Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 17

Найдем уравнение характеристик в плоскости о„о . С этой целью перейдем от переменных о, о к переменным о и 6, где о = )~о2 о' — величина скорости, а 6 — угол наклона скорости к оси х. !(О !а 0 !а 10 ~ я) + ! ап !а0 — !а(еь М откуда !(О = !а(Š— 0+ я) ° т. е. но !яр= ! а потому Ж=.1- 1/~', Воспользовавшись зависимостью между скоростью звука а и скоростью потока о (3.11), в результате интегрирования уравнения (6.26) получаем (Ь+ В п~ — па ) кп (6.26) — !!з— 5 зак.

зо! Правую часть уравнения (6.24) легко привести к переменным о и О, используя уравнения (6.22) и (6.23) и рис. 6.4: ( )= дп — ) = — = — с1а (Π— р), и'и ! (ду ) ( — '~ = — = — с1а(0+ р), Нп~ 2 (д7 ) т. е. уравнение характеристик в плоскости годографа скорости можно написать в таком виде: йпу — = — с(а(0 ~ р). (6.25) Переходя в левой части этого уравнения к новым переменным о и О (о =осозе,' о = оз)пе, Но,=созег(о — оз)пейте, оо,= = з)пей! + осовелое) и собирая коэффициенты при до и Йе, получим з!п О+ с!а(0-.Ь я)созе нп мпЕс!а(0~ я) — -.Е Деля числитель и знаменатель правой части полученного уравнения на созе и заменяя с1а(0 ~ р) на 1/1д(0 ~ р), будем иметь где С вЂ” произвольная постоянная.

Выполнив интегрирование и выразив его результат через число М = о, получим уравнение характеристик в плоскости а ' годографа скорости в конечном виде: 6 == ~ ~ ~':" агс1и ~: — 3 М' — 1 — агс(яУМг — !~+С. (6.28) Кривые, определяемые уравнением (6.28), называются з п иц и к л о и д а м и (рис. 6.5).

Через каждую точку плоскости и„ Рис. б.б. Сетка характеристик (эпиииклоид) е плоскости годографа скорости Оу (в кольце а„р < и к о,„) проходит одна зпициклоида первого семейства и одна — второго семейства. Задавая различные значения постоянной С, можно вычертить раз и навсегда сетку характеристик в плоскости годографа скорости (на рис 6.5 принято для воздуха к=- = 1,405). Из изложенного следует, что с помощью характеристик можно решать любые краевые задачи для сверхзвуковых потенциальных течений газа, если только найдены характеристики в плоскости х, у течения газа и установлено их соответствие с характеристиками в плоскости годографа о„о„. Таким образом, существо решения газодинамических задач методом характеристик состоит в разыскании характеристик в плоскости течения газа.

б. 5. Определение направления линий возмущения с помощью иззнтропного эллипса Рис. б. б, Иээнтропний эллипс К вЂ” 1/ 2 2 гх а'= 2 (птах ох о ). — 115— Для построения характеристик в плоскости потока нужно знать направление линий возмущения в каждой точке. Рассмотрим графический метод определения линий возмущения.

Предположим, что в некоторой точке О в плоскости потока из вестен вектор скорости о (рис. 6.6). Введем местную систему координат с центром в рассматриваемой точке. Направим ось х (ось о„, так как плоскости потока и годо- и графа скорости совмещены) вдоль одной из линий возмущения.

Угол между па- хи и правлением вектора ско- а рости потока и линией возмущения равен углу р а (21пр =- — ). Поэтому в выбранной системе координат, составляющая скорости о„равна местной скорости звука: о„= а. Очевидно, векторов скорости, для которых одна из линий возмущения совпадает с осью х (или о„), бесчисленное множество.

Например, для того чтобы ось о, совпала с одной нз линий возмущения при о„ = 0 (вектор скорости направлен вдоль оси о„), величина скорости должна равняться о ,„, если вектор скорости о направлен вдоль оси о„ (о„ = 0), то о = а„р. Тогда, соединяя концы векторов скорости, для которых заданная прямая (ось х) совпадает с одной из линий возмущения, получим некоторую кривую. Эта кривая представляет собой эллипс с центром в точке О с полуосями о,„и а„р и называется изэнтропным эллипсом. Получим уравнение изэнтропного эллипса.

Для этого в формулу (3.9) для определения скорости звука подставим о' = г ох+ с~у Так как в выбранной системе координат о =а, то 2 к — !х 2 за о=- — (о ах — о — о) 'у= а Х аа х у/ Отсюда находим 2 2 "х з ==- 1, 22 ' К ! 2 а1 ах з К+ ! ааах х — 1,2 2 или, заменяя —, о,х на а,р, получим искомое уравнение х+! изэнтропного эллипса: 2 2 Зх з, 2 + 2 ртах вкр По заданному вектору скорости в данной точке потока с помощью изэнтропного эллипса можно графически найти направления линий возмущения.

Для этого центр изэнл тропного эллипса необходимо совме- стить с рассматриваемой точкой и с ~ вращать эллипс до тех пор, пока конец вектора скорости не попадет на эллипс. Тогда направление большой оси эллипса будет определять на- ~ . !0 -р правление одной из линий возмуще- ния ОЛ или ОВ (рис. 6.7). Из ри/ сунка видно, что возможно два положения эллипса, при которых на него попадет конец вектора скорости (точка С). Рзз. 6.7. Определение назраа- Как известно, касательные к ха- я характеристик з пз- рактеристикам в плоскости о„о, зази!аю иззнтрзпнззз зхлзпза перпендикулярны касательным к ха- рактеристикам в плоскости х, у. Так как направления линий возмущения в плоскости х, у параллельны б о л ь ш о й оси рассматриваемого эллипса, то, следовательно, направления характеристик в плоскости о„, о„будут параллельны м а л о й оси соответствующего эллипса.

б. б. Определение поля скоростей в плоском сверхзвуковом потенциальном потоке газа методом характеристик Рассмотрим несколько наиболее важных задач по определению поля скоростей в сверхзвуковом газовом потоке, используя метод характеристик. Умение решать эти задачи позволит рассчитать любой случай плоского потенциального движения газа со сверхзвуковой скоростью (при отсутствии поверхностей разрыва). Задача 1. В плоскости газового потока дана дуга АВ (не являющаяся характеристикой), в каждой точке которой задана скорость (рис. 6.8).

Требуется определить скорость в каждой точке области, ограниченной дугой АВ и двумя характеристиками АС и ВС, исходящими из точек А и В и являющимися характеристиками двух различных семейств. Характеристики АС и ВС должны быть построены в процессе решения задачи. В' Рис. В. В. К решению задачи 1 с помощью метода характеристик Наряду с плоскостью потока х, у рассмотрим плоскость о„, пав плоскость годографа скорости.

Возьмем на дуге АВ ряд точек Мы Ме, Ме, М„в которых скорости пы пе, ое, и, известны. Рассмотрим точку Мы в которой скорость равна о~. Так как значение скорости пч (оч„пес) известно, то в плоскости годографа можно построить точку М, с координатами (о,„, о,о), соответствующую точке Мь Таким образом, совокупности точек, расположенных на кривой АВ, в плоскости годографа будет соответствовать совокупность точек Мы Мти Ме, М4, расположенных на кривой А'В'.

Это означает, что при передвижении вдоль дуги АВ конец вектора и в плоскости годографа будет описывать кривую А'В'. Выше было доказано, что если в какой-нибудь точке газового потока известна скорость и, то в этой точке с помощью изэнтропного эллипса можно найти направление линий возмущения. Это означает, что в каждой точке Мы Ме, Ме, М, можно провести линии возмущения двух направлений.

Обозначим точки пересечения линий возмущения разного направления, проведенных из соседних точек, через У„У„У„Л1„, Л', (см. рис, 6.8). Примем их за точки пересечения элементов характеристик разного семейства, так как элементы линий возмущения с до- — 117— статоч ной степенью точности можно заменить элементами характер истик. Назовем эти точки узловыми точками (их количество на единицу меньше, чем количество точек, выбранных на кривой АВ) и найдем в них скорости потока. Для этого обратимся к плоскости годографа скорости. Очевидно, что перемещению вдоль характеристики первого семейства из точки М 4 (по дуге М 4У4) в плоскости годографа скорости будет соответствовать перемещение по эпициклоиде перво~о семейства, проходящей через точку М,.

Перемещение вдоль элемента характеристики второго семейства в плоскости годографа скорости будет соответствовать перемещению вдоль эпициклоиды второго семейства А'Юп Заметим, что если по известной скорости в плоскости потока в данной точке можно построить только элемент характеристики, то в плоскости годографа скорости, пользуясь готовой сеткой эпициклоид, мы можем провести всю характеристику соответствующего семейства. В результате такого построения найдем точки пересечения эпициклопд разных семейств, проведенных через соседние близкорасположенные точки Л11, Уз, Л1з, У4, Уз. Эти точки представляют собой концы векторов скорости в узловых точках У,, Л1„Л1„Л'„Л14.

Таким образом можно найти скорость в ряде точек Л'„Л1„Л14, У4, Л',. Принимая эти точки за начальные и проводя для них то же построение, что и для точек А, М„М,, М„М„В, можно определить скорость в последующих точках плоскости х, у. Продолжая это построение, определим поле скоростей во всем криволинейном треугольнике, ограниченном дугой АВ и двумя характеристиками АС и ВС.

Если использовать более частые сетки, т. е. увеличивать число точек на начальной кривой АВ, то мы будем все более приближаться к точному решению основного уравнения (6.10). Задача П. Заданы скорости на двух пересекаюшихся характеристиках АВ и АС, принадлежащих различным семействам(рис. 6.9). Требуется определить поле скоростей в криволинейном четырехугольнике, ограниченном данными характеристиками и двумя характеристиками ВП и СВ, исходящими из точек В и С, которые должны быть построены в процессе решения задачи.

Для нахождения поля скоростей возьмем ряд точек М-, М„ М.„М, на характеристике первого семейства АВ, и точки 1т'„У„ Л1,, Л', — на характеристике второго семейства. Проведем из каждой точки Л'„ У,, Л',, Л'4, С элементы характеристик первого семейства (элементы линий возмущения) и из каждой точки М„М„М„ М4,  — элементы характеристик второго семейства. Характеристики, исходящие из точек Л1, и М„в пересечении дадут точку Р,. Определим скорость в точке Р,.