деформации (Макклинток Ф., Аргон А., 1970 - Деформация и разрушение материалов), страница 11

Это выражение может соответствовать любому из трех уравнений в зави- симости от того, выбрано !' Равныь! 1, 2 или 3. Ф и г. 2.6. Координаты, нризедеинме к кристзллогрзфическим осям. Ф и г. 2.5. Тетраздр дня ныиодз урззнзний трехмерного преобразования компонзат изнряжеиия. Иногда уравнение (2.7) приводят как определение нектара, т. е. говорят, что вектор есть величина, компоненты которой преобразуются согласно уравнению (2.7). В аадачах 2.5 н 2.6 выводятся два полезных соотношения, связывающих направляющие косинусы.

Теперь вернемся к преобразованию компонент напряжения прн понороте вокруг оси зз и выразим обобщеннуто компоненту в виде а!., где ! и 7 могут принимать любое из трех значений, соответствующих индексам координатных осей. Уравнения для компонепт напряжения з новой системе координат (уравнения (2.4) и (2.5)] теперь бич выглядеть как ( з а д а ч а 2,7) 3 2 асг =,~ Х АД ььг!. (2.6) ь=! !.=! ньзз Члены зтнх уравнений можно записать обобщенно в виде )!"аг, где индексы Р и у ьюгут принимать значения от 1 до 3. Теперь соотношения (2.6) можно.

представить в более компактной форме ае= ~ (!..а . г з=! 47 Наиркрееиие и бесконечно еираая аеррорееавие Это уравнение можно легко распростравить иа случаи преобраэоваиий, соответствуэвцих измеиекию всех трех коордгиаткых осей (см. тетраэдр на фиг. 2.5) (задача 2.8): з э пгг = ч~~ ~ оса вг; О (2.9) г=гг=г При испытапии мовокристаллов в виде длинных проволочек к образцу прикладывается только нормальная компоиевта вапряжекия ое, как показало ва фиг. 2.6.

Однако пластическая деформация этих кристаллов определяется касательной компонентой напряжения, приведенной к определеяному кристаллографическому направлению яа определеииой кристаллографической плоскости. Согласно уравиеиию преобразования (2.9), касательиое капряжекие пе.г иа плоскости 3' в направлении 2' можно выразить через приложенное иапряжеиие аво и углы ~р и Х (фиг. 2.6) (а а д ач а 2.9) (2АО) оэ г =оюсоэ~рсозХ.

2А. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ Условия равновесия яакладывэют ограничение иа распределение вапряи<еиий в твердом теле, находящемся в переменном поле яапряжеиий. На фиг. 2 7 представлены элемент объема и действующие яа него капряжеиия; в целях упрощения здесь показакы лишь те иапряжения, которые ~'~г~ стг си- —— ате о йоср св сэ з р ср и г. е.7.

диемевт объема, рассматриваемый при выводе уревиеиий равновесия. явлшотся результатом действия сил, приложенных в иаправлеяии х,. Если нормальная компоиеита напряжения о„иэмовяется при переходе от одной грани к другой, то в яаправлевии лг должна действовать сила. Оиа может окаваться уравковешеяпой благодаря иамевеншо касательных компоиеат напряженая в пролгежутие между парой противоположвых граней Аг или аналогичной парой А г. Умиоисив комповекты напряжения ва площади соответствующих граней (чтобы получить силы) и приравияв сумму сил Гвпвп д нулю, получим следующие уравнения равновесия (з а д а ч а 2ЛО): — — — + — =-О, дам, дат~ дед~ М д*з дзз да~а дазз дам — - — '+-; — — '+ — '=О, з '7зз (2.11) — + —.+ — =О.

дазз даю дазз дзг дзз Три уравнения (2Л1) можно написать в более компактной форме, если три индекса направлений, для которых поочередно рассматривается равновесие сил, заменить одним индексом у: 3 (2 12) Три уравнония равновесия ((2Л1) или (2Л2)! связывагот шесть компонент напряжения друг с друггом. Поэтому нельзя установить распределение напряязеяий па основании одних лишь условий раваовесил; необходимо также рассмотреть соотношения между напряжением к деформацией и геометрические условия, определяющие возможные деформации. Элемент может и не находиться в равновесии, и силы могут действовать не только по его поверхности, но и в объеме: магнитные и электростатические силы, силы гравитации.

Нели силы не находятся з равновесии, то элемент получит ускорение дзи ~ддз. В уравнения равновесия теперь можно включить объемную силу, обозначив ее у-ю компоненту н» единицу объема через Рп В окончательном виде уравнения равновесии принимают форму уравнения молзента количества движения, поскольку они характеризуют скорость изменения момента количества движения данного элемента (з а д а ч а 2.11) да;. дзиз (2.12) ~за з=-! где р — масса. Если тело обладает цилиндрической симметрией, уравнения равновесия удобнее записывать в цилиндрических координатах (см., например, книгу Крзнделла и Даля (4, стр. 161!) дагг 1 даш, даг„а „.ааа — + — —.+ .

+ — — =О, дг г дэ дг г (2.11 ) да„1 дага да„ав, ° + . (- — -+='=-О. дг ° де дз — +-(уп„— пзз — а )=О. дагг дг за (2.15) да, д1~3 =-О, азз= — а — =О дазз дб В случае сферической симметрии удобно использовать сферические координаты. Коли в таков системе координат касательные компоненты напряжения отсутствуют (т. е. а„„=.= о,з = аза — — О), нетрудно показать, что уравнения ,статического равновесия примут вид Пиириеееиие и оеееонечие ееееии ииререеивии 2.5, НОМЕРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ До сих пор мы считали, что на сечение действуют только распределенные силы.

Оказывается (3), что могут существовать еще и распределенные моменты (фиг. 2.8). Докавательство нх существования будет дано в главе, посвященной уравнениям упругости (равд. 3.5). Обозначим интенсивность РаспРеделенных моментов на единице площади поведхности чеРез Ее (пеР- вый индекс соответствует площадке, по которой действует распределенная пара, второй индекс обозначает направление вектора момента). Распределенные по поверхности пары (моментные напряжения) преобразуются (хэ Ф в г. 2пь Словствп структура, упрочпгппая волвкввмк, в которой существует грвлпвпт распределенных пар.

Ф и г. 2.8. Мопгптпыв пвпрвжвнвн, действуевщив в сечевик. так нге, ьак и компоненты напряжения ( з а д а ч а 2.12), но при этом не обязательно выполнение условия ЕО = Ен ( з а д а ч а 2.13). При рассмотрении равновесия элемента, на который и действупет моментные напряжения, чавенство аы = а;; может не соблюдаться (з а д а ч а 2.14): %\ лхы а."-иге= ~„--— г~ зе, 3=1 (2.16) вл .

рь. при 1Ф)=Ф:й. Уравнение (2Л6) понавывает, что моментные напряп'ения представляют особый интерес в тех случаях, когда анв оквзывав1т влияние на распределение напряжений„т. е. когда градиент моментных напряжений велик. Крекер (12( отмечает, что вредставление о моментпых напрпвегнвях оказывается полезным при изучении объемов, солернеащих ряды дислокаций.

Моментпые напряжения играют больщую роль в слоистых структурах, упрочвепкых волокнами (фиг. 2.9). Под действием растягивающего усилия, прилонеенного в направлении хв, две нарупеные пластины стремятся повернуться в направлении †, средняя пластина — в направлении +ге. Если атому повороту противодействуют участки, в которых волокна в различных слоях пересекают друг друга, то в каждой точке пересечения будут существовать момсятные папрпжения, Можно считать, что на элемент объема, содержащий много волокон, действуют моментные напряжении.

Пары Глава 3 иа вротиволелгаи»их гранях злемента имеют одизллоемй знак. Следовательно, паРа 1(ех меннет знак пРн пеРеходе от одной гРави центуального слоЯ к ДРУ- гой, т. е. существует исключительно высокий градиент напряжений. В этом случае, согласно уравнению (2Л6), касательные напряжения п,з и пе» различны. Механизм разруп»еввя слоистых материалов научен недостаточно, но известно, что расчленение их начинается в местах пересечения волокон, так что представление о моментных нап1»яженяях помогает чучше понять условия раарушения.

2.6. ОПРЕДЕЛБПИЕ ДЕФОРМАЦИИ Наличие напряжений в толе вызывает его деформацию. Деформацию можно описать с помощью смещений, при атом нужно иметь в виду относительные смещения близлежащих точек тела, поскольку смещаться как целое хз Ф в г. 2ЛО. Сх»ел»авве близлежащих точек прв одиваноаом авачеввв ордвнаты.

может и недеформнруемое тело. Рассмотрим две точки тела (фвг. 2Л0). Обозначим смещения в направлепкв х, и хе соответственно и, и их. Взаимное смещение двух точек будет тем больше, чем больше пачальвое расстояние между ними. Поотому при описании деформации мы должны рассматривать взаимное перемещение двух точек, отнесенное к единице начального расстоянии между ними. Относительное смещение имеет несколько компонент, например (фиг. 2 10) ) ди» и» + — »»з» 1 — и» ) »»з» дл» (2Л7) (: ) дне ин+ —. »»х» — их дх» ) З»»х Мы видим, что относительные сме»цеввя выражюотся через частные производные сме»ценнй в данном теле.

Смещения являются функциями начальных координат точек тела и»=и»(х», хм хе). (2ЛВ) Приведенное определение имеет смысл лишь для достаточно больших злементов, смешения которых можно усреднить, и потому заввсимость смещений от координат является непрерывной и двфферевцируемой функцией. Например, если элемент кристалла имеет размер порядка расстояния между полосамв скольжения, то средняя производная смещения в нем будет заметно ааввсеть от того, находится ли в этом элементе полоса сколья»ения. Необходимо выбрать правильные размеры элемента, как зто мы делалн при изучения напряя<ения: зломент должен быть достаточно большим, чтобы моз»»но бь»ло определить средний градиент смещения, и в то л»е время достаточно малым, чтобы в нем не было скачков градиента смощения.

Всего имеет- а» .*ра Иалрл»яе»»»н»» и де»ьея»»но лльля деди»ы»ичия ся девять производных смещения. Их можно сгруппировать в следующем виде: ди» длз д»»з для диз дл» д»»» дл» д дня дл» дял дл» дн» дт дез де ди» д"з (2»б») Для описания деформации, вызванной напряжением, этих производных недостаточно, поскольку вааимное перемещение тачак моя»ст осуществляться н в отсутствие напряжения путем локальных поворотов. В ряде случаев, на- »р в г. ЗЛ». Отлослтелькые смеще- иня нрн нсверсте тала.

пример при изучении развития анизотрапии или раару»пения в результате деформации, необходимо учитывать и повороты, по здесь будет рассматриваться лишь деформация, вызванная действием капря»кек»п». Поэтому повороты из рассмотрения хотелось бы искл»очить. Рассьютрим элемент, представленный на фиг. 2.1 "», и предположим, чта начало координат перемещается одновременно с перемещением соответствующей точки тела. Угол поворота линии, первоначально параллельной оси х„приблизительно равен е» = дит/бх» при условии, чта величина етого угла иваго меньп»е единьщы.

Угол поворота линии, параллельной хз, составит ю = — (ан»»бхз). Средний угол поворота элемента в плоскости (», 2) можно определить по формуле (2.20) Полный набор компонент поворота можно представить в виде 0 0»е,з е»»в »' днз дл »ез» 0 з»ь» — — — —, » — -. — — г» Вычтя повороты, представленные в (2.21), из набора градиентов относи- тельного смешения (2Л9), получим деформнц»по, характеризующую локаль- ные изменения фермы тела '): »»из еи е»г зм ез» ею ззз зз, езз езз д, (2.22) ») Здесь, кая н везде в дальнейн»ем, мы обозначаем тремя течкемн снецнвльво опушенные члены, звдзчз чктетеля — саьюму вписать нх. 4Ф я'», рь 52 Отдельные члены этой таблицы называются компонентами деформации.

В обобщенном виде их можно выразить следующим образом: !'д ди ° З (2. 23) Коли существует лишь несколько компонент деформации, множитель Чг в (2.22) часто опускают. Чтобы отличить такую компоненту деформации, вводят особый символ дк2 дыг ум == — + — = 2ем. дгг дкг Вычтя соответствующие повороты из набора градиентов смещения, мы можем следующим обрааом вырааить компоненты деформации через смлцег!ия: дк, зп=— дгг дкг егг"-:= агг диг ечи 1тгг дкг Тгг = — + 1ъг дыг ТЗ1 =.' + дг„ дк1 у12 - —;;„.-„-Ч дыг дгг де! дгг дзбг дг! (2.