многоатомного газов. Одновременно с диссоциацией происходит и образование новых молекул (ассоциация). В смеси двухатомного и многоатомного газов могут образоваться моле- кулы новых видов. Например, при высокой температуре в воздухе могут иметь место следующие процессы: М, 2г), О, 20, Х,+О,— +2НО. При дальнейшем повышении температуры может возникнуть явление ионизации газа. При диссоциации и ионизации происходит поглощение энергии, изменяется состав и молекулярный вес воздуха.

Термодинамические свойства воздуха при этом зависят от степени диссоциации и.ионизации, и термодинамические характеристики .яе могут быть выражены простыми соотношениями. При решении задач для среды с диссоциацией или ионизацией можно пользоваться соответствующими таблицами термодинамических величин или диаграммами состояния. Кроме того, исследованиями установлено, что при температуре до 12 000 † 000' К и в интервале давлений от 0,001 до 1000 ат кулоновским взаимодействием заряженных частиц в ионизированном воздухе можно пренебречь. Тогда следует пользоваться уравнением состояния (1.7), (1.7'), учитывая, что газовая постоянная изменяется в зависимости от температуры и, в меньшей мере, от давления. В результате диссоциации и ионизации при высоких температурах, вследствие увеличения числа частиц при неизменной массе газа, молекулярный вес уменьшается, а газовая постоянная растет в соответствии с равенством где Р„ — универсальная газовая постоянная, равная 848 кГи(кГ моль град; т — молекулярный вес.

Степень диссоциации и ионизации зависит также от давления. При понижении давления эти процессы усиливаются. В результате молекулярный вес уменьшается. Поэтому в общем случае т=т(Т, р,), Р=й(Т, р). В табл. 1.1 приведены значения Я для воздуха при различных температурах и давлениях. Из таблицы следует, что газовая постоянная при повышении температуры значительно возрастает. Например, при температуре до 1000' К газовая постоянная равна 287,04 дж/кг град, а при температуре 10 000'К и давлении 1 ат Д = 583,6 дж/кг град.

При дальнейшем повышении температуры газовая постоянная возрастает еще больше, например: Т = 15 000' К, Д = 871,3 джlкг град. — 14— Таблица 1.1 р 1О агк р=оц аж р=1 ага т'к ктм1к ГХ хград ктм1кт х х град кгм1ктх хград дж/кг рад дж/кг.

град дж!кг град 1. 4. Первый закон термодинамики Пусть некоторое количество газа находится в равновесном состоянии. Обозначим через й~ количество подведенного к газу извне тепла. В результате подвода тепла газ перейдет из первоначального равновесного состояния в другое. Подвод тепла оЯ может привести к изменению внутренней энергии газа йУ.