Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 20

6.17). Очевидно, что при 0=0 и М, — 1 Р— Рос и для к = 1,4 отношение — "Р =0,628. Ро Для расчета параметров необходимо по заданному значению М, определить отношение давления невозмущенного потока к давлению торможения —: Ро . Ро я — "' = (1+':,'М1) Рис. 6.17. Определение давления ро По величине отношения Р' (используя рис. 6.17 для М,=1) Ро можно определить фиктивный угол поворота звукового потока 0е.

По величине суммарного угла Оф+О„пользуясь той же кривой, можно найти отношение давлений Р', зная котороенетрудРо но определить число М, потока (рис. 6.18): — 130— 0 1 5 го 15 20 25 30 35 40 45 50 54 129,5 90 67,28 52,66 44,16 38,47 34,26 30,80 27,88 25,33 23,12 21,11 19,29 17,97 0,00 1 1,084 1,258 1,435 1,608 1,779 1,954 2,135 2,339 2,250 2,778 3,021 3,250 0,528 0,477 0,381 0,298 0,233 0,179 0,137 0,104 0,075 0,054 0,038 0,027 0,019 0,000 0,831 О, 808 0,757 0,706 0,657 0,609 0,564 0,520 0,474 0,432 0,390 0,351 0,319 0,000 По известной величине числа М.„пользуясь соотношениями (3,23), (3.24) или соответствующими кривыми, можно найти плотность и температуру потока.

Найдем максимально возможный угол поворота потока при обтекании угла, превышающего 180' (рис 6.19). ц =о„р— 1' Рр 0,51д Рг Рр 1 м Рис. б.!У. Максимальний угол поворота потока Рис. б.18. Определение числа м При к=1,4 0,„=129'30'. уьр 00 0 5 ~ум, Рис. б.гд, Зависимость предельного угла поворота по. тока при обтекании тупого угла, больтего !00', от числа 1йд Рис. б.р!. Определение фиктивного и предельного углов поворота потока Следовательно, если газ движется вдоль плоской стенки со скоростью звука и вытекает в пустоту, то он заполняет только часть Очевидно, что он представляет собой угол поворота звукового потока од=а„р (Мд = 1) до получения послеповорота скорости о=о „, (при расширении потока до абсолютного вакуума р=О).

При этом в формуле (6.41) С=О, а М,=со. Тогда Г'лава )'П ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ И КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 7. 1. Понятие о критическом числе М При обтекании профиля крь.'ла нулевой толщины (с = 0) при нулевом угле атаки (а = 0) местная скорость на поверхности потока всюду равна скорости невозмущенного потока. При с + 0 или а ос 0 местная скорость потока в некоторых точках поверхности больше скорости невозмущенного потока (о) о ), причем для заданной скорости о местная скорость о тем больше, чем больше толщина с и угол атаки.

Поэтому при дозвуковой скорости набегающего потока местная скорость где-либо на его поверхности может стать равной или больше скорости звука. Число М невозмущенного дозвукового потока, при котором где-либо на поверхности впервые местная скорость потока становится равной скорости звука (о=ар),называется критическим и обозначается через М„р. Величина М„р зависит от относительной толщины с, расстояния максимальной толщины от передней кромки профиля х, и угла атаки. Для крыла конечного размаха критическое число М„р зависит, кроме того, и от угла стреловидности и удлинения крыла.

Очевидно, что местная скорость потока впервые станет равной скорости звука в той точке на поверхности, в которой она имеет при данной скорости невозмущенного потока максимальную величину. В этой точке мы получим минимальное давление. Введем коэффициент давления р, равный: — Р Рсо р= рсо "со 2 Тогда минимальному значению давления соответствует минимум коэффициента давления р;„. Поэтому величину критического числа М„рможноопределитьповеличине р гя для профиля. Кривая зависимости Мяр от минимального коэффициента давления р га на поверхности профиля в условиях несжимаемого потока, полученная впервые С.

А. Христиановичем, приведена ртлр иа рис. 7.1. 00 При дозвуковой скорости невозмущенного потока могут быть два случая 09 обтекания: !. М (М„,. Местная скорость потока всюду иа поверхности меньше 02 скорости звука. В этом случае получим чисто дозвуковое обтекание про- -0,0 филя или крыла. Аэродинамические 0,5 характеристики профиля и крыла в этом диапазоне чисел М необходимо определять с учетом сжимаемости. 2. М„р(М (1. При дозвуковой скорости невозмущениого потока местная скорость в некоторых точках поверхности и в окрестности профиля и крыла становится больше скорости звука, возникает зона местных сверхзвуковых скоростей.

Поскольку при этом позади профиля и крыла скорость потока меньше скорости звука, то зона местных сверхзвуковых скоростей замыкается местными скачками уплотнения (рис. 7.2). 0,0 Рис. 7.1. Зависимость крити веского числа Мяо от корф фициента давления рвиа М„р Рис. 2.2. Обтекание крыла в диапазоне чисел М.,<М, <1 Протяженность зоны сверхзвуковых скоростей зависит от величины числа М: чем большеМ, тем больше протяженность этой зоны.

Экспериментальные исследования показывают, что при достаточной протяженности сверхзвуковой зоны возникает местный скачок уплотнения, близкий к прямому (на рис. 7.2 скачок СВ). — 134— Иногда перед ним располагается кссой скачок ЭЕ. Поэтому образуется так называемый )-образный скачок уплотнения. Наличие косого скачка несколько уменьшает интенсивность прямого, так как при этом скорость потока перед прямым скачком уменьшается. С другой стороны, наличие косого скачка может ухудшить условия обтекания крыла, так как изменение направления скорости потока после косого скачка уплотнения может привести к отрыву потока с поверхности крыла. Зоны местных сверхзвуковых скоростей могут возникнуть как на верхней, так и на нижней поверхности крыла. Возникновение скачка уплотнения приводит к существенному изменению распределения давления в кормовой части профиля.

Вследствие этого в диапазоне чисел М„р < М ( 1 появляется дополнительное сопротивление, называемое волновым. Тогда суммарный коэффициент сопротивления профиля крыла становится равным сл — сл +Скя где с, — коэффициент профильного сопротивления; с,, — коэффициент волнового сопротивления. $ 7. 2.

Приближенная теория профиля крыла в докритинеской области (метод линеаризации) В настоящем параграфе изложен приближенный метод учета сжимаемости воздуха (метод Прандтля — Глауэрта) для чисел М ( М,, основанный на линеаризации точного уравнения газовой динамики (6.10). Как будет видно из дальнейшего изложения, линеаризация позволяет значительно упростить это уравнение. Рассмотрим обтекание тонкого профиля под малым углом атаки потоком со скоростью и . Поток около такого профиля мало отличается от плоскопараллельного невозмущенного потока. Тогда составляющие скорости с вблизи профиля можно представить в следующем виде: он= осо+ с~ ~ О =ил) з где е„о — малые величины, являющиеся функциями х, у и стремящиеся к нулю прн удалении от профиля.

Утверждение о малости возмущений справедливо всюду, за исключением области критической точки. В критической точке ско- (7.1) Рассмотрим скорость звука. Как известно, к — 1 з к — 1 а'= — о — — о'. п>хх Это же выражение для невозмущенного потока на бесконечно- сти можно написать в виде 2 ! к — 1 2 к — 1 2 ам'= — оках — 2 о . 2 >х' 2 (7.2) Отсюда 2 к — 1 з 2 ах= ах> (о одх)> 2 или, используя (7.1), ах=ах» — (к — 1) о,х> ох, х 2 (7.3) т. е. ! к — ! ')эу а=а„1 — — о о„ 2 а Разлагая в ряд по биноминальной формуле, предполагая, что ох — (( 1, и отбрасывая малые высших порядков, получим а, к — ! о,0 а=а, — — — о„.

2 а, (7.4) Из выражений (7.1) и (7.4) легко найти связь между числами о о М= — н М„= а а — !Зе†рость равна нулю. Поэтому о„= — о, оу — — О. В области критической точки составляющая скорости возмущения порядка скорости невозмущенного потока. Сущность метода линеаризации заключается в том, что во всех формулах и уравнениях удерживаются только малые члены первого порядка. В дальнейших рассуждениях будем исходить нз предположения, что вторыми и более высокими степенями малых величин о„, о, можно пренебречь, тогда выражения для основных величин, характеризующих газовый поток, значительно упростится. Рассмотрим прежде всего квадрат скорости: ° х ° 3 о~ = ох+ оу = (ох>>+ ох ) + оу = о>х>+ 2оск ох+ ох + оу Отбрасывая о'х, о", будем иметь $2 ! о =ор>+2охоох.

Действительно, х — ! "со М= оа — ' =(о„+о,) а —: — о, 2 а х или М вЂ” — 1+ — 1 — — а ох ох Вновь используя биноминальное разложение, при — с(; 1 а будем иметь М=М„[~~ — '*)[г-~о ' — ',",'). откуда с принятой точностью м=м [~-~ '* (1х":,~м„')[.

(7.5) Найдем теперь давление р в возмущенном потоке. Из уравнения Бернулли др= — родо (2.23) получаем с Лр= р — р„= — ) родо, где р, — давление в невозмущенном потоке при скорости о,. Применяя теорему о среднем, будем иметь Р— Рсо =- — (Ро)со (о — ооо) где (Ро),р — среднее значение удельного расхода на рассматриваемом интервале.

Так как Гсо оса+(Гсо "со+ Р ") (Ро)со= 2 т. е. Р— Рсо = — Рсо Осо Ох. (7.6) Выражение (76) называется линеаризованным уравнением Бернулли. то, пренебрегая произведением малых величин р'о', найдем, что (Ро)со= Рсо осс Таким образом, Р Рсо = Р осо(о — осо)= — Рсо оса [осо+ох — осо)~ Для того чтобы провести линеаризацию основного уравнения газовой динамики (8.10), являющегося нелинейным дифференциальным уравнением, заменим в нем величины а', о„, о и и„ о по формулам (7.3) и (7.!). Тогда с принятой точностью получим х 2 д'э д»э [а — о — (к+1) о о„) — — 2о и — "' + дх» х дх ду + [а — (к — !) о п,1 — »=О.

(7.7) Заметим, что вторые производные по координатам от потенциала !р для тонких профилей при малом угле атаки сами являются малыми первого порядка малости. Например, д»т д д, дох — (о ) — [оса+ох)— дх' дх " дх ' " дх ' Поэтому, отбрасывая в уравнении (7.7) члены второго порядка н деля на а, окончательно будем иметь 2 (7.8) Уравнение (7.8) является л н н е й н ы м дифференциальным уравнением.