деформации (Макклинток Ф., Аргон А., 1970 - Деформация и разрушение материалов), страница 13

С помощью этого тенэора можно записать сооюшшения между направляющими косинусами ( з ы д а ч и 2.5 и 2.6) 1«А а = бги. (2.34) В некоторых случаях вводят еще одну специальную пероионную— единичный антисимметричпый тензор третьего ранга егтю принимающий значения, равные 1, если индексы обраауют четную перестановку чисел ыч .*рь. тангенциальиое, а не тензорное определение деформации сдвига, то перед построением круга Мора (или выполнением тензорных преобразований) необходимо значения компонент сдвига разделить ва 2. Из построения ьруга Мора следует, что при двухосных иапря кении или деформации существует такая система координатных осей, что на площадгах, им перпендикулярным, касательные компоненты равны нулю. Оти оси называются главными осями. Можно показать (см., например, кшггу Кгера (11!), что главные оси существуют и в трехмерных случаях.

Это следует из того, что для установления связи между двумя системами координат необходимы три переменные; оказывается, их моя«но выбрать так, что по трем взаимно перпендикулярным площадкам касательные компоненты напряжения или гдвиговые деформации обратятся в нуль. Следовательно, при построении кривой деформации в материале, структура которого не имеет предпочтительной ориентировки, для удобства можно выбрать такио координатные ося, которые будут совпадать с направлениями главных напряжений. При изучении распределения напряжения вли деформации в конструкции, направлепия главных осой в различных точках которой„как правило, различаются, легче работать с единой системой координат, выбранной э соответстыыи с геометрией конструшгии.

В этих координатах обычно существуют сдвиговые компоненты напряжения и деформация. Операции над тензорами часто записываются болео кратко, при этом вводят специальные правила и символы. (В настоящей книге мы не везде будем использовать эту форму записи, яо будок упоминать о ней, так что читателя не испугают статьи, в которых принята сокращенным форма записи.) Было замечено, что в формулах, содержащих знаки суммирования, «немой«ь индекс, по которому производится суммироваяие, повторяется двангды в каждом члене суммы. Поэтому можно опускать знак суммы и считать, что наличие двух одинаковых индексов подраэумеваетсуммировапие (лраеило сулю«ирогокил). Следуя правилу суммирования, мокко записать законы преобразования компонент векторов и тензоров [т. о.

уравнения (2.7) и (2.9)] в видо 57 Наежяясение и бесконечно малая деЯормация 1, 2, 3: з,е, = езз, — — емэ — — 1; равные — 1, ес»и зта перестановка нечетяая: ееее=.. егез === езы = — 1 и равные, О, если какие-либо два индекса совпадают: епр — — аяея = О. С помощью этого тенэора мы можем выразить векторное произведение через едини еные векторы аХ Ь==з;-я-пе а„"Ь». (2 35) Малый поворот элемента можно представить как вектор 1 ю = ыапь= паеыяие, "—. х з (2.

36) Равность касательных компонент напряжений мояшо выразить через гра- диенты момептпеях напрюкеняй (2.16~ дыл = еегяпееео Эта компактная запксь н~~кпа при доказательстве общих теорем, а также дяя формулировки решений задач с помощью ЭВМ. При решении конкретных задач (балки, плиты, брусья, плоское напряженное состояние, плоская деформация) такая запись пе столь необходима, поскольку граничные условия и условия нагружения, как правило, просты, в результате чего ряд компонент напряжения и деформации обращается в нуль. з.в. идмкгднид днюогылции Часто возникает необходимость определять напряжение экспериментально. Это бывает нуогсно, паврииер, для того, чтобы выяснить, какие нагрузки дойсгвуют на деталь во время эксплуатации, чтобы проверить справедливость допущений, сделанных при теоретических расчетах, или для того, чтобы определить напряжения в деталях ело".кпой формы, когда теоретический расчет пепряя:енвй затруднителен.

Непосредственное измерение напряжений, за исклвачепием контактных напряжоний на поверхности, невозможно, поэтому ивмеряют деформашпо, а по ней рассчитывают напряжение. Сущоствуют различные методы измерения деформации: 1. Непосредственное механическое измерение. Этот метод прост, но предел его чувствительности не высок: 10 а — 10 Я!2]. 2.

Измерение с помощью датчиков сопротивления. Метод дает хоровеие результаты вплоть до деформаций 10 " (а цри использовании полупроводниковых датчиков даже до 10'е), но позволяет измерять деформацию лишь при тоы условии, что датчики постоянно прикроплепы к образцу (14). 3. Иэмерепие на моделях иэ фотоупругих материалов. Для этого метода необходимо изготовлять спецнальгеые модели (аналиа данных прост только при плоском напряженном состоянии (8)). 4. Измерения с помшцью фотоупругих покрытий. Метод требует использования громоздких регистрирующих устройств и яе пригоден для исследования деформаций деталей малых размеров !16).

5. Измерения с помощью хрупких лаковых покрытий. Метод позволяет определить направление максимального растягивающего напряжения, ио он сравнительно малочувствитилеи, пригоден лишь для определения расгягпвающей деформации; к тояеу же покрытия трудно наносить (еИ. 6. Рентгенографическое неморские. Метод позволяет определять упругую часть деформации, во требует использования очень дорогого и сложного оборудования, и его чувствительность по напряжениям составляет всего лишь несколько десятых долей килограмма на 1»иие. Для справок по всем вопросам намерения деформаций мы отсылаем читателя к превосходной книге Хзтени 110). 2ЛО.

ВЫРАЖЕНИЕ РАБОТЫ ЧЕРЕЗ ДЕФОРМАЦИ$0 И НАПРЯЖЕНИЕ Работу, приходящуаься на единицу объема деформированного твердого тела, можно выразить через напряжение и приращение деформации (в тангенциальпом или тензорном определении). Если пользоваться тангеициадьным определением деформации, то уравнение работы выводится из рассмотрения изменения трех различных сечений алемента объема (одно из этих сечений показано иа фиг. 2Л5) (з а д а ч а 2Л9) ьИ' =- оп Кз и + о аь бзтх + ° + паз ь(уы Р Используя тензорное определение деформации, моя~но получить более компактное выралгокие для работы на единицу объема, хотя в численных обозначениях это выражение может оказаться несколько более длинным. Й~т е 2 'К 2 Прн выводе рассматривается диффереащнал работы, совершаемой над находяцгиысн е равновесии телом путем смещения его поверхностей.

Возьмем прямоугольный элемент, у которого па поверхности, перпендикулярной оси ко действутот компоненты силы опд4ь Если пркрацгение смещения равно г(ит, то приращение работы составит ь(ьт'=- ~ У„~' оыг(4; бит. х 2=>ь=л (2.38) Интеграл по поверхности, согласно теореме Гаусса — Остроградского, можно заменить объемным интегралам (см„например, книгу Франклина (7, стр. 308)): ~ ~ Уг 3А, = ~ ~ -,"*'- (У, х у г=1 (2.39) ~'с= 2~ апти;. Пычысляя частные производные и используя уравнения равновесия 3 дом Х вЂ”,.

=О ь и. мь-1 .*рь. ь чр и г. 2.15. Представление иемееееае фермы сечееее еаемекта объеме, аеоеаьеуемее ври определении рабаты на едьшвку объеме. Папряиеение и дееяонимно я~пил дефориеэии и определение деформации волучаем вырюкепие для дифференциала работы, совершаемой над телом (з а д а ч а 2.

20): з з (2.40) Тогда дифференциал работы, отнесенной к единице объема, равен Нег —, = ~„~хе~ вые(вы. (2.41) е=т я=1 ХЛ1. ЗАКЛЮе1ЕНИЕ Можно рассматривать напряжение и деформацию таких элементов, размеры которых достаточно малы, чтобы напряжение менялось в его различных точках незначительно, н в то же время достаточно велики по сравнению с элементами струьтуры материала, чтобы колебания напряжений из-за локальных изменений структуры усредннлнсь. Компонента напряжения имеет два индекса". первый иа вих обозначает площадку, по которой действует напряя<енве, второй — компоненту силы, действующей на этой площадке: Гт А.

е (2.1) Компонента напряжения называется нормальной (если сила п*рпендикуляриа плоп1адке) или касательной (если сила параллельна площадке). Из условий равщевесия прк отсутствии моментных наяряяеевий вытекает, что ом =- от. П!есть компонент напрюкения ссяааны тремя уравнениями, кюкдое из которых соответствует разновесвю снл, действувяцвх з одном из трех направлений: (2.11) ,йеефирлеае1вя элемента объема представляет набор смещений соссднвх точек, отнесенных к расстоянию между нимп и преобразованных так, чтобы исключить относительные смещения, вызванные поворотом элемента.

Малые деформации и соответствии с этим условием можно определить, выразив их через смещония м„по к ии: дие вн= — ° дяе дие ваз = дя дие диз дия дие и == — '+ —. ~ее д деее, дие 1'з еи ' дя (2. 25) дио вы== дия и и. ре. Компоненты е и у соответственно называют нирлеальниииее и сддпгддылеи кдлеяокдяелалеи дддддрлеации. Эти определения деформации не годятся для больших деформаций, за исключением случая пластического деформирозаявя, вогда нх можно использовать для описания приращений деформации. Кажными компонентамн напряжения п деформации, как мы узнаем поздпео, являются среднее ндрледльнде налрлждеепе о = (пм + оти + сои)еЗ и дилатщ(поклал илн полная нормальная деформация в = вм + вге + в„.