Аэродинамика больших скоростей (Аржаников Н.С., Садекова Г.С., 1965 - Аэродинамика больших скоростей), страница 15

— 96— Из треугольника АВС следует (см. рис. 5А), что ф = — — р, тогда с1й~ = „"', (5.16) отсюда 2 созк 11 = о2у (Ог Окх) + "2у (5.17) огх Рис. Б.4. Состаолкюигис скорости потока за косим скачком уплотнсник Подставляя выражение (5.17) в уравнение (5.15), получим уравнение годографа скорости: а2 кр ок к» 2 О2У (Ок Пкх) 2 2+1 (5.18) а2 кр о„+ — — ок„ ог — 97— Из уравнения (5.18) следует, что годограф скорости за скачком уплотнения представляет собой кривую, симметричную относительно оси абсцисс с вертикальной асимптотой о,„= 2 2 акр = — о, + — (рис. 5.5). Вертикальная составляющая скорости 7г+ 1 ог ок равна нулю при следующих значениях о,; 1. При па=в„или о, =па=о,, при этом величина (о„=о„) и направление скорости (о, =0) не меняются, а скачок уплотнения вырождается в слабую волну возмущений (1)=12).

Поскольку векторы скорости оа и ок совпадают, то прямая, соединяющая концы векторов скорости, идет по касательной к годографу. Поэтому в точке В касательная к кривой перпендикулярна к линии возмущения. аз 2 2. При выполнении условия о,„— — '~ = О, или о, = — — 'и . "1 Это минимальное значение скорости потока при заданной скорости о, соответствует прямому скачку уплотнения (точка А на рис. 5.5). Следовательно, годограф скорости за скачком уплотнения состоит из петли, расположенной между точками А (о = — — "и~ и1 г д и В(о,=о1), и двух бесконеч- ных ветвей В1) и ВЕ. Как известно, кривая, представляемая уравнением (5А8), называется строфоидой, или гипоциссоидой (см. рис.

5.5). Петлю этой кривой обычно называют ударной поляр о й. Покажем, что бесконечные ветви строфоиды физического смысла не имеют. Для этого из начала координат в плоскости годографа скорости проведем рис. д.д. Ударная поляра (итра- луч под некоторым углом а 4~аида) (см. рис. 5.5), который пересечет строфоиду в трех точках (1, 2, 3). Эти точки при заданном угле поворота потока дают три математически возможных значения скорости за скачком уплотнения.

В точке 3, расположенной на бесконечной ветви строфоиды, о2) оь т. е. эта точка соответствует скачку разрежения. В Э 4.3 было показано, что при адиабатическом течении скачки разрежения невозможны. Поэтому бесконечные ветви строфоиды, как не имеющие физического смысла, должны быть отброшены. Таким образом, для данного угла поворота потока а возможны два 'значения скорости, соответствующие сравнительно слабым (точка 2) и сильным (точка 1) скачкам уплотнения. Проведем окружность радиуса Я = а„р с центром в начале координат, которая разделит ударную поляру на две части. Точки, расположенные вне этой окружности, соответствуют сравнительно слабым скачкам уплотнения со сверхзвуковой скоростью ом внутри окружности — сильным скачкам уплотнения с дозвуковой скоростью им Угол наклона касательной к ударной поляре, проведенной из начала координат, определяет величину максимального угла поворота потока а,„для заданной скорости о,. Как было отмечено в Э 5.2 настоящей главы, при малых углаха (а(и .„) образуется присоединенный скачок уплотнения (рис.

5.6). Угол поворота потока при — за— этом равняется углу а. Экспериментальные исследования показывают, что в этом случае из двух возможных решений реализуется б о л ь ш а я скорость потока ое (точка 2 рис. 5.5). Это подтверждается тем, что присе-р 0 величина скорости потока за скачком уплотнения должна увеличиваться и приближаться к скорости оь а аххр не к —. рх При а >сктех возникает отсоедииенный криволинейный скачок уплотнения (рис. 5.7). Централь- леле„.еб НЫй ЭЛЕМЕНТ ПОВЕрХНОСтИ ВОЛНЫ сб " е и, Рис. б.7. Обтекание клина ари а) атах Рис.

б.б. Обтекание клина нри а(атах — 99— перпендикулярен вектору скорости пх (элемент прямого скачка уплотнения), скорость потока за этим элементом скачка — дозвуковая. По мере удаления от точки О вдоль скачка углы наклонаэлементов скачка уплотнения уменьшаются (90'»> (х > р). На различных участках криволинейного скачка угол поворота потока, степень уменьшения скорости и соответствующее изменение всех остальных параметров потока различны. За участком криволинейного скачка АА', соответствующим сильным скачкам уплотнения, образуется дозвуковое течение. При удалении от точки О интенсивность скачка уменьшается, скорость потока за скачком увеличивается. Поэтому за скачком на некотором расстоянии от точки О вдоль скачка (за точками А и А' на рис.

5.7) поток становится сверхзвуковым. Каждой точке на криволинейном скачке уплотнения соответствует определенная точка на ударной поляре от точки А до точки В (рис. 5.5). Например, точке О соответствует точка А на поляре. На рис. 5.8 приведено семейство ударных поляр„построенных для различных значений чисел Мх (1(Мь~аа). Для удобства скорости, отложенные на диаграмме, отнесены к критической скорости. С помощью поляры можно определить скорость, а следовательно, все остальные параметры потока за скачком, если известны параметры потока перед ним и одно условие, определяющее положение скачка уплотнения (угол поворота потока или угол наклона скачка уплотнения).

Предположим, что заданы параметры потока до скачка уплотнения и угол а. Пользуясь семейством ударных поляр, найдем скорость потока за скачком уплотнения. Для этого из семейства удар- ~гй акр Огк а„р Рис. д. 8, Семейство ударник поляр ных поляр необходимо выбрать поляру, соответствующую заданной ог скорости потока —, и определить величину а,„(по ударной поляре, ко как угол наклона касательной, проведенной из начала координат, или по рис. 5.3). Если при игу этом а<атея, то угол поворота потока равняется углу а.

Тем самым становится известным направление скорости за скачком уплотнения. Величина скорости ог определяется по точке пересечения а ма С ударной поляры с лучом, д йгг проведенным из начала коора д динат под углом а (рис. 5.9). й, огк Для определения угла наклона скачка уплотнения рис. д.у. Графическое определение око- необходимо провести перпенрости потока и угла р при косом дикуляр к прямой, Соедисканке уплотнения няющей концы векторов скорости ог и ог (точки В и С). Угол наклона перпендикуляра равен углу р. Зная угол р, пользуясь формулами (5.6) — (5.9), можно определить остальные паРаметРы потока за косым скачком УплотнениЯ (Рг, Рг У'г Рог и ) Если же заданы параметры потока до скачка уплотнения и угол наклона скачка (например, по данным экспериментальных исследований), то величину и направление скорости потока заскачком можно определить по точке пересечения прямой, проведенной из конца вектора скорости ог перпендикулярно к фронту скачка, с ударной полярой (рис.

5.9). ЗАДАЧИ 1. Сравнить увеличение плотности и температуры при ударном и изэнтропическом сжатии воздуха, если давление в обоих случаях возросло одинаково: = 10. Рх 2. Определить изменение скоростного напора: а) в прямом скачке уплотнения при Мг = 4; б) в косом скачке при том же числе Мг = 4 и угле полураствора клина акл = 20'. Сравнить результаты решения задачи для прямого и косого скачков уплотнения. 3.

Найти коэффициент потерь полного напора: а) в прямом скачке уплотнения при Мг = 5; б) в косом скачке при том же Мг = 5 и а = 20'. 4. Определить параметры потока за прямым скачком уплотнения (Рз, рз, Тз, оз), если известны число Мсо = 4, высота полета Н = 50 000 м. Рис. 5, !О, К задаче Лй 5 5. Найти отношения параметров потока за вторым косым скачком уплотнения (рис.

5.10) к соответствующим параметрам невозмущенного потока, если известно число М невозмущенного потока (Мг = 5) и углы наклона участков поверхности щ = 1О', из = 20'. Вывести формулу для определения коэффициента потерь полного напора. Г'л.ава 'кт' ПЛОСКИЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ~ АЗА В этой главе рассматриваются только плоские сверхзвуковые нзэнтропические течения газа. В частности, не будут рассматриваться течения, сопровождающиеся трением и образованием ударных волн. 5 б.

1. Критерий потенциальности для плоского изэнтропического течения газа Выясним, при каком условии в потоке будут отсутствовать вихри. Рассмотрим какую-нибудь линию тока аА (рис. 6.1). Проведем в точке а линии тока касательную, направленную вдоль вектора скорости о, и внутреннюю нормаль п. Напишем уравнение движения газа в проекции на нормаль и: о' 1 Фр г р Лл' (6.1) (6.2) й;= й+ пап~ О, — 102— где г — радиус кривизны, равный Оа; о2 — — центростремительное ускорение частиц газа.

Т Допустим, что при переходе от одной линии тока к другой полная энергия и энтропия будут изменяться. В таком случае будем иметь (з (( +О Р~ (6.3) где со — полная энергия; з — энтропия. Очевидно, что вдоль линии тока ввиду изэнтропичности течения с(с'о=О и с(з=О. Исключая из уравнений (6.2) и (6.3) величину с(с, находим НР— = Ж, — ос(о — Тс(з. п Р и Подставляя значение — в уравнение »СР Р движения (6.1), находим сна сСо ссз — = — — + о — +Т— » сСп ап ап или иначе (6.4) а С другой стороны, по определению циркуляции Гаьсаа = и Ля — (о + — Лг) (» — Лг) Лсс, йп или, раскрывая скобки, сСо сСс1 Гавела = (о — ~ Лг Ля + — (Лг) Ля. сСп / сьп Отбрасывая бесконечно малые третьего порядка, находим Гаьага =- (о — — г )Лг Лсс = 2сов г Лг Ля, отсюда о с!о 2со 㻠— юз— Рассмотрим выражение, стоящее в скобках, для чего обратимся к рис.