деформации (Макклинток Ф., Аргон А., 1970 - Деформация и разрушение материалов), страница 14

Приращение работы, совервтенной над элементом и отнесенной к единица объема, зюжно выразить череа приращения деформации (ду —.— -оп г)зп+оь Нзж+... +о~ !1уж+... (2.371 11реобразование компонент деформации при излзенении координатных осей показано графически с позющью круга Мора (фиг. 2Л4). Другой способ преобразования — с помощью направлязощих косинусов: 1гт — косинус угла мюкду !-й осью в новой системе координат я )'-й осью в старой системе. Компоненты вектора в позой системе в! можно выразить через компоненты в старой системе а; и через направляющие косинусы з в! =У 1взат. (2.7) ,=! "' Аналоги'пзо преобразуются компоненты напряжения.

только в кап!дом члене появляется пе один. а даа напрззляющяз косинуса з з ов! = ч ~ св!1езЪ. (2.д) К !! ! Закон нреобразования компонент деформации иденгичея закону преобразования компонент напряжения при условии, что принято тензорное определение деформации ! дв! (2.23) з 1 в „ е*! ! Го!гда з зв,! = ~~...'~ зи!1! в1! !. ~! в Если имеют дело с тавгонциальными сдвиговыми компояентамя деформации уп, то перед выполненном прсобразовапия ик надо разделить на 2. Оги системы координат, з которой отсутствуют сдвиговые деформации или касательные напряжения, называются глазными осами. При тензорном определении деформации приращение работы на единицу объема выражается следующим обрааом: — оы г!е!!. (2.41) х=! !=! Уравнения этой главы можно выразить в более компактной форме, если воспользоваться правилом суммирования, изло!кеняым в равд.

2.8. Приведем эти уравнения: равновесия эзв . (тп, -',— Р ° == р —— йзз ° преобразования и'!' = о!!'(г!1!"!' йе~юрл!ации через емеп)ения сы= з (и!,!+и!ч!) 1 ег!ви!'„в з дИ' —. = огт Ые!!. р Г! в В-!а. рь ш Пая<рнееееяие и бе<венечна ленин Зеярериавии Уравнения равновесия в цилиндрических и сфорических координатах— (2Л4) и (2.15)", уравнения, определяющие деформа<<и<о в с<яятветствующих координатах, — (2,8) и (2.9). ЗАД А ее Е 2Л. Покавать, что ое« = тят (уравнение (2„3)!.

2.2. Вывести уравнения преобразования номпонент нацряження (уравнение (2.4)!. 2.3. Вывести уравнение преобрааования третьей компоненты напряжения (уравнение (2.5)!. <Р и г. ХЛ6. 2.4. Бь<вести уравнения преобразования ьомпояеят вектора (уравнение (2.6)!. 3 Ъ~~ 2.5, Доказать, что ~-!<"Ряз == 1. (У к а за н в е: рассмотрите скаляр- =1 ное пр<янзведение пя<раллельпых <двиичных векторов.) а 2.6.

Дяякаиаял, что ~~ (<,(ьт = О, если <' ч<.- <е'. (У к а а а е и е: раь- я=< смотрите скалярное произведение дв<х лзаимно перпендикулярных единичных викторов.) 2.7, Вывгстн общее уравнение преобразовапия компонент напряжения в плогко<ти (уравнение (2.8)!. 2.6. Вывести оощее уравнение преобразования компонент няпряжения (урвав< яке (2.9) !. 2.9. ывестн уравнение для привепеняого касательного напряжения при растяженвн (уравнение (2.16)!. 2.10.

Вы<эсти уравнения статического равновесия (уравнение (2Л1)!. 2.11. Вывестя уравнения момента количества дв<яякення< (уравнение (2.13) !. 2.12. Вывестя закон преобразования момснтпых напра<коню<. 2.13, Показатяо чго условие 2;. —. у„; ке является обязательным. 2.14. Вывести уравнение, связывающе<я момсктные н касательные напряженки (уравнение (2.16)!.

2.15. В<ив< сти уравнение. выражаюп<ое объеиянуто деформацию через нормальные компоконты ди)юрмации (уравнение (2.26)!. 2Л6. Доказаяь, что уравнения (2.25) несправедливы для болыппх поворотов, (У к а з а н и е: рассмотрите поворот на 166' злемепта. изображенного на фиг. 2Л6.) 2.17. !(якие ограничения накладываются на смещения к распределение нэпряя<еяий и деформаций в ны<ит, изображенной на фиг. 2.12, если вы —.

= — и,х' и сее =- — литер а < 2Л8. Вывести уравнение преобразования компонент деформации !уравнение (2.33) !. и! ° . рь. 1Й 2.10. Вывести уравнение работы на единицу объема [уравнение (2.37)[ 2.20 Вывестя уравнение работы, соверпгаемой над телом [уравнение (2,40)[, выполнив последовательно все выгладив. 2„21. Показать, что распределение деформации, полученное в задаче 2.17, удовлетворяет уравнениям совместности. 2.22. а) Написать приближенные ныражения для компонент смещения элемента, показанного на фиг. 2 11. б) Показать, что деформация этого элемента приблизительно равна ем ург [ / 0,2 0,11 рм ем) [0,1 0 2.23. Показать, что поворот элемента, представленного па фиг.

2.11, равен О шгг 0 — 0~15 2.24, Нарисовать алемент до и после деформации см еггегз = 0,1 О О и поворота шм 0 гож =- — 0,05 0 О Нарисовать такой же элемент после деформации зг еж — — 01 О 0 и поворота Е О ша шм 0 — 0,05 О гом О гоге — — 0 05 0 0 шжшгО 0 0 О 2.25. Нарисовать алемснт до и после деформации уи ггг — 0,1 — 0,3 Дать носиолько рисунков, каждый из которых соответствует различпыи. поворотам, происходящим в связи с дефорлжциой. Л И Т Е Р А Т У Р А г) Читатель может обратиться и книгам Кргндсллв п Даля [4. гл. 4.[, Эгйриха [6, гл.

2[ и Тимошенко и Гуднера [19, гл. 8 и 9[, где оп найдет аналогичные опрсдслопвя п деформация н толкования уравпспн11 равновесия. С подобных жс позиций у Егоре [11[ дено описание бесконечно малых дефсрмецнй, но тольно Егер горевдо детальнее обсужчает преобразование компонент деформация и лает некоторые определения для больших деформаций. Гран и Церна [9[, Лррв [13[, Ыугхелншвили [1б[ н Гскольников [17[ вялагают представлении о конечных деформациях, а танже дают определение деформации в обобщепц Звеядочкой отмечены работы, добавленные редакторам перевода.— Прель рнт.

яв. рв,н В«прел«ение и берна»*емка юр»ев де»еюреаннв ной тспзарной форме, одинакова удовлетворительное как а ортогональной, твк и в криволинейной системах каорцянвг«). Уровевь изложения последних четмрех кинг доступен студеятам выпускных куосов. 1. В г ! д 9 ш ы и Р. %., БыгВез ш Барбе Р)азБс Г!о»т впй угас!»»и», Мебтак-ПВ), )4с»» УогЬ, 1952! русский перевод: Б р и д я» и е н П., Исследования больших пластических деформаций и разрыва, ИЛ. 1955. 2. С о о !» ?!.

Н., В а Ь г и о»»» с х Е., РЬуз»са1 Меампешеп! апй Апа!ув!з, А»Ы»вап%ев1ву, Вгзй»епб, Ызш., 1965. 3. С аз вега ! Е., С аз зета С Г., ТЬеапе йез согрз йе1огшаЫев, Неппапп, РагЬ, 1909. 4. С ге п»1 а 11 8. П., В а Ь ! Б. С. (ейз.), Ап 1псгадпс(ып !а 11»е Месбапкн о! Яо!Ыз, Мсбга»г-!!В), Хси УагЬ, 1959.

б. В а г о ! !» А. !., Р Ь» 1» аз Е. А., Т з а о С. Н., 1п1гойпс!!оп !а !Ье ТЬеатеПса? апд Ехрепп»еп!в1 Апа?узМ а! Бсгезз апй Б!га!п, Мсбгак-Н 81. Веп Уо»)». 1958, 6. Г ! г» с Ь Г. В. (е»1.), ВЬео1обу; ТЬеогу апй Арр!!са!)апг, 'Чо1. 1, Асад. Ргеж, Кем Уотй, 1956. Ч. Г г а а !»1»п Р., Ме!Ьадз сб Ад«васей Са1ся)аз, Мсбга»'-1П11, Хе»т уагЬ, 1944.

8. Г г о с 1» ! М. М., РЬа!ое!аз!!с!!у, 4т»»)з. 1, 2, %)1еу, Ве» "«'огЬ, 1948; русский перввад: »р р а х т М. М., 0»отсу»»ругает»н Гастехнзяат, 1948. 9. б г е е и А. Е., Я е г п а %., ТЬаогеПса! Е1аз!»сПу, С1агепйш Рпив, Ох1огй, Еаб)аай, 1954. ' 10. Н е ! е п у ! М. (ед.), НапйЬооЬ о1 Ехрегппепса1 8!геев Апа1увйб %Веу, Ке»р Тог1», 1950. 11, 1 а е б е т !. С.. Е1звБсПу, угас!ага апд Г!аи, Ме!1»пеп, Бопйап, 1956.

12. Е г б и е г Е., Р)»уе»еа бгагие бийз», 1. 3 (1961). 13. 1 о т е А. Е. Н., Ма«Ье»па!!са! ТЬеогу о! Е!аз!»еНу, Вотег, р(еи Таей, 1944; нмаетси русский перевод более раннего издания: 5!зтоматнчвская морин упругости, ЮНТИ, 1935. 14. М и г г а у %. М „8 ! е ! и Р. К., 8«га)п баре Тссбп(т)аж„Бос!е2у (аг Ехрепшеп«а! В!геев Ааа1узМ, 21 Бпдбе Бцавпц %ез!рог«, Сопи., 1961. 15. М ус х е л в ш в и л и Н. И., Некоторые оса»»нные аадзчи мате«»атитескай теории упругости, ивп-во «Пауквр, 196»ь 16. Р о «! В., Х а и д ш а и Г., Берет»тнепг«! Меть«я»те, 1, ! (!961).

17. Я о 1» о ! п» Ь о ! 1 1, 5., Ма!Ьппа!1са! ТЬеагу а! Е!зв!!с!!у, 2пй ед., Мсбга»-НП1, Бвк У»»тЬ, !956. 18. Т Ь а и» а з б. В„Са1сп?оз впй Апа1у»ла бооше!гу, Айд)еоп-)тез1еу, Вавд!пб, Мавз., 1960. 19. Т ! ш о в !» е п Ь о Б.„б о о й» а г !. Р)., ТЬеогу о1 Е!азИсВу, Мсбтаю-Н!П, Ве«т Уагй, 1951. 20«.

С н е д д а н И. Н., В е р р и Д. С., Клаасическая теория упругости, дтизматтнз, М., 1961. 2!«. Б л о х В. И., Теория упругости, издва 'Харьк. гас. упин., 1964. 22". Л а и д в у Л. Д„, Л н ф ш з ц Е. М., Теории упругости, изд-во «Наука», 1965. г) См. также (20« — 22«).— Брил.

ред, «ь». рв. Глава 3 ОСПОВПЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ зл. ввгдкпие Если соотношения между напряжепиелт н деформацией учитывают также влияние теъшературы и времени, то обычно нх называют ооновмы.ки уравявлиятхи. Для малых упругих деформаций описывается получение этих уравнений путем линеарнзации закона„опретте.тятотцего силы ментатомного взаимодействия. В наиболеа общелт случае линейной связи каждан кв шести компонент деформации зависит от шести компонент напрянтенпя. Эти соотнаптепия упрощают, учитывая обратимость упругой дет)ториаттття тт приводя напряженке и деформацию к нрнсталлографическим асям симметрии.

Оказывается, чта в кристалле с кубическон симметрией имеются лшаь три независимые постоянные упругости, а в случае нестранной упругой среды их всего две, например модуль упругости и коэффициент Пуэасана. Будет показано, как нормальные котшоненты напряжения могут создавать тдвкговые компоненты деформации данте в кристалле с кубической сттмметрией, если образец вырезан пе вдоль оси симметрии. Значения коэффициентов упругой ятесткости ткелева, соответствующие равличным ориентировкам кристалла, могут различаться в 2 раза; это говорят о ва;тнчин упругой анизотропии. Даже палякристаллы могут быть существенно анизатроппы, если в них имеется текстура, вызванная обработкой давлением.