деформации (Макклинток Ф., Аргон А., 1970 - Деформация и разрушение материалов), страница 15

Структура некоторых материалов симметрична относительно трех взаимноперпендикулятттттвх плоскостей. Втм материалы называются ортотттропными; к пим относятся, язпример, холодяокатаяые стальпыо листы. Птлзод упругих констапт па основании закопа для сил межатомного взаимо.тействття выходит зо пределы настоящей книги; здесь рассттттт1теттьт лишт, два рептепня, которые асобеннтт полезны для волпкристаллов.

Показано, что, во-первых, существует приближопяое соотношение, связывантщее м<тдуль всестороннего сжатня я эяергито связи в рттаетке, и, во-вторых, коэффициент Пуассона долж( н равняться 1/4, если межатомныа силы центральны. Блаыщаря линейности уравнений, связывающих упругие деформации н напряжения, справедлив принцип суперпозиция, согласно которому напряженна и дт формацию в теле.

подвержеяяолт совместному действию нескольких сил, можно найпт, суммируя напряжения н деформации, отто-тветствутошие каждой нз этих снл в отдельности (ттрн условии, что деформации малы). Крапе того. линейность уравнений позволяет при отысттании нх рептення быть уеереняьвш в том, что если решение правпдьна, то оно будет единственпьмт тттринцип едяттствьанпости). Приводятся значения ьптдуля Юнга, коэффициента Пуассона и коэффициента теплового расширения для известных янотроппых материалов. Отмечается, что в некоторых диэлектрических кряатвллах под действием внептних электрических полей возпнкахтт малые даформации.

Лпалттгттчнтт магнитные поля вызыватот малые (нта азмеримые) деформации в ферромагнитных материалах. ьч тмь. Основные ураенения доя налью уягуеии детдорыаэие 3.2. ВИД УРАВНЕНИЙ, СВЯЗйаВАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ Мы уже видели в гл. 2, что для установления распределения напряжений и деформаций в нагруженпом теле недостаточно уравнений равновесия и уравнений, связывающих деформации и смещения: необходимо анать соотнотпения меитду напряжением и деформацией.

Эти соотноптення будут ги Ти Ф в г, ЗЛ. Зависимость энергии и напряжения ат Лофориаяитт. рассмотреяы количественно, но в начале нам нужно определить общий вид уравнений, их описыватощих. В гл. 1 уже обсуждалась кривая энергия— деформация дчя нормальных деформаций; она еще раз приведена на фиг. 3.1. Можно предположить, что зависимость напряжения от сдвиговой компоненты деформации будет синусондальиой. Кроме того„ используя приблинтение итестких сфер, удернтиваемътх вместе действием внешнего давлении, находим, что энергия долятна изменяться в связи с изменением объема, вызываемого изменением расстояния между сферами.

Кривая, полученная в результате грубой интерполяции между крайними значениями энергии, соответствующими каждому из приближений, представлена на фиг. 3.1 (з а д а ч а 3. 1). а-за нора ит э к и и ч О О о О о О п~ сотто ~ оо о ь ы ы Г-аавв Я Кривые, соответствующие двум из этих производных, определяющих нормальную и сдвиговую компоненты напряжения, показаны на фиг. 3.1. В первом нркближонии можно считать, что вблнаи нулевой деформации кривые напряжение — деформация линейны. 21ем жестче атомы, тем меньше значение деформации, для которого справедливо линейное приближение.

Поскольку предполагается, что соотпооюякя между иапряженияльк и деформацнямн линейны, можно в самол1 общем виде выразить н1ест1 компонент напряжения через шесть компонент деформации с аолеощью коэффициелгеон пропорциональности С: ан -Снап+Сигм+С!зезз ( (:11222+С,лрз! РС12У!2, азз=б21ен+(желе Р... ! (зарез.т ...... —,Сззг! . азз='Сзаз11-) (жезл+ ° ° ° - .

° ° . - .. 1 Сзвум. (3.3) а22 — '. ( иен — ( а е" а-.................. р (.22!а12 аз, — Смен+ Сззезз —............. - .. ° -' См!У! ° а12 - СЕ!ЕН 4- (Ззсзз 1-................. ° ! (.221!!2 или, более компактно, через зенаорные компоненты деформация и константы Сил!: )2 2' (.112!ел!. (3Л) 2=1 ! — 1 Константы С в уравнециях (3.3) н (3.4) называготся комионеитаззи илн коэффиз(иеитл.ви упругой жесткости '). Компоненты С!21„, сннзлавающие напрянеспие н тензорнунл дефорллацлпо, преобразуютсн нрн изменении системы координат по правилам преобразо вания тепзоров четвертого ранга з з з з а ! С; л — ~ ~~ ~2 Са; ° (1,(еу( ° (,, !'= 1Р 12' 11' (3.3) где, например, (;, — направляющие косинусы угла мея(ду (-й старой и 1'-й новой осями координат.

Справедливость этого соотношения можно доказать, если н соответствии с уравнениями (3.2) и (3.3) коэффициенты Сг(л, представить как частпыо производные энергия деформации дзи С а(М вЂ” 1 (3.6) !Ма(дат н применить н ним правила преобразования частных производных и компонент деформации (з ад а ч а 3.2). Это же соотношение можно вывести е, помощью правил преобразования напряжения и деформации, если выра- 11 Ил таки!е иззивзкат узругнмв поетоинкымн влн молулзмв упругости. а. И!а.ра. С помощью кривых энергия — деформация мон(но найти колшонекты напряжения, поскольку работа по созданию упругой (обратимой) дефорлщции, совершаемая внешним напряжением, равна приросту внутренней энергии е(((г = ан ((з11+ озз с(еж+...

т азз е(722 + ° .. Ии ди тл ди .= — 2(е11+ — — е(ззз+... + = Нузз+... (3.1) дз!1 Вела " дузе Это равенство должно соблюдаться прп любых значениях приращений деформации; следовательно, оно показывает, что компоненты напряжения суть производные энергии деформации но ее соответствующим компонентам ди ди — ан, — =азл и т. д. де 11 ' доз (3.2) Оекаоггге ураагегта даи иааих упругих де4арааггий вить их в новой системе координат через соответствующие компоненты в старой системе, написать соотношение между напряжением и деформацией в старой системе координат и переставить члены в формуле (з а д а ч а 3.3).

Общее правило преобразования коэффициентов упругой жесткости, выраженных через сдвиговые компоненты деформации в тангенциальном определении (уравнение (3.3)!, оказываетоя слишком длиннылг, и км трудно польаозаться. Пользуясь тензорвым обозначением, можно показать, что всего имеется 3а коэффициентов жесткости. Благодаря существованию равенств о„=- -- п.г и зг.

=-. еы число козффиционтов уменьшается до 36. Не все они независимы, поскольку ввиду обратимости упругой деформации работа упругого дга)гормирггванигя является однозначной функ|гней деформации и не зависит от пути. Следовательно, функция, связывающая деформацию и чноргию, существует, к для нее справедливо соотношение дзгг дзи дсю гггаг даш дегг откуда следует, что Сгз ==. Сзг нли Седы = — Сйпг. (3.7) и число независимых компонент упругой жесткости уменыяается до 21 (з а д а ч а ЗЛ).

К этому же выводу можно прийти, рассматривая пнкл упругого деформиронания, осуществляемый последовательным приловгением и снжгием двух компонент деформации (полная работа аа цикл должна быть равна нулю) (задача 3.5). Если деформирование ведется в упруго-пластической области, деформации аддитявны; поетому удобнее пользоваться уравнениями, зыражагогцинн компоненты деформации через козшоненты напряжения. В етом случае легче учитывать аффекты теплового расшироння.

Общее линейное соотношение между деформацией и напряжением можно записать, пользуясь копз стаптвми Я: егг. Яггогг-1- Ягзозз —,' ... 1 Яггозз4-... 1-гзггегТ, ззз 32гогг ~ззозз+" +32$озз+ ' ' ' ~ сгзг)г~ сзз = озгогг + ° ° ° - ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° - .

- ° + сгзЛТ Ум '— -' Яггогг 1 ..... ° ° ° - ° 1 огаозз 1' - ° ° + сггЛТ, Ум= оггогг+ - - ° ° ° ° ° ° °..... +сгвЛТ, угз 'евгогг . ° ° ° - ° ° ° - ° ° . ° ° ° ° ° ° ° ° ° . ° -1- овггг, или з з г сгг = ~ ~„' Яггао„,+ пггдгТ. ».—.-г г- г (З.гд) Комггоиснглм илп кодффицпенгнмуггрузой податливости Ягг или Ягуаг г) преобразуются аналогично коэффициентам упругой жесткости, и для них справедливы ти же тождества. Кооффициенты теплового расширения сг преобраауются как компоненты деформации.

Козффипиенты податливости в тангеяциальном в тензорном определениях связаны друг с другом (з а д а ч а 3.6): 3гггг = — 3гг, Яггзз =3м, $ Ягпз ' Х Ягг Язззг еевв и т д. (3ЛО) ') Нх также ггязывзкег упругими модулямв, хотя модулем упругоств называется Е, в мы увядзм, кто аггее = уН.

егг а а.ри Главе 3 Для определения других соотношений между упругими константами .почезно использовать термодипамическое рассмотрение. Например, различие между изотермическими и иэоэптропийньтми податливостями выражается через коэффициент теплового расширения и теплоемкость при постоянном напряжении С в соответствии с уравнением (3.11) Это можно показать, приведя одно из тсрмодинамических уравнений Макс- велла к случаю одноосного напряженного состояния (3.12) и используя уравнение для деформации в функции напряжения и энтропии (з а д а ч а 3.7). (Мэвон Щ вывел ати соотношения для трехмерного случая.) Другой пример — уравнение, показывазощее влияние напряжения на коэффициент расширения: "'гз З озг (3 13) аг (Оно вытекает из существования соотношения между деформацией, напряжением и температурой, независимого от пути,) Уравнение (313) моярзт иметь существенное значение, если в результате достаточно больших колебаний температуры тела воаникают большие различия в податливостях отдельных его точек.

Б.З ВЛИЯНИЕ СИММКХРИИ НА СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УПРУГИ ДКПзОРМАЦИЕИ И НАПРЯЖЕННЕМ Наиризиеяие ДеФормация 3 2 3 4 5 з еп = 8ззсзз+ егг = Емоп+ взз == оззсзз+ згз = 8ззозз+ "ззз = оззозз+ Ъг = оззозз + 8згогг + Уззсзз Б„а„+ Ъззсзз Угзсзг + язвам + Узаогз + 8зеоа 8заозг (о. 44) Если компоненты напряжения и деформации определены в системе координатных осей, отличающихся от осей симметрии, то с помощью преобразований, соответствующих уравнению (3.5), соотношения (З.Щ будут иметь вид (3.8), из которого следует, что касательные напряжения создают нормальную компоненту деформации и наоборот. Следующей более высокой степенью симметрии, часто встречающейся в материалах, является гексагональпая симметрия. Если выбрать коорди- им рв.

При выборе систем координат существуют лишь три степешг свободы, поэтому нельзя значительно уменьшить число коэффициентов упругой жесткости или податливости за счет выбора соответствующей системы координат, если структура материала не обладает достаточно высокой степенью симметрии. На фиг.