деформации (Макклинток Ф., Аргон А., 1970 - Деформация и разрушение материалов), страница 10

Я е ! Ъх ры й!обета ТЬеогу о! Яо!!бз, Ы«СгавыНП), Кек гогй, 1940; русский перевод. "3 е й т ц бь. Современная теория твердого теча, Гастехнздат, 1949. 14. Я ! а 1 е г Х. С., [пггодисПоп !о СЬепбса1 РЬумсе, МсСгач-Н!П, Век уог1«, 1939. 15. Я к а ! 1 и В. А., ТЬепподуваш!сз о[ Яо1Ыз, Ъу!!еу, Кон х огй, 1962. 16. Ч а и Ч 1 а с Ь Е. Н., Е!ешеп!з о1 Маьег!а1» Яс!енсе, Адд!зап-ЪЧеа!еу, ВеаеИаб, 51а.в., 1959.

17. 7 ее е г С., в сб. 1шрег[ссмопз !и Кеаг!у Рог!асг Сгуз1а!з, Я Ь о с Ь1 е у Ъу. е1 а!. [«дз.), ЪУ!!еу, Же»е Уогй, 1952, р. 289. 18*. Л а и д а у Л. Д., Л нф ~п а ц Е. М., Статистическая физика, язд-во «Наука», 1964. 19". Х н л л Т., Статистическая механика, ИЛ, 1960. 20'.

У л е н б е к Дж., Ф а р д Дж., Лекция ио статистической механике, изд-во «Мяр» 1965 ') Звездочкой откачаны работы, добавленные редактором перевода.— Прил. ред и ~ .*р». Глава 2 НАПРЯЖЕНИЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 2Я. ВВЕДЕНИЕ В процессах деформации и разрушения материалов участвует огромное число атомов, поэтому предпочитают говорить нс о поведении отдельных атомов, а о среднем напряжении и деформации в материале. Оказывается, .чта эти усредненные величины мол<ко с успехом использовать при изучении поведения конструкций и механизмов, когда размеры их велики па сравнению с размерами элементов структуры материалов, из которых онп изготовлены. Например„в поликристаллическом металле области, по которым производится усреднение, состоят иэ большого числа верен.

Напряженное состояние обычно можно описать с помощью шести компонент, представляющих собой силы, отнесенные к единице площади и действующие по вааимно перпендикулярным плоскостям, проходящим череа исследуемую тачку. Будут рассмотрены и особые случаи, описание которых .требует большего числа компонент. Если имеются градиенты напряжения, а три компоненты силы, действутощие ка малый элемент объема, находится в равновесии, можно вывести три уравнения равновесия.

Иэ условий равновесия вытекают также правила преобразования компонент напряжения прк перемене координат. Знание этих преобразований в дальнейшем поможет нам понлть влияние симметрии кристалла на его механическое поведение. Деформацию материала можно описать выражением, в которое войдут относительные смещения точек и не войдут члены, соответствующие перемещению твердого тела как целого; сделав эта, получим шесть компонент деформации, представляющие собой смещения точек, отнесенные к первоначальному расстоянию между ними.

Ив того факта, что гпесть компонент деформации выведены из трех смещений, следует, что в болыпинстве случаев лишь три компоненты деформации могут быть заданы произвольно. Отсюда вытекают условия совместности. Закон преобразования компонент деформации, выведенный иа геометрических соображений, оказывается аналогичным закону преобразования напряжения. Б заключение мы покажем, как работу, совершаемую над единицей объема материала, в котором при приложении некоторого напряжения возникает определенное приращение деформации, можно выразить через напряжение и приращение деформации, 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ Если бы механика ставила перед собой задачу изучать па отдельности силы, действующие на каждый из атомов, пользоваться ее уравнениями было бы очень трудно; на самом деле механика отдельными атомами не интересуется.

Вместо этого рассматрнваются средние интенсивности сил, действующих на элементы, содержащие большое число атомов. Размеры этих элементов выбираются в зависимости от условий задачи: иногда это области кристалла, содержащие много дислокаций, в других случаях это объемы поликристалла, состоящие из большого числа зерен. Однако размеры элемента должны быть малы по сравнению с раамерамн испытуемого образца илн конструкции, поэтому в элементе не должно быть заметного градиента Напркееекие и бееаекечка капая дефоркааил напра;кения. Такой элемент показан на фиг.

2Л. Иногда возникает противоречие между необходимостью иметь элемент раамерами больше атомных и условием отсутствия градиента сил (например, ядро дислокации, области, примыкающие к вершине трещины). В таких случаях понятие напряжения ф Ф я г. 2Л. Поле явяеяяюзцихся свл, действующих в сечеяяв. пригодно для описания состояния областей, окруя<ающзгх этот элемент, и не пригодно для описания того, что происходит внутри элемента. Однако в большинстве случаев удается выбрать элементы подходящего размера — такие. как на фиг. 2.2.

Площадки шести раалвчвых граней элемента обозначаются а соответствии с направлениями их внешних нормалей, Ф в г. 2 2. Компоненты яяпряжевяя, действующие яя вле- меят объема.1 з; т. е. Л„Лв, А „и т. д.; на каждую грань действуют три компоненты силы. Отношение одной иа атих компонент силы к площадке, на которую она действует, называется компонентой интенсивности силы илк налрялгекивл. Для обозначения напряжения используют два индекса: первый определяет внешнюю нормаль к рассматриваемой площадке, второй — компоненту и яре. Глаза 9 силы, действующей на эту площадку.

Например, оп= — —, оп=- — и т. д. Рз ~г Аз (2Л) Казалось бы, напряжение должно иметь (8 рааличных компонент, но, к счастью, число этих компонент гораздо меньше, что вытекает из двух условий равновесия. Во-первых, сила, действующая на часть тела по одну сторону сечения, равна по величине и противоположна по напранлешпо силе, действующей ка другузо часть: (2.2) о, з =пзз и т.

д. Число компонент напряжения уменылается до девяти. Их число уменьшится еще, если будет соблюдаться условие равенства нулю результирующих моментов от действия касательных коьшонент напряжения„ (Как будет показано в равд. 2.5, это условие действительно выполняется, но при отсутствии заметного влияния межатомных иоментов, действующих на сечение.) В этом случае условием равенства моментов относительно осн х является (2.3) онг пзз к г.

д., т. е. порядок индексов не играет роли (з а д а ч а 2Л). Два рассмотренных условия равновесия приводят к снижению числа независимых компонент напряжения до шести: три компоненты — от сил, перпендикулярных поверхностлм, по которым они действуют, т. е. три нормальные компоненты, и три компоненты — от сил, параллельных поверхности, по которой они действуют, т. е. три касательные компонетпы. Компоненты напряжения разными авторами обозначаются по-равному. Ниже приведены наиболее употребительные обозначения: Обоэначенкк компонент напряжения Ленная кывга Тнкозвснко в Гудиер 1!91, Нрэндслл к Даль 141 Л в (з91 Бркджмен 1!1 Сокольников 1$7! сн .. сзз-. ...

тзз х, ...л„.. хк ... Рз гн .--кзз ° 2.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИОИНОНЕНТ НАНРНЖЕНИН Часто бывает удобно описывать деформацшо материала в координатах, определяемых симметрией его кристаллической структуры. В то же время поведение образца или детали под нагрузкой удобнее описывать в координатах, определяемых симметрией формы детали или направлением внешних сил. Ксан эти два требования нельзя выполнить, используя одну и ту же систему координат, необходимо работать с двумя координатными системами, Законы преобразования компонент напряжения прп переходе от одной системы к другой вытекают нэ условия равновесия. В случае преобразования, предстанляющего поворот вокруг оси хз (фиг. 2.3), компоненты напряжения, действующие на поверхности !', находят следующим обрааом: выражауот величину площадок ззз и Аз, перпендикулярных старым координатным осям, через площадки, перпендикулярные новым осям; выра!кают силы, действующие на различные площадки, через компоненты напрялзений и рассматривают условия равновесия сил, Наиряаеение и Вееяаиечиа малая Леетермазия действующих в направлении новой оси х,.

В результате получают (з а д ач а 2.2) а> и =пи сов'О+азашОсовбтазгсовО ыпО+амвп>'О, (2.4) агз = — аи в>п 0 сов О+а>з сове Π— аз> в>пз О+а~ в>п О сов 6. Взяв элемент другой формы (задача 2.3), аналогичным образом находим а»2 =аив>в~О+а»в>пОсовО+амсовОв>пО+с~сов«О. (2,5) Нас не должно удинлять, гго преобразования компонент напряжения сложнее, чем преобрааования вектора: компоненты напрянгения определяются двумя напранчениями (направлением нормали к площадке и направлением силы, действующей на площадку), а компоненты вектора определяются одним лишь его направлением. Если внимательно посмотреть иа уравнения преобразований ко»шонеит напряжения ((2.4) и (2.5)), то нетрудно л гр и г. 2.4.

Углы иежду координат ными осями. х> х>е гр и г. 2.3. Преобразование компояепт напряжения. хз с.6,2 СОВ О2 з сов Оз е часто обозначают следующим Х2 сов 01 2 сов Оюз сов О» 2 х> х> сов Оп> хз сов 02 > сов 62 > Для краткости направляющие образом: косинусы ЕГ» >2 З >2'2 >2 3 е»'2 >З"д ер! 12 ез > ил.

ри заметить, что они описываются простой схемой. Эта схема станет еще нагляднее„если н уравнениях (2.4) и (2.5) специальным обрааом обозначить косинусы углов между различными координатными осями, так называемые направляющие косинусы. Прел«де чем продолжить изучение преобразований компонент напряженин, поговорим о направляющих косинусах и лосмотрнм, как можно их использовать дли преобразования компонент вектора (см. также нпвгу Томаса И8), стр. 615, задача 15)).

Возьмем две системы координат»пах осей (фиг. 2.4). Повернуть>е— «новые» вЂ” оси отмечены штрихом при индексе. Набор косинусов углов 0 не>иду различными осями координат можно представить в виде таблицы, столбцы которой соответствуют исходным осям, а строки — повернутым осям Тзззз Г 46 Из определения направляющего ьосннуса и из фиг. 2.4 следует, что 1! ! = — зьь, ~! з = зт! и г. д., но совсем необязательно, чтобы ь! з = ь!з. Если в исходной системе координат вектор имеет компоненты а!, аз, а, то, как следует из геометрических соображений, его коьзпопенты в преобразованной системе аьч аз, а„ определяются следующими уравнениями (з а д а ч а 2.4): а!" ~!'!а!+ 11'таз+У!'заэ аз' )2'1а!+ зз'заз !" ьз'заз (2.6) аз =- (з ьа!+ (з таз+ )з заз.