Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 12

Для этого в уравнении (4.18) наТа Т,' до выразить плотность через температуру и давление: Кривая зависимости давления от плотности прн изэнтропическом течении называется и з э н т р о п о й. В з 1 настоящей главы было показано, что в скачке уплотнения при М,-ива давление неограниченно возрастает, а плотность уве- к+ 1 личивается при этом не более чем в — раз.

Отсюда видно, что скачкообразное изменение параметров газа в прямом скачке уплотнения не является изэнтропическим процессом и может рассматриваться лишь как адиабатический процесс, если пренебречь рассеиванием тепла, выделяющегося при скачке. В этом случае уравнение (4.16) неприменимо и должно быть заменено другим. Для прямого скачка можно полу- «д чить соотношение, связывающее непосредственно давление и плотность газа до и за скачком уплотнения. Для этого дд воспользуемся уравнениями (4.13) и (4.14).

Из уравнения (4.14) следует, что 20 М! = ~' . (4.17) (к+ 1) ро — (к — 1) рв ' к+1 рв Т, — — — 1 рв к — 1 рп Тв р к+1 р,Т, к — ! р,Т, — 77— т, Решая это уравнение относительно —, получим т, ' (4.!9) т, к-!- ! Рэ к — 1 р, Р7 В скачке и является причиной того, что плотность газа за скачком даже при бесконечном возрастании давления р, остается конечной величиной. Итак, простое сравнение изэнтропического сжатия со сжатием ударным показывает, что Тэ последнее не является изэнтрогэ пическим. Поскольку ударное сжатие можно рассматривать как процесс адиабатический„ то отсюда следует, что энтропия при ударном сжатии должна возрастать.

Предположим, что в процессе изэнтропического течения параметры газа изменяются от Р! Р, до рэ ., р,. Допустим, что, кроме того, происходит скачкообразное изменение, при котором газ из состояния р„р, переходит в состояние, также характеризуемое величиной плотности р, и соответствующим ей на ударной аднабате давлением ра Тогда из изложенного выше следует (см. рис. 4.7), что Рис. 4.8. Ивэнтрона и ударнон адин бата в координатов нэ, ~~ р'т Рэ) Ргнэ. Обратимся теперь к выражению для энтропии: з= со1п — „. Р Для изэнтропического процесса изменения параметров газа Рэ Ранз аииэ=з,=с 1и — =с 1п —.

о к о к Р! Ри — 78— На рис. 4.8, так же как и на рис. 4.7, изображены два закона: изэнтропический и закон ударной адиабаты, но только в координатах — н —. Рэ тэ р, т,' Из рис. 4.8 видно, что при одинаковых отношениях давлений Р— ' температура при скачкообразном (ударном) сжатии больше, чем Рэ при изэнтропическом. Этот Рх сильный разогрев газа при Для скачкообразного изменения параметров газа 22 Следовательно, зи — з,=:си1п —,— с,1п, =си!п —. Ри Рииз Ри 22 и2 Р2ии Так как ри)рз„„то зи из,, т.

е. при ударном сжатии энтропия действительно возрастает. Предположим теперь, что газ из состояния р„р2 скачком разрежения переходит в состояние ри, р„т. е. ри(р2 и ри(рь Нетрудно убедиться, что для скачков разрежения ударная адиабата пойдет ниже изэнтропы и, следовательно, при одной и той же плотности ри давление ри(р2„,. Но тогда аналогично предыдущему получим 22(з,, т.

е. энтропия изолированной системы при скачках разрежения должна уменьшаться. Так как подобное уменьшение энтропии противоречит второму закону термодинамики, то отсюда следует вывод о н е в о з м о ж н о с т и с у щ е с т в о в а н и я в а д иабатических процессах скачков разрежен и я. Следует иметь в виду, что условие адиабатичности, на котором основывается невозможность скачка разрежения, весьма существенно.

При неадиабатических процессах скачки разрежения возможны и наблюдаются на практике. Примерами скачков разрежения являются фронт пламени в потоке газа, скачок конденсации, который возникает при конденсации влаги, находящейся в газообразном состоянии в потоке воздуха, и др. Так как при ударном сжатии энтропия возрастает, то отсюда следует, что ударное сжатие — процесс необратимый. Последнее означает, что при процессах, происходящих по закону ударной адиабаты, часть механической энергии переходит в тепло, которое уже не может быть полностью преобразовано в кинетическую энергию без дополнительных затрат механической работы.

Это положение будет проиллюстрировано в конце 9 4.4. Сравним параметры газа после ударного сжатия с его параметрами, соответствующими изэнтропическому сжатию. Предположим, что газ из начального состояния и„ Р„ р„ Т, переходитв другое состояние двумя различными путями: изэнтропическим и по закону ударной адиабаты. Конечные параметры газа в первом случае обозначим через и„ р„ р„ Т„ соответственно во втором случае — через п2,„, рии„, р2,„, Т2,„. Пусть изэнтропический процесс протекает так, что конечное давление и давление после скачка равны друг другу, т.

е. рэ = = р2,„, в этом случае Ти(Т2„(см. рис. 4.8). — 79— Используем уравнение энергии (2.25'). Так как начальные условия в обоих случаях одинаковы, то, очевидно, 2 2 оо К О2ск — + — 2сТ2 — — — + — !сТ2ск 2 к — 1 2 2 к — 1 Отсюда, имея в виду предыдущее неравенство То(Т2,„, заключаем, что Ооск,( Оо' Следовательно, прн одинаковых конечных давлениях скорость газа за скачком (необратимый процесс) будет меньше скорости в процессе изэнтропического сжатия, т. е. часть кинетической энергии газа при скачке необратимо переходит в тепло (температура газа повышается).

Сравним те же процессы, но при одинаковых конечных скоростях, т. е. при ио = ио,к. В этом случае из уравнения энергии находим, что Тс= Т2„, откуда р2„(р, (см. рис. 4.9). Следовательно, при одинаковых конечных скоростях давление за скачком (необратнмый процесс) будет меньше, чем давление в обратимом изэнтропическом процессе. Возрастание давления в скачке уплотнения меньше, чем соответствующее увеличение давления при изэнтропическом торможении потока до скорости, равной скорости потока за прямым скачком уплотнения (ио = ио,к).

Как увидим далее, необратимое превращение механической энергии в тепловую на скачке является источником так называемого волнового сопротивления при обтекании тел потоком газа. $ 4. 3. Графическое определение параметров потока за прямым скачком уплотнения Предположим, что до скачка уплотнения происходит изэнтропическое течение с энтропией в„ равной в = с,!п —,. Рс Р! Выражение р,!р! можно представить в следующем виде: Р,'= Р! = Рос/Ро1 ГДЕ Рт и рос — ДаВЛение И пЛотнОсть торможения до скачка уплотнения.

Найдем ро, из уравнения состояния: ! Рос Л То' — 80— Тогда К Р1 о в1 Рщ з,=с,1п Ро1 или с точностью до постоянной величины с,1пЯ' выражение для энтропии з, можно написать в следующем виде: т' о з, = с„1п —, Ро (4.20) Уравнение кривой зависимости давления от скорости (изэнтропы) до скачка уплотнения имеет вид К Р= Рог (4.21) В прямом скачке уплотнения энтропия по всем линиям тока возрастает на одну и ту же величину.

Поэтому за скачком поток также является изэнтропическим с постоянной энтропией з„которую можно определить по формуле (4.20), подставляя в нее вместо р„ давление торможения за скачком уплотнения Р„: т' о зг=с„1п „ Рог (4.22) Поскольку зг ) во то,оог ( Рог. Температура торможения, максимальная и критическая скорости в потоках до и после скачка уплотнения одинаковы. Поэтому для определения изэнтропы за скачком уплотнения можно построить семейство изэнтроп К Р Ро г (4.23) — В1— 4 зв. во1 имеющих постоянную температуру торможения при различных значениях Р, (рис. 4.9). Это семейство кривых соответствует всевозможным течениям с одной и той же температурой торможения и с переменной энтропией (давлеиием торможения р,).

Задача состоит в том, чтобы определить возможные скачки с одной из этих кривых на другую. Найдем тангенс угла наклона касательной к изэнтропе в произвольной точке: рв! О с рис. в.у, Семейство иэвнтроп при постоннной температуре торможении ! Из формулы (3.6) следует, что 1 —, ~' = ! . Тогда, под- отах Ро ставляя сюда выражение о,„по формуле (3.3), получим 2 !2р — = — ро. В прямом скачке уплотнения удельный расход не изменяется: р,о, =- р,о,.

Поэтому !а ~ =- (й ~, т. е. углы наклона касатель- ! О 2 ных к изэнтропам до и после скачка уплотнения при скоростях о! и са соответственно равны. Найдем отрезки Р, отсекаемые касательными на оси давления. Из рис. 4.10 видно, что Р = Р + Рэ'. На основании уравнения изменения количества движения (4.2) 2 2 Р! + Р! о! = Рэ+Рэ "т т. е.

Р! = Ре. Отрезки, отсекаемые касательными к изэнтропам до и после скачка уплотнения на оси Р, также совпадают. Следовательно, — 82— скачок с кривой 1 (с энтропией з,) на кривую 2 (с энтропией з,) происходит между точками, имеющими одну и ту же касательную (см. рис.

4.9). Поэтому для нахождения возможного скачка уплотнения нужно провести касательную к изэнтропе 1 при заданной скорости п„затем из семейства изэнтроп (4.23) выбрать ту кривую, которая касается этой прямой. Это будет нзэнтропа 2 за скачком уплотнения. Скорость ог и давление р, за скачком уплотпения определяются по точке Ца=аи касания В.

Каждая изэнтропа имеет точку перегиба при о = а„ю р Поэтому скачок должен происходить от сверхзвуковой скорости о, к дозвуковой ог. Отрезок, отсекаемый нзэнтропой на оси давления Рис, 4.!О. Каеаяьеяьная а иеенмроае равен давлению торможения е араиееаяьяаа аьеяяе за скачком уплотнения. Из рис. 4.9 видно, что р„ ( р„, т. е. при переходе через скачок уплотнения происходят потери полного напора. Из рис.,4.9 также видно, что чем больше оь тем меньше р„ (тем больше потери в скачках). Зная о, и пользуясь уравнением постоянства удельного расхода, можно определить р,: аг Рг= Рг — „. Тогда из уравнения состояния можно найти температуру Т;. Т 1 Рг г а Из рис.

4.9. следует, что при адиабатическом течении скачки разрежения невозможны, так как скачок разрежения означал бы переход от точки В на изэнтропе с большей энтропией з, в точку А на кривой с меньшей энтропией. Из того же рисунка видно, что в скачках уплотнения происходят необратимые потери: Рог<Рог 2 Р, <Р„ здесь рг — давление при изэнтропическом торможении потока (если бы оно было возможно) до скорости ог. 3. Рь (Р„ здесь рь — давление, которое возникает в потоке за скачком уплотнения при его изэнтропнческом ускорении до первоначальной скорости о,.