В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (В.А. Зорич - Математический анализ), страница 7

сРункция как отношение. График функции. В заключение ве немся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претерпело дл тельную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. Лейбница (правда, некотором более узком смысле). В смысле, близком к современному, эт< термин употребил в письме к Лейбницу от 1698 г. Иоганн Бернулли' ). В формировании современного понимания функциональной зависимос приняли участие многие крупные математики.

Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале парагр фа, встречается уже в учебниках математики С. Лакруа2) (1806 г.), перек денных на русский язык. Активным сторонником такого понимания функц1 был Н. И. Лобачевскийз). Более того, Н. И. Лобачевский указал (1834 г что «обширный взгляд теории допускает существование зависимости толь в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данны. вместе»4).

Это и есть идея точного определения понятия функции, котор мы теперь собираемся изложить. Приведенное в начале параграфа описание понятия функции представл ется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с точки эрен: современных канонов оно не может быть названо определением, ибо использ ет эквивалентное функции понятие соответствия. Для сведения читателя ь укажем здесь, каким образом дается определение функции на языке теор1 множеств. а. Отношение. Отношением Я называют любое множество упорядоче ных пар (х, у).

Множество Х первых элементов упорядоченных пар, составляющих Я, н зывают областью определенил отношения И, а множество У вторых элеме тов этих пар — областью значений отношения Я,. Таким образом, отношение Я можно интерпретировать как подмножест Е прямого произведения Х х У. Если Х С Х' и У С У', то, разумеетс Е с Х х У С Х' х У', поэтому одно и то же отношение может задаваться к; подмножество различных множеств. Любое множество, содержащее область определения отношения, называв областью отправления этого отношения. Множество, содержащее облас значений отношения, называют областью прибь»тия отношения.

'< И. Бернулли (1667 — 1748) — один из ранних представителей знаменитого семейст швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Стоял у истоков вариацион» го исчисления. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрально исчисления. ~< С. Ф.

Лакруа (1765 — 1843) — французский математик и педагог (профессор Норма< ной и Политехнической школ, член Парижской академии наук). з1Н. И. Лобачевский (1792 — 1856) — великий русский ученый, которому, наряду с ве< ким немецким естествоиспытателем К. Ф. Гауссом (1777 — 1855) и выда»ощимся венгерск< математиком Я. Бойяи (1802 — 1860), принадлежит честь открытия неевклидовой геом» рии, носящей его имя.

41 Лобачевский Н. И. Полное собр. соч, Т. 5. М.— Л.: Гостехиздат, 1951. С. 44. 2 Зорич В.Л. Вместо того чтобы писать (х, у) Е Я., часто пишут х Е у и говорят, чтс связано с у отиношением Е. Если Е С Х, то говорят, что отношение К задано на Х. Рассмотрим несколько примеров. П р и м е р 13. Диагональ Ь=((а,Ь) бХ ~а=Ь) есть подмножество Х~, задающее отношение равенства между элемента множества Х. Действительно, а л» Ь означает, что (а, 6) Е Ь, т. е. а = Ь. Пример 14.

Пусть Х вЂ” множество прямых в плоскости. Две прямые а Е Х и Ь Е Х будем считать находящимися в отношении и будем писать а »с Ь, если прямая 6 параллельна прямой а. Ясно, что т самым в Х выделяется множество»с пар (а,Ь) таких, что а»с Ь. Из кур геометрии известно, что отношение параллельности между прямыми облада следующими свойствами: а Л, а (рефлексивность); а Я 6 =Ф 6»с а (симметричность); (а 7Г. Ь) Л (Ь И с) =~ а »с. с (транзитивность). Любое отношение И, обладающее перечисленными тремя свойствами, т.

рефлексивное, симметричное и транзитивное, принято называть отнои 1) нием эквивалентности. Отношение эквивалентности обозначается специа~ ным символом, который в этом случае ставится вместо буквы Е, обоз» чающей отношение. Итак, в случае отношения эквивалентности будем писа а Ь вместо а Е Ь и говорить, что а эквивалентно Ь. П р и м е р 15. Пусть М вЂ” некоторое множество, а Х = 'Р(М) — совок~ ность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов а и Ь м» жества Х = 'Р(М), т. е. для двух подмножеств а и Ь множества М, всег выполнена одна из следующих трех возможностей: а содержится в Ь; 6 сод» жится в а; а не является подмножеством Ь и Ь не является подмножеством Рассмотрим в качестве отношения Е в Х2 отношение включения для пс множеств Х, т.

е. положим по определению а ИЬ:= (а С Ь). Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами: а Л,а (рефлексивность); (а К 6) Л (Ьйс) =~ а Ес (транзитивность); (а Е Ь) Л (6 К а) =~ а Ь Ь, т. е. а = Ь (антисимметричность).

1) Полезно для полноты отметить, что отношение Я. называется рефлеиснвны,м, если ( область определения и область значений совпадают и для любого элемента а из облас определения отношения И выполнено а%а. Отношение между парами элементов некоторого множества Х, облада щее указанными тремя свойствами, принято называть отношением частию го норлдка на множестве Х. Для отношения частичного порядка вместо а3 часто пишут а ~ о и говорят, что о следует за а.

Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение часты ного порядка, выполнено условие,что Ча Чб ((а Л, Ь)Ч (о Я а)), т. е. любые два элемента множества Х сравнимы, то отношение К называеч отнои»ением порядка, а множество Х с определенным на нем отношени порядка называется линейно упорядоченным. Происхождение этого термина связано с наглядным образом числовой п1 мой К, на которой действует отношение а < о между любой парой веществ~ ных чисел. Ь. <Функция и график функции. Отношение Е называется функц~ нальным, если (х И у1) Л (х Е у2) =Ф (у1 = у3). Функциональное отношение называют функцией. В частности, если Х и У вЂ” два не обязательно различных множества, определенное на Х отношение Л, С Х х У между элементами х из Х и у У функционально, если для любого х Е Х существует и притом единственн1 элемент у Е У, находящийся с х в рассматриваемом отношении, т.

е. так( для которого х Е у, Такое функциональное отношение Е С Х х У и есть отображение из Л У, или функция из Х в У. Функции мы чаще всего будем обозначать символом ~. Если ~ — функц~ то вместо х~у мы по-прежнему будем писать у = ~(х) или х ~ — + у, назыы У у = ~(х) значением функции ~ на элементе х или образом элемента х п отображении ~. Сопоставление по «закону» ~ элементу х Е Х «соответствующего» элемен у Е У, о чем говорилось в исходном описании понятия функции, как виды состоит в том, что для каждого х Е Х указывается тот единственный элеме у Е У, что х~у, т.

е. (х, у) Е ~ С Х х У. Графиком функции ~: Х -+ У, понимаемой в смысле исходного описан~ называют подмножество Г прямого произведения Х х У, элементы которо имеют вид (х, ~(х)). Итак, Г:= ((х, у) Е Х х У ~ у = У(х)). В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как подмножест ~ С Х х У, конечно, уже нет разницы между функцией и ее графиком. ~л. ь иыо~нгыь иыцьмл~ьмльи-~ы лис пипи~ил Мы указали на принципиальную возможность формального теорети~ множественного определения функции, сводящуюся по существу к отож~ ствлению функции и ее графика. Однако мы не собираемся в дальнейш ограничиваться только такой формой задания функции. Функциональное с ношение иногда удобно задать в аналитической форме, иногда таблицей зь чений, иногда словесным описанием процесса (алгоритма), позволяющего данному х Е Х находить соответствующий элемент у Е У.

При каждом так~ способе задания функции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью г~ фика, что формулируют так: построить график функции. Задание числов| функций хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, ч делает наглядным основные качественные особенности функциональной зал симости.

Для расчетов графики тоже можно использовать (номограммы), ~ как правило, в тех случаях, когда расчет не требует высокой точности. Д точных расчетов используют табличное задание функции, а чаще — алгори мическое, реализуемое в вычислительных машинах. Упражнения 1. Композиция Кг о 7~1 отношений Е1, 1сг определяется следующим образом: Кг о К1 .= ((х, г) ~ 3у (х К1 у) Л (у Кг г)). В частности, если Я.1 С Х х У н Кг С У х Я, то И = Кг о К1 С Х х Я, причем х Я 2:=:1 у ((у Е У) Л (х Я1 у) Л (у Яг г)).

а) Пусть Ьх — диагональ множества Хг, а Ьу — диагональ множества 1 Покажите, что если отношения К1 С Х х У н Иг С У х Х таковы, что (Кг о '1с1 = Ьк) Л (К1 о Я.г = Ьу), то оба онн функциональны и задают взаимно обратн1 отображения множеств Х, У. Ь) Пусть И С Хг. Покажите, что условие транзитнвностн отношения К равн сильно тому, что Ко% С Я.. с) Отношение И С У х Х называется транспонированкым отношением К С Х х У, если (у И'х) ФФ (х К у). Покажите, что антисимметричность отношения К С Х равносильна условя К й Я.' С Ьх.

й) Проверьте, что любые два элемента множества Х связаны (в том нли инс порядке) отношением И С Х, если н только если Я. 0 Я, = Хг. 2. Пусть ~: Х + У вЂ” отображение. Прообраз ~ '(у) С Х элемента у Е У наз~ вается слоем над у. а) Укажите слои для отображений рг: Х1 х Хг -+ Х1, рг: Х1 х Хг -+ Хг. Ь) Элемент х1 Е Х будем считать связанным с элементом хг Е Х отношенис И С Х и писать х1Кхг, если ~(х1) = ~(хг), т. е. если х1 н хг лежат в одном слое 2 Проверьте, что К есть отношение эквивалентности.