деформации (Макклинток Ф., Аргон А., 1970 - Деформация и разрушение материалов), страница 12

25) В (2.22) нли (2.25) коипоненты с двумя одинаковыми индексами, папрп- МЕР Ем, НРЕДСтаВЛЯЮт ОтНОСИтЕЛЬНЫЕ СМЕЩЕПИЯ ДВУХ тОЧОК В НаПРаэ11ЕНЯИ первоначально соединявшего их отреака; их называгот норлкьзьклли кочпопентамп деформации. Компоненты с разныии ицпексами, например у,, представляют средние поперечные смещения па едишщу первоначального расстояния и называются сдзпгодллми компонентами деформапни. Заметим, что по определению у12 = у,! и ем — — е;;, и потому существует лишь шесть компонент деформации.

По причинам, которые станут яспл! при чп ннн разя. 2.7 я 2.8, компоненты деформации, заданные в выражениях (2.22) нли (2,23), называются компонентами тензора деформа!(ип. Вели в определение к1>мпонент деформации пе входит множитель !/2, как в формулах (2 211) я (2.25), их называют танеев!(иа!ы1мли колшонептами деформация сдвип1, погколькУ Уы представлкет тангенс Угла поворота дыУх отрезков, первоначально параллелшыах осям х! и хд соответственно. Объемная деформация, или дялатация, аадается суммой яормальных компонент при условии, что деформацкк значительно меньше единицы! (а а д а ч а 2.15) Ыквг Я е =- у = — ем+ сгг+згз (2 20) Форл!ула для объемной дефорлгацпи справедлива лишь пря малых деформациях; уравнении, определя!ощке деформации сдвига через смещения, были получены с помощью формул повоРота, которые справедливы лишь при малых углах.

Поэтому пот ничего удивительного в том, что и выражения для опрепелеяян деформации имеют физический смысл ля1пь пря малых относительных смещопяях. Можно привести следующий пример. Рассмотрим поворот гкесткого теча пы угол 0 вокруг осн хг. Смещепкя точек тела поясно выразить через угол поворота О и исходные координаты к„хг и хг. Можно показать, что при 0 ~(1 деформация в соответствии с (2.22) н (2.25) равна нулю. Однако прп болыпнх углах поворота, яаприлшр при О =- 180', компоненты доформации, согласна эткм же ураэнепиям, ук<е не обращаются в пуль (з а л а ч а 2.16).

В гл. О мы увидим, что при большых пластических деформациях физический процесс доформирования лучи!е всего описывать с помощью ряда прнра!цепий деформации, кая!дое из которых мало нлн почти не зависит от исходного состояния, т. е. соотношения (2.22) и (2.25) справедливы, когда относительные сме!цепия приведены к теку!цему расстоянию между точками тела. Нааоялеенае и дееаоиеяно ааягир дегдорераргия 53 Шесть компонент деформации, определяемые соотношенинми (2.22) нли (2.25), не "могут принимать произвольных значений, поскольку опи выведены лишь ив трех компонент смещения. Таким образом, необходимо найти условие распределения деформацяк в твердом теле, которое моягст быть получено иа трех компонент смещения, 1(ак будет покааано ниже, зто условие не накладывает ограничении на поля деформации, если в объеме материала они Ф и г.

зла. Пример волнпей- нопр полн деформацвв. меняются линейно, но ограничннаот выбор возиорклых значений деформации в более сложных случаях. Одним из таких случаев является деформация пластины в собственной плоскости (фиг. 2.12). Предполагается, что смещения, перпендикулярные пластине, равны нулю. Зададим для примера нормальные коьшопепты деформации в следующе21 виде: ЕЫ вЂ”.. — Иьт~, 222 = — ляям В атом случае доформациго сдвига нельзя задать произвольно, посколььу овазрекеотся, что смшцевия в плоскости пластинь1 суть и1 = — лгха21 .1 ( (22), ия —" оякрк2+ н (х1)' н сдвигояая компононта доляена иметь следующий вмд (з а д а ч а 2,17): д) 1922) дб 129 7п . 2(л1+ле) горля+ д„+ дя Моягно не определять весь набор смещений, а вместо стого показать, что существует принципиальная возможность найти однозначные смещения путем интегрирования уравнений, если распределение деформации удовлетворяет определенным условиям — уелови.чм еовмеепглости. Обычно их вырал1нют в андо двух систем мз трех дифференциальных уравпешш (см.

книги Тимошенко и Гудиера (19, стр. 229! и Сокольникова (17, стр. 25)) следующих типов: д 122 д ем д21рю деяр 1 ек1 о" ъя дез ' (2.27) р . И!а. рь. Рвани Е Деформацьпо тела с цвливдрическои симметрией (так же как н напряжение) часто бывает удобно выразить в цилиндрической системе координат. Если радиальные, тангенциальные и осевые смещения обозначать соответственно и„ие и и„, компоненты деформации будут следующими (см. книгу Крэнделла и Даля (4, стр. 1бб)): диг диг у* =--.;,+ —,„ диа 1 диг иэ мга = — + дг г иО г диг ег г (2.23) Ф дие и„ 1 диг дие еее — — — + †. уе! -'= — — + ! дО г ' ! г дО ди В случае сферической симметрии удобнее пользоваться сферической системой координат, обозначив смещения в направлениях г, О и !у соответственно !эрез и„иэ н ин.

Если существуют только радиальные смощения, а не =- и„ =- О, будут существовать ляжь следующие компоненты деформации: ди„ и г'.т, е,ре == еае =— дг г уга ' угн -=1!,!и ==О. Й.т. ИРИОБРАООВА11ии 'кОмпОнент деФОРМАции Компоненты деформации выражаются через частные производные смещений, поэтому правила преобразования компонент деформации при повороте осей координат представляагт собой сочетание правил преобрааования — 6~л дзи Х!' ! .У!г !Э в г.

ЗЛЗ. Часинию проазволныи старых координат вп новым. смещений н правил преобразования частных производных. Смещения преобраауются согласно закону преобразования векторов (уравнение (2.7)) и; ° —.—. ~~ й;ит. (2.30) !'= ! Согласно правилам дифференцирования. производную по новой координате вырая<агот через пронаводные по старым координатам и через проиаводяые каждой нз старых координат по данной новой координате (фиг. 2.13) (2.31) Производные старой координаты по новой можно выразить через направляющие косинусы —,, ' =- 1; ! н т.

д. (2.32) и и.ри На основании двух последних уравнений и тензорного определения деформация (уравнение (2.22)) моя!ао получить значения компонент дефор- Яееререение и бееееневне левее бейерлацее мации в новой системе координат. Вначале, чтобы пе ошибиться, лучше выписывать все номпаиеиты; правило преабрааовавия в компактной записи следующее (з а д а ч а 2.18): з з с>,: = Х;>: з»т(! ь)!.!. (2.33) в.=! >=! 2.8. 1>ОНЯТИЕ 0 ТЕНЗОРП Нетрудно ааметить, чта уравяепия преобразования компонент деформации (2.33) идептичкы уравнениям преобразования компопевт иапряжепия (2.9).

Такие преобразования применяются и в других областях физики, оии получили общее иаэвапие л>ензорные преобразования. Вели пша, которая >р я г, 234. Иастрссезе круга Мара для прсобразапанян ксиполелт теззара. преобразуется па уравнепию (2.9) или (2.33), кааывается теязорам второго ранга, поскольку в преабразс>ванин участвуют два направля>ащих косинуса. В соответствии с этим определением вектор является текзором первого ранга.

При иаучеияи упругих констант кристаллов мы встретиьюя с тензорами более высоких рапгап. Напряжепве и деформация — сил>л>етпричнив п>енеары, потому что равны их компоненты, находящиеся па противополоя>- иых сторонах диагонали, правеленвой слева аапраза, например аы = а,;. Набор значений, представля>ощий вращения, антписи>елегпричсте„ поскольку ып =- — ыт!. Маментные папРЯжепиЯ, котоРые обсУЯ>Дались л Равд. 2,3>, также явля>отея тензоряыми величинами, хотя их пельая вазвать ии симметричными, ня антисиммстричяыми.

Вероятно, читателю известка, что тевэоры второго ранга, такие, как напряжение и тепзорвая деформация в двух иамерепиях, можва преобрааовать с помощью графического построения, называемого кругом Мора (фиг. 2.Ы). Абсциссы представляют нормальпые компопеиты вапряжеияя, ордипаты — касателькь>е компавепты; при этом соблюдается следующее правило аваков: при положительном сдвиге точка, соответствующая компаиенте в ваправлепии х! в обычной системе координат, откладываетгя вниа от аси абсцисс, а тачка, соответствующая кампопеяте в яаправлевии з„— вверх. Комповепты папрявюяий по площадкам, повернутым иа угол 9 к исхадиым площадкам, определяются координатами концов диаметра круга Мора, паверкутого па угол 20, как показана ка фиг.

2Л4. Еслк принято >в >. рв. Гга«« " (2.2) (2.9) ао = Хгзат, агу = аы)«ь(го Можяо сделать более кратким символ частной производной по переменной координате; для этого шщекс втой координаты записывают после индексов тензора, отделяя его запятой. Например, частная производная ко«шояенты напряжения записывается как ааг« д㫠— ь аг«,г, а уравнение моментов количества движения д«и.

(2.13) Оказывается, что некоторые выражения становятся равными единице илн пулю, если значения их индексов соответственно одинаковы или различны. Для описания этого своиства вводят единичный тензор бы, разный единице при равенстве значений индексов и равный нулзо при неравных индексах.