Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 3

Кроме того, при переходе от одного равновесного состояния в другое газ может совершать внешнюю механическую работу Ы. Далее, при переходе из одного равновесного состояния в другое газу в реальных условиях приходится затрачивать механическую работу Ы, на преодоление сил трения. В замкнутой системе эта затраченная газом энергия возвращается в газ в виде тепла Щ, эквивалентного работе Ы„ т. е. й",1, = АЫ„, где А — тепловой эквивалент работы, равный Чгг, кал/кем.

В Международной системе единиц (СИ) количество теплоты и работа выражаются в джоулях. Поэтому А = 1. Это количество тепла называется теплом диссипации, или рассеивания. Таким образом, общее количество тепла й;!' слагается из тепла, подведенного к газу извне оЯ, н из тепла диссипации ИЯ„ т. е. й~ =й)+й~,, (1.8) — 15— 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9 000 10 000 11 000 12 000 13 000 14 000 15 000 16 000 17 000 18 000 19 000 20 000 29,27 29,29 31,18 35,03 36,76 44,58 55,39 58,28 59,76 62,63 68,55 78,52 91,55 102,80 109,75 !!3,26 !14,90 115,75 116,30 1!6,96 287,04 287,24 305,77 343,53 360,49 437,18 543,19 571,53 586,04 614,19 672,24 770,02 779,88 1008,12 !076,28 1110,70 1126,78 1135,12 !140,51 1146,98 29,27 29,28 29,95 33,68 35,47 38,47 46,72 55,10 58,04 59,5! 61,54 65,08 71,14 79,25 88,85 97,92 104,92 109,53 1!2,30 113,91 287,04 287,14 293,71 330,29 847,85 377,26 458,17 540,35 569,18 583,59 603,50 638,22 697,64 777,18 871,32 960,27 1028,91 1074,12 1101,29 1117,08 29,27 29,28 29,49 31,49 34,14 35,86 39,29 46,09 53,27 57,03 58,77 60,23 62,49 65,63 69,97 75,58 82,17 88,56 95,52 101,15 287,04 287,14 289,20 308,52 334,80 351,66 385,30 451,99 522,40 559,27 576,34 590,65 612,82 643,61 686,17 741,!9 805,8! 868,48 936,73 991,94 На основании закона сохранения энергии можно написать следующее равенство: й~'= йУ+ Ы-(-Л,„ или, обозначая Ы+Ы,=Ы', получим и) = (и+и., (1.10) где дà — вся работа, совершенная газом, слагающаяся из внешней работы Л.

и работы на преодоление сил трения Ы,. Суммарную работу Ы' газа при его расширении в процессе подвода тепла легко выразить через изменение его объема: Н '=Л,+Н.„= рН'. Тогда предыдущее уравнение можно написать в виде дЯ '= дУ+ рЛ~, (1. 11) или, относя все величины к 1 кг массы газа, получим (1.12) где дд' — суммарное тепло, подведенное к 1 кг массы газа извне и вследствие днссипации; Йз — изменение внутренней энергии 1 кг массы газа; /1~ (! рг(~ †) — работа, затрачиваемая на расширение ~ — — объем, за- ~ ) нимаемый 1 кг массы газа). Уравнения (1.10) — (1.12) являются наиболее общим математическим выражением первого закона термодинамики. Очевидно, первый закон термодинамики является частным случаем общего закона сохранения энергии и выражает эквивалентность тепловой и механической энергии.

Прежде чем перейти к рассмотрению второго закона термодинамики, напомним несколько важных термодинамических понятий и формул, которые можно получить, пользуясь уравнением состояния и первым законом термодинамики. 1. 5. Теплоемкость Рассмотрим некоторый произвольный термодинамический процесс, в котором участвует 1 кг газа (рис. 1.1). Обозначим температуру газа в точке А процесса через Т, его температуру в смежной — 16— точке а — через Т +ЛТ, а количество тепла, подведенного извне к газу на участке Аа, — через Лд. Отношение — называется с р ед н е и у дел ь н о й те п л оЛо лт е м к о с т ь ю данного процесса, а предел, к которому стремится средняя удельная теплоемкость при стремлении длины участка Аа к нулю,— истинной удельной теплоемкостью, или просто удельной теплоемкостью, и обозначается (1.13) Как видим, удел ь ной теплоемкостью называется г количество тепла, необходимое для подогрева 1 кегаза на один градус.

Удельная теплоемкость с существенно зависит от характера процесса (для процессов АВ, АВг и АВк на и рис. 1.1 теплоемкость с имеет различ- рис. 1.л гс определению о!гение значения в одной и той же точ- гогнкогн!и газа ке). Рассмотрим теплоемкости, соответствующие процессам, происходящим при постоянном объеме и постоянном давлении (прямые АВг и АВк на рис. 1.1). Эти теплоемкости обозначаются через с, и ср. При постоянном объеме дифференциал г(о' = О, и, следовательно, на основании формулы (1Л2), !(д = г(е, т.

е. все тепло, подводимое извне к газу в таком процессе, целиком тратится на увеличение его внутренней энергии. Поэтому можно написать дг с =— дТ (частная производная заменена полной, так как внутренняя энергия газа есть функция только абсолютной температуры). Таким образом, г(е=с, г)Т, (1.14) или, пренебрегая зависимостью с, от температуры и имея в виду, что при Т=О величина е=О, е= с, Т. (1.15) Используя формулу (1.14), уравнение (1.12) можно записать в следующем виде: Йд'=с, г(Т+р!1! — 1.

г1 ! — 17— 2 зак. 80! Для процесса р=-сопз1 7 дд1 с=! — 1 1 дТ(р.=сапа!' или, используя уравнение (1.12), (' де 1 ' др') с =( — ') +р,' — 1 1дТ1р=сапа! ., дТ 1р=сопа! (1.16) (1.17) где о — удельный объем, отнесенный к 1 ! ный р Так как внутренняя энергия зависит ры, то кг массы газа, рав- только от температу- де1 (де1 де = — =с,. дТ1р=саоес ! ЙТ1р=сопа! ЙТ 1 Найдем изменение удельного объема — при изменении тем- 8 пературы. Из уравнения состояния (1.7'), следует Подставляя полученные выражения в формулу (1.17), будем иметь с =с„+1е, или ср — с,=Р. Формула (1.18) показывает, что с )с„. Обозначая (1.18) с " =к, е„ (1.19) получим Р с = к — 1 (1.20) — 18— В Международной системе единиц (СИ) с,п ср отнесены к 1 кг массы газа.

Величина й зависит от структуры молекулы газа. Так, для одно- атомных газов при Т = 288' К й = 1,66; для двухатомных газов, в том числе и для воздуха, я = 1,4; для многоатомных газов (е = 1,33. Удельные теплоемкости с„и ср зависят от температуры. Многочисленными опытами установлено, что при увеличении температуры удельная теплоемкость возрастает. Как указывалось выше, при высокой температуре свойства воздуха существенно отличаются от свойств совершенного газа с постоянной теплоемкостью.

Уже при температуре порядка 1500' К становится заметно возбуждение колебательных степеней свободы молекул. При дальнейшем повьппении температуры начинается диссоциация молекул кислорода, а затем и азота. Степень диссоциации, кроме того, зависит и от давления. Например, при р = 0,001 апг диссоциация кислорода начинается при Ср г кал1г град Уд о ту юоо оооо гдоо 1оооо ого од Рис.

Д 2. Изменение удельной теялоемяости воздуха ср в зависимости от темяеритуры и давления Т = 2000' К, а азота при Т = 4000' К. При р =- 1 ат соответственно кислород диссоциирует, начиная с Т = 3000' К, а азот— с Т = 6000' К. Влиянием ионизации на термодинамические свойства воздуха до Т = 6000' К можно пренебречь. В интервале температур от 6000 до 12000'К можно учитывать однократную ионнзацию всех компонентов воздуха.

При возбуждении внутренних колебательных степеней свободы молекул, диссоциации молекул всех компонентов воздуха и ионизация подводимое к воздуху тепло идет не только на увеличение энергии поступательного и вращательного движения молекул, но и на увеличение энергии колебательного движения атомов в молекуле, преодоление сил взаимодействия между атомами в молекуле при диссоциации и отрыв электронов от атома при ионнзации. Вследствие этого теплоемкость воздуха при высокой температуре значительно возрастает. Чем выше температура, тем больше теплоемкость.

Ввиду того что теплоемкости с, и с зависят от температуры, величина й также изменяется с температурой. С увеличением темпе- — 19— ратуры й уменьшается. Поскольку при одной и той же температуре понижение давления приводит к усилению эффектов диссоциации и ионизация, то удельные теплоемкостн с, н с и их отношение зависят также от давления: с„= се(Т, р), й = й(Т, р). Зависимость ср от температуры при различных давлениях показана на рис. 1.2. 1.

б. Тепяосодержание (1.23) !. 7. Второй закон термодинамики. Энтропия При изучении движения газа приходится часто пользоваться особой функцией состояния газа з, которая называется э н т р оп и е й. Эта функция определяется следующим дифференциальным уравнением: (1.24) Найдем выражение для энтропии в конечной форме, предварительно установив связь между теплосодержанием н энтропией. Так как Тйз=йг(' — 20 В газовой динамике часто используется особая функция состоя- ния газа 1, определяемая соотношением й!'=-ср йТ, (1.21) илн, пренебрегая изменением с, (=ср Т.

(1.22) Эта функция называется т е п л о с о д е р ж а н н е м (энталь- пией). Из определения теплосодержания (1.21) следует, что прираще- ние теплосодержания й( представляет собой приращение тепла йд в процессе р = сопз(. Имея это в виду, из уравнения (1.12), интегри- руя его в предположении р = сопз(, получаем 1=е-,— —. Р Используя выражения (1.15), (1.20) н (1.7'), найдем ! =- ЙТ= — — Р, к †! к — 1р и, как следует из уравнения (1.12), !(г)'=Йе+р!1 ( — )=!(е+г((р — ) — — !(р= !( (е+ ~ )— др .

др — — =й —— Р Р то Тдз= й— (1.25) Р Деля уравнения (1.25) на Т, заменяя й' на А=с оТ и учитывая, что на основании уравнения состояния (1.7') — =Ртг(Т— ер Р /11 — р!(( — ), получим Ь)' "з=ср т т [Л"Т Ро ( )1 откуда после простых преобразований, используя уравнения (1.18), (1.20) и (1.7'), будем иметь нз(С!с)т+Р!((1)гт+Ра(1) или !Ь= К вЂ” — + ет (р) к — ! т (1~ (1.26) Рт (ь 1 (р) (-') откуда э=с„1п ( — — „1)+сонэ(, / Т Р вЂ” 2!— Интегрируя дифференциальное уравнение (1.26) при к=сонэ!, находим выражение для энтропии: ! (,.=1 з= Ип 1)+сонэ(.

(1.27) Р Из формулы (1.27) следует, что энтропия з является функцией состояния газа, зависящей от двух независимых параметров состояния (в данном случае Т и р). Пользуясь уравнением состояния (!.7'), нетрудно выразить значение энтропии через другие параметры, например через р и р. В самом деле, уравнение (1.26), используя соотношение (1.20), можно написать в следующем виде: или, используя уравнение состояния (1,7'), получим зг о 1п ( — ~+сопз1.