Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 14

Так как вдоль плоскости скачка давление не изменяется, то Р1 "1п(иы — оъ) = и — 90— откуда П11 О21 = О1 т, е. касательная составляющая скорости при переходе через плоскость косого скачка уплотнения не изменяется. Поэтому к о с о й скачок уплотнения — это скачок нормальной составляющей скорости. При адиабатическом течении полная удельная энергия перед скачком и за ним одна и та же, поэтому уравнение (2.25') имеет вид г 1 ° 2 — +1,= — — +1,= 1„ 2 ' 2 где 2 2 2 О! = П1р+ О1 2 2 2 П2 = Прр + О1.

Подставляя в уравнение энергии эти выражения, получим 2 2 2 Р1п . Р2Р .. "1 — + 1', = — + 1, = 1' — —. 2 2 2' (5.3) 2) «2 /~ — 1 . Р! 2 /~ — 1 2 а„р — — —, 2 ~1о — — ! = Прр — — П! к — , '1 !! 2/ к+1 где 2 к — 1 . к — 1 2 арр — — 2 12 = —, Пр«ах 2+1 к-г! — 9!в 4В« Сравнивая уравнения (5.!), (5.2) и (5.3) с соответствующими уравнениями (4.!), (4.3) и (4.3), замечаем, что основные уравнения для косого скачка уплотнения могут быть получены из уравнений для прямого скачка путем замены в них скоростей потока (п1 и ор) нормальными составляющими скоростей (о,„, п2„) ',« и замены полной УДельной энеРгии 1' УДельной энеРгией 12= 2 1 = 1,— —.

Для определения нормальной составляющей скорости, давления, плотности и температуры потока за косым скачком уплотнения можно воспользоваться соответствующими формулами для прямого скачка со следующими изменениями. В формулу (4.8) вместо п1 и пр необходимо подставить о1„ и п2„ а 2 "2 а„р нужно заменить величиной а„р, найденной по удельной энер- 2) ГИИ !О 1О =12 — — '/, т. Е. Тогда для определения нормальной составляющей скорости за косым скачком уплотнения получим следующую формулу; 2 К вЂ” ! 2 о! к о . = а.р — +, о2, (5.4) где о, = о,совр'1 о,„= о,з(пр) (5.5) (5.7) — — М! 51п2() — — — -1- — , (5.8) т'2 / 2к 2 .

к — 1Х/к — 1 2 1 (к ! 1 к+!)~к+1 к+1М251п5Р к к — 1 ( (к + 1)5 15 к+ 1 (2 (к — 1) ) (5.9) — 1+ — М25!и — 92— Из формулы (5.4) видно, что величина нормальной состав- ляющей скорости потока о,„зависит от о, и угла наклона скачка уплотнения, причем о25 ( а,. От тех же параметров зависит и скорость о,= )' о!+ о22„. При р = — о, = 0 и формула (5А) совпадает с формулой (4.8) для прямого скачка уплотнения. При сравнительно слабых косых скачках уплотнения (при малых углах р) касательная составляющая скорости по величине мало отличается от о,.

Поэтому скорость о, может быть больше ско- рости звука. Прн сильных косых скачках уплотнения с углом (), близким к 90', скорость потока за скачком уплотнения дозву- ковая. Следовательно, в зависимости от угла () поток за косым скачком уплотнения может быть как дозвуковым, так и сверх- звуковымм.

Напишем формулы для определения давления, плотности, температуры и давления торможения за скачком уплотнения. Для этого в формулах (4.13), (4.14), (4.15), (4.30) для прямого скачка уплотнения достаточно заменить число М, числом М,з(п(), найденным по нормальной составляющей скорости по- тока о2„. В результате получим р5 2к 2 . к — 1 — = — М! з(п2() — —, р, к+1 к+1' к+ М2 Мп5 )З 1 55 К вЂ” 1 — +М1 51п к — 1 Уравнение ударной адиабаты для косого скачка останется, очевидно, тем же, что и для прямого (4.18), так как в него не входят ни скорость, ни величина полной энергии газа.

Из формул (5.6) — (5.9) следует, что изменение параметров потока в косом скачке несравненно меньше, чем в прямом скачке уплотнения. Например, при М, =- 3 в прямом скачке Р' = 10,33; Р, "" = 3,86; — '= — 3,68; а = 0,328. При том же значении числа М,=З для косого скачка уплотнения (р=ЗО', а=13') Р' = 2,46; ' — ' = 1,86; Рг Ре т, †' = 1,32; а = 0,93.

Следовательно, потери полного давления в прямом скачке составляют 67,29о, а в косом — всего 7%. Очевидно, можно выбрать такую систему косых скачков уплот- нения, в которой потери окажутся меньше, чем в одном прямом скачке, так как коэффициент потерь полного напора в системе косых скачков уплотнения равен произведению коэффициентов а в каждом из скачков уплотнения. В самом деле, коэффициент а можно представить в следующем виде: Роа Роз Ров Роя Ро1 Рм Рм Ро <„— <) где р„— давление изэнтропического торможения; реа рен ..., р,„— давления торможения за скачками уплотнения (роз за первым скачком, р„— за вторым скачком и т. д.).

учитывая что РО2 о Рм а Р ~ и. получим Ро1 Рм Ро <д 0= 0<аз...од б. 2. Связь между углом поворота сверхзвукового потока и положением фронта косого скачка Формулы предыдущего параграфа показывают, что все параметры газа за косым скачком уплотнения зависят от угла р — угла наклона фронта скачка к направлению набегающего потока. В настоящем параграфе установлена зависимость угла наклона фронта скачка от угла поворота сверхзвукового потока. — 93— Из рис. 5.2 находим 1д(11 — а) = — '", О,' или, используя соотношения (5.4) и (5.5), а — — р,соь 3 2 к — 1 2 к+1 (а(1 — о) = 0 ! 51П Р 005 15 (5.10) Разделим числитель и знаменатель формулы (5.10) на квадрат скорости звука а1 и введем число М, = —. Тогда получим 2 01 а„' 02 — М соь0 02 к+! 1я ((3 — а) = М1 51П 9 005 р (5.1 1) Так как 2 а р Т„Т„Т, 2 Т, 02 Ть Ть Т, к + 1 Т, 1 Ть к — 1 2 — =1+ — М, Т 2 то Подставляя выражение для — "Р в формулу (5.11), будем 02 1 иметь 2 ) к+1 1д (1) — а) — + Мь 510 р соь р или, преобразовывая, 2 + (к — 1) Мь 5!п' Р (5.12) 1я(р — сь) = , 2 1 2 К вЂ” 1 2 а — о кр к+1 уф — а) = (к+ 1) Мь 5!и 2соь р — 94— Используя соотношение 1я о — 1д ° 1 + 1я тя р получим М! 51по р — 1 !асс = с1я р 1+ М' !'+ — ! З) (5.13) На рис.

5.3 приведено семейство кривых зависимости угла наклона скачка р от угла поворота потокаа при различных значениях М,, построенная по формуле(5.13), Из уравнения (5.13) р следует, что угол поворота потока сс равен нулю в двух случаях: 1. Когда М', з!пэ() — 1 = О, 1 т. е. когда з!пр = — и () =р. 5о' ег и Здесь угол наклона скачка уплотнения равен углу возму- р щения.

В этом случае, как из- и вестно, интенсивность скачка бесконечно мала, т. е. скачок У и гц' зз ср эс' а вырождается в волну слабых возмущений. Рис. о.з. Зависииоств угла наклона К 1Да С(пп пя О п ЯОО скачка УплотнениЯ от Угла повоРот. е. при прямом скачке. та потока при раэличних эначе- ниях М, Из рис. 5.3 следует также, что для каждого числа М, существует максимальное значение угла поворота потока а,х, на который сверхзвуковой поток может внезапно повернуться, пройдя через фронт плоского косого скачка.

Величина сс „зависит от числа М,. При заданном числе М, одному и тому же углу поворота потока сс соответствуют два положения фронта скачка, принадлежащих семейству сравнительно слабых и сильных скачков уплотнения (на рис. 5.3 участок кривой, характеризующий сильные скачки уплотнения, проведен пунктирной линией).

На основании экспериментальных исследований установлено, что если угол а меньше максимального угла отклонения потока при данном значении числа М„ то возникает присоединенный (сравнительно слабый) косой скачок уплотнения. Угол поворота потока при этом равен углу а. При этом сильные скачки уплотнения (большие углы р, близкие к '— ') в реальных потоках не реализуются. Поэтому если а(а,„, то для определения угла наклона присоединенного скач- — 95— ка уплотнения можно пользоваться сплошными кривыми, изображенными на рис. 5.3, считая при этом, что угол поворота потока равен а. Если угол а больше а,„для данного числа М,, то образуется отсоединенный криволинейный скачок уплотнения, расположенный на некотором расстоянии от тела. На нулевой линии тока (на линии симметрии) угол наклона скачка уплотнения равен 90'.

Здесь мы имеем элемент прямого скачка уплотнения. По мере удаления от нулевой линии угол наклона скачка непрерывно уменьшается от (3 = 90' до (3 = р. При этом нигде в скачке уплотнения угол поворота потока не равен а„,. Вдоль криволинейного скачка уплотнения угол поворота потока изменяется в зависимости от угла р. На нулевой линии тока а = 0 (см. рис, 5.7).

5. д. Ударная поляра Поскольку угол наклона скачка уплотнения зависитотскорости и, и угла поворота потока, то„изменяя углы а при постоянной скорости о„ получим различные углы наклона скачков уплотнения. Прн этом изменяется величина и направление скорости потока о,. Поэтому одной и той же скорости до скачка уплотнения ш будут соответствовать различные векторы скорости о, за скачком. Соединяя концы векторов о, при неизменной скорости о„получим годограф скорости за скачком уплотнения. Найдем уравнение годографа скорости о~я — 7(о„, щ). Для этого в плоскости годографа направим ось абсцисс вдоль скорости о, (рис.

5.4). Тогда составляющие скорости по осям координат можно представить в следующем виде: Озх = О~ соя (3 + о2л з1п ~ аз~ — О~ 5!п р — О~д соз (3 Используя соотношения (5.4) и (5.5), выражение для о,„можно преобразовать: г 02 = + А 1 п1 сов~(3 аяр 2 (5.15) "1 Из выражения (5.15) исключим угол (3. Для этого воспользуемся свойством постоянства касательной составляющей скорости в скачке уплотнения. Ввиду того что оп = о„, прямая, соединяющая концы векторов скорости о, и о„должна быть перпендикулярна к плоскости косого скачка уплотнения. Этим свойством можно пользоваться для графического определения угла р при известной скорости потока за скачком.