Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 16

6.1. Рис.ол. К отводу услоВозьмем бесконечно близкую линию вил потенциальности плоского иззнтропичетока с(с и рассмотрим элементарную ского газового поспока площадку аЬсс(а, ограниченную двумя линиями тока и бесконечно близкими полярными ',радиусами Оа и ОЬ. Применим к этой площадке теорему Стокса: Гаьсеа= 2озг Лог= 2сог г Лг Лсс. Возвращаясь к выражению (6.4), можно сделать вывод, что для того чтобы вихрь отсутствовал, необходимо следующее условие: Это равенство будет выполнено, если д10 — =0 и — =О.

вг ди (6.5) б. 2. Основное дифференциальное уравнение плоского потенциального потока газа Рассмотрим плоский потенциальный газовый поток. Как известно, потенциал скорости плоского потенциального потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа: дг т д'т — + — = О. дхг ду' Для плоского потенциального установившегося потока газа это уравнение приобретает более сложную форму.

Обратимся к уравнению неразрывности„ которое для плоского установившегося течения газа имеет вид д (рьх) д (роу) + '=о. дх ду Выполняя дифференцирование, находим др др (д. а,1 дх ду У ~дх ду! — о + — +р( — + — 1=0. (6.6) — 104— Следовательно, е с л и п о л н а я у д е л ь н а я э н е р г и я и энтропия при переходе от одной линии тока к другой не изменяются, то поток газа является потенциальным. Если в сверхзвуковом потоке возникает криволинейный скачок уплотнения, то энтропия вдоль каждой линии тока возрастает поразному. Наибольшее увеличение энтропии происходит на нулевой линии тока (за элементом прямого скачка уплотнения).

По мере удаления от нулевой линии тока возрастание энтропии уменьшается, дг т. е. при этом — ( О. Следовательно, за криволинейным скачком дв уплотнения поток вдоль линии тока может быть изэнтропическим, но энтропия непременно изменяется при переходе от одной линии тока к другой.

Вследствие этого при переходе через криволинейный скачок уплотнения потенциальный поток становится вихревым. о 0 о~ох 2 2 величинами —,", —,х и —, можно пренебречь, приведем уравнение (6.10) к виду д~р дев дхэ + ду' т. е. к уравнению Лапласа, справедливому для случая р = сопз1. Уравнение (6.10) носит название к в а з ил н н е й н о го уравнения в частных производных второго п о р я д к а.

Квазилннейным это уравнение называется потому, что частные производные второго порядка входят в него линейно. Обычно в газодинамике применяются два метода решения уравнения (6.10): 1. Метод характеристик — применяется для определения поля скоростей в сверхзвуковом потоке. 2. Метод малых возмущений (метод линеаризации) — широко используется при исследовании обтекания тонких тел при малых углах атаки как в дозвуковом, так н сверхзвуковом потоках (гл. Ъ'11 и Ч1П). б. 8. Характеристики е плоскости потока (я) =16(у — Е), или 1ят — 1я6 К" = !+1я11яВ ' Учитывая, что (ни=, (яу=„—, 1 Ну —,— 1 а оу (яЕ= —, ~А Рассмотрим метод характеристик. Для этого введем понятие о характеристиках в плоскости потока.

Предположим, что газ движется слева направо со сверхзвуковой скоростью о ) а. В каждой точке плоскости х, у, где газ движется со сверхзвуковыми скоростями, можно провести два направления линий возмущения. При переходе от одной точки к другой направление линий возмущения может изменяться, так как значения о и а в различных точках плоскости х, у в общем случае различны. Имея это в виду, найдем в плоскости х, у (рис. 6.2) такую линию у =- у(х), в каждой точке которой направление касательной совпадало бы с направлением одной из линий возмущения для данной точки.

Эту линию будем называть х а р а к т е р и с т и к о й. Из простых геометрических соображений (см. рис. 6.2) следует, что будем иметь ~' -( .)= о' йу ох1 ое ду а' ~ах о„/ ' ок дх' Возводя в квадрат, после небольших преобразований получим ( — 1) (.") — 2 —," л л. (- —, — |) = е. Умножая на а', получаем следующее уравнение: (6.11) Полученное уравнение является искомым дифференциальным уравнением характеристик, проходящих через точку х, у. Решая его, находим выражение для тангенса угла наклона характеристик к оси х: ду от~ар (6.

12) к Отсюда можно сделать следующие выводы: 1. Если о ) а, то уравнение (6.11) имеет два различных вещественных корня. В соответствии с этим через каждую точку плоскости х, у, где о ) а, можно провести два элемента характеристик, а вся плоскость может быть покрыта Х д'в у м я семействами характеристик (рис. 6.3). Уравнение (6.10) Рис. б.2. К выводу диффеРенв этом случае называется у р а в- чиалоного УРавнениЯ хауактеРи- стик в нлоскости нооеока пением гиперболического типа. В дальнейшем для определенности будем называть интегральные кривые уе = уе(х), соответствующие уравнению (6.12) с положительным знаком перед радикалом, характеристиками первого семейства, а интегральные кривые уе = уе(х), соответствующие отрицательному знаку перед радикалом, — характеристиками второго семейства.

2. Если о = а, то уравнение (6.11) имеет два равных вещественных корня,т.е. часть плоскости х, у, где о = а, может быть покрыта только о д н и м семейством характеристик. Уравнение (6.10) в этом случае носит название у рави ен и я п а р а бал ич ее к о го т и п а. 3. Если о ( а, т. е. поток газа дозвуковой, то уравнение (6.11) не имеет вещественных корней и характеристик.

Уравнение (6.10) в этом случае носит название уравнения эллиптического типа. В дальнейшем в этой главе будут рассматриваться только сверхзвуковые течения газа. При этом вся плоскость течения газа может быть покрыта двумя семействами характеристик: у= у, (х) и у=у, (х). ктеросо ика ео семеистба теростика о семейстба Рис. б.з. Семейство характеристик в плоскости потока В заключение отметим, что для определения характеристик в плоскости течения газа х, у надо знать поле скоростей, так как коэффициенты в уравнении (6.11) зависят от составляющих скорости о„ ов. Иначе будет обстоять дело, если от плоскости х, у течения газа перейти к плоскости годографа скорости и„, ив. Как будет показано ниже, в этой плоскости характеристики легко определяются, что дает возможность решать любые краевые задачи для сверхзвуковых течений газа.

6. 4. Характеристики в плоскости годографа скорости Выясним, какие линии будут соответствовать в плоскости годографа скорости характеристикам в плоскости х, у. Допустим, что в каждой точке характеристики плоскости х, у известны величина и направление скорости и. Откладывая этот вектор в плоскости о„, ов от начала координат, получим кривую, описываемую концом вектора о, точки которой будут находиться во — 108— взаимно однозначном соответствии с точками характеристики в плоскости х, у (рис. 6.4). Так как через каждую точку плоскости проходят две характеристики, то на плоскости и„, ое также получим две кривые.

Эти кривые будем называть характеристиками в плоскости годографа скорости. Таким образом, физический смысл характеристик в плоскости о„, ве заключается в том, что они являются годографом скорости для точек, лежащих на характеристиках в плоскости х, у. Характеристика пердога сеыейстда Характеристика пердого сеыейстда стока да Характеристика дторого сеыейстда Рис. 6.4. К выводу уравкекип характеристик в плоскости еодоераоеа скорости При сверхзвуковых течениях газа характеристики в плоскости п„ов будут лежать внутри области, ограниченной двумя окружностями, описанными из начала координат, причем радиус наименьшей окружности будет равен акр, а радиус наибольшей 2 /с/г + 1 Отак = 1,' — акр к Для того чтобы найти уравнение характеристик в плоскости годографа скорости, необходимо воспользоваться основным уравнением газовой динамики (6.10), которому должны удовлетворять составляющие скорости о„ и о сверхзвукового газового потока.

Это уравнение можно записать в следующем виде: (аа ")д" "" (д + д )+(аа ") д'=0 6~6~ Уравнение (6.13) можно переписать в виде (до„о о дох1 (до а — о доу') 2 2 (ах — о„) ( — — — — ~1 — о о — — У вЂ” ~ =О. (6.14) ~дх ае о2 ду! х г~дх ихоу ду ) к Рассматривая изменение скорости вдоль характеристик у=у(х), можно написать два очевидных соотношения: дО» до» до„ ду дО„ до» дх дх ду дх дх ду (6.!5) где и = — определяет наклон характеристик в плоскости х, у. ду дх Кроме того, вследствие потенциальности движения составляющие скорости связаны соотношением д໠— У вЂ” — = О. дх ду (6.16) до д.у Выражая частные производные — и — через соотношения дх ду (6.15), подставляя нх в уравнение (6.14) и используя условие потенциальности (6.16), приведем уравнение (6.14) к виду О» Оу (а' — о„) — — о,о — =(а' — о ) и+ ) х а — О / »/ а — О 2 2 у » У + О О дΠ— — О.

(6.17) »7 Уравнение (6.17) выполняется вдоль характеристик в плоскости х, у, и потому входящие в негосоставляющие скорости о„и о„являются составляющими скорости вдоль этих характеристик. Отсюда следует, что это уравнение является дифференциальным уравнением характеристик в плоскости годографа скорости. Его можно значительно упростить н проинтегрировать в конечном виде. Рассмотрим дробь, стоящую в квадратных скобках уравнения (6.17): дау Х 2 2 ОдРу а О 2 2+ а — О » а О»оу О2+ (6.18) ("-.') -+„, '„,1 О» 1 О» Оу а2 — О О» Используя известное свойство квадратного уравнения (6.11), можно написать 2 2 у Π— а И,И2= О2 — а » го И1+И2 — 2 2 И О2 — а (6.19) где и, и т., — тангенсы углов наклона касательных к характеристикам соответственно первого и второго семейств в плоскости х, у. Тогда выражение (6.18) можно привести к виду о««+ /и~ — и — 2 — + «л«х«« А— т (и«+ тй — 2х«,х«, 2т — «х« — и, х««+ и« А= — т= —— «1х В таком случае выражение, стоящее в квадратных скобках «Ьу уравнения (6.17), является полной производной — вдоль харакНх теристики в плоскости х, у, и уравнение (6.!7) можно переписать в виде (а — о„) „— ' — о о +(а' — о„) т + х, — „= О, (6.20) ох ох «) ооу ох о2) ~ «1х х откуда а — о 2 х х й«у ««о .

оу облоу+(о — "„) ) х«+ х х/ или ,Й3у «~ох 2ох оу 2 о2+ х« х Используя (6.19), получим (6.21) оох х« — т,— т,' Отсюда следует, что для первого семейства характеристик, где т=т„ я'х а (6.22) Вдоль первого семейства характеристик, для которого т=т„ величина А= — и,. Вдоль второго семейства характеристик, для которого т=т„ величина А= — т,. Следовательно, вообще а для второго семейства характеристик, где т=л2„ (6.23) Применяя формулу (6.12) для т = „—, приведем уравнения лу характеристик в плоскости годографа (6.22) и (6.23) к окончательному виду а — а 2 2 к (6.24) дд„ ~~ ~ ~ ~/ 2 ! а2 22 Прежде чем перейти к интегрированию уравнения (6.24), сделаем следующие замечания.

Из дифференциальных соотношений (6.22) и (6.23) вытекает, что при выборе осей х и у параллельно осям и„, и„ характеристика первого семейства в произвольной точке плоскости х, у перпендикулярна характеристике второго семейства в соответствующей точке плоскости о„о„и, наоборот, характеристика второго семейства в плоскости х, у перпендикулярна характеристике первого семейства в плоскости о„о2 (см. рис. 6.4). Это свойство характеристик значительно облегчает нахождение решения основного уравнения (6.10) и широко используется при графическом его интегрировании. Из уравнения (6.24) следует, что вдоль характеристик плоскости х, у составляющие скорости потока и„, о„удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению в переменных о„ог. Действительно, так как величина а2 зависит только от скорости потока о' = о~+ п~ (3.9), то правая часть уравнения (6.24) зависит только от о„о и явно не зависит от х, у, а потому уравнение (6.24) является обыкновенным дифференциальнымуравнением в переменных и„, о„.

Отсюда вытекает следующий важный вывод: д л я любых безвихревь1х задач характеристики в плоскости годографа скорости имеют всегда один и тот же вид, определяемый уравнением (624), и их можно рассчитать раз и навсегда. При этом следует заметить, что в физической плоскости течения х, у характеристики, определяемые уравнением (6.12), для различных задач газовой динамики будут иметь различный вид.