механика (Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н., 2001 - Механика материалов), страница 7

Пусть требуется определить для некоторого произвольного сечения (рис.4.10) моменты инерции относительно повернутых осей и и ~, если известны моменты инерции относительно исходных произвольных осей ~, и у,. Рис.4.10 Предположим, что У, >У,, а У„>0 и, откладывая осевые моменты инерции по оси абсцисс, а центробежные - по оси ординат, выполним следующие графические построения (рис.4.11): 1. Отложим в масштабе отрезки ОХ)=,У, и ВА=.У,,; ОЕ=,У'„и ЕВ = —.У, .

В результате получим соответственно точки А и В. 2. На АВ, как на диаметре, построим окружность, которая является окружностью инерции Мора. Докажем зто. Так как 'АО1в = ~'ВО1Е„ТО .У, —,У о,а=о,ж= * ',Ао,=во,=,Ъ,а' -АФ= У,— 1,,У,+У, 00, =ОЕ+ЕО, =.У + " "— " " — а. 2 2 Рис.4.11 Следовательно, центр построенной таким способом окружности, сдвинут вправо на а, а радиус ее равен радиусу окружности инерции Мора, т.е. она является окружностью инерции Мора.

3. Проведем из точки А горизонтальную или из точки В вертикальную прямую до пересечения с окружностью в точке С, которая называется полюсом окружности инерции Мора. Полюс обладает следующим свойством. Если из полюса провести отрезок параллельно некоторой оси и , то он пересечет окружность в точке К, координаты которой равны моментам инерции: У„= ОЛ, а / = КХ.. 3'„= 01 = ОО, + Я, У„. = 02 = ОО, = Я. У, +.У, Учитывая то что ОО, = " " а Я = 1 формулы для определения главных моментов инерции получим Главные оси инерции определяются направлениями отрезков С1 и С2, т.е.

углами а, и а, или углом а, . Из чертежа следует: — А٠— 2,Х, О,Х) .1, — У, ' СЕ СЕ Х... У... Е1 й2,Մ†.У .~" .„— У, СЕ «1,, У,„, Е2 У вЂ” У„У вЂ” У Таким образом, имеем: формулы для определения положения главных осей инериии: где о,, и а, - углы, образованные соответственно осью и(пих) и ~(тшп) с горизонтальной осью ~,. Осевой момент инерции У„определяется абсциссой точки пересечения луча СМ Л СХ с окружностью, т.е. У„= ОЖ, а У = — МЖ. Окружностью инерции Мора удобно пользоваться так же для определения главных моментов инерции и положения главных осей.

Главные моменты инерции на окружности изображаются точками 1 и 2, у которых ординаты равны нулю. Имеем: 4.9 Порядок определения положения главных осей и значения главных моментов инерции составных сечений Проиллюстрируем его на конкретном составном сечении, состоящем из трех элементов: прямоугольника, швеллера и уголка (рис.4.12) Рекомендуется следующий порядок выполнения вычислений: 1. Провести параллельные между собой собственные центральные оси для кахщого элемента сечения ~,О,.У, 2. Определить геометрические характеристики каждого элемента сечения относительно собственных центральных осей, т.е.

Г У Э и У у 3. Провести произвольные оси ~,О,у„параллельные осям ~,.О,.У,, и определить координаты центра тяжести каждого элемента сечения в этих осях, т.е. О,. (я,'.; у,.'). Уо Рис.4.12 4. Определить положение центра тяжести составного сечения по формулам >", Р,.я,'. ~ ,"~ Р,.у,.' Уо г=1 ~р ~р 1=1 ю=1 5. Провести центральные оси лбу, параллельные осям ~,.0,.у,. и определить координаты центра тяжести каждого элемента, т.е.

0,.(а;Ь) по формулам 6. Вычислить моменты инерции составного сечения относительно центральных осей ~0у по формулам .У, =~ ~,У, +Г,.Ь,.'), 1=1 У, =~ (.У, +Г,.а,.'), 1=1 .У = ~(У„+Г,.а,.Ь,. ). ь'=1 7. Вычислить значения главных моментов ине ции по формулам у . = — [(у, <-./,)г у, — у,~ <-4у' . пып 8. Определить положения главных осей инерции по формулам — 2.У У У ~д2а, =, ~~а, = „~~а, =— .У, — У .У,.„— У, 9. Проверить правильность вычислений, т.е.

убедиться, что: а).У +.У. =У,+.У,, б) .У =О, в) а, =а, или а, =а„или Ц+ ~х, = 90' 10. Построить окружность инерции Мора. Определить графически У, У ., а„а, и сравнить с результатами аналитического расчета. 11. Вычислить радиусы инерции и моменты сопротивления сечения по формулам: г„= ~ ", ~„= ~ ' -радиусы инерции, и У ~ ч У„.У, В'„= ", И'„= ' - моменты сопротивления, 1 [И [ где ~ и [и [ - соответственно расстояние от оси и и ~ до крайней точки сечения.

ГЛАВА 5 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 5.1 Деформации при растяжении и сжатии Растяжение или сжатие - простая деформация, вызванная действием продольных сил й. Следовательно, все стержни, в сечениях которых из шести усилий только Ж, -О, испытывают деформацию растяжения или сжатия. Такую деформацию испытывают многие детали машин и элементы конструкций, Например, звенья цепей, канаты, тросы, различные тяги и затяжки, стержни ферм, колонны и т.д. Рассмотрим прямой призматический стержень, нагруженный осевыми силами (Рис.5.1а). Рис.5.1 В этом стержне М = М,, = Д = О, а Ф ~ О, поэтому он испытывает деформацию растяжения или сжатия.

Построим эпюру продольных сил (рис.5.16). Из эшоры й видно, что на участках Х и ХХ стержень испытывает растяжение, а на участке ХХХ - сжатие. 1у у Ф Выделим из стержня на участке, где действует постоянная продольная сила, некоторую часть, длиной ~ и шириной Ь (рис.5.1в) и посмотрим„ что происходит с ней при действии продольной силы М.

Опыты показывают (например, опыт с растяжением резинового стержня), что длина стержня увеличивается, а ширина- уменьшается. Пусть 1, и Ъ1- длина и ширина стержня после деформации. Изменение длины стержня называется абсолютной продольной деформацией, т.е. - абсолютная продольная деформация.

Отношение абсолютной продольной деформации к начальной длине называется относительной продольной деформацией, т.е. - относительная продольная деформация безразмерная). По аналогии с продольными деформациями: - называется абсолютной поперечной деформацией, а - называется относительной поперечной деформацией, - коэффициент Пуассона. Коэффициент Пуассона - безразмерная величина, характеризующая способность материала деформироваться в поперечном направлении при растяжении или сжатии его в продольном направлении. Для реальных материалов он изменяется в очень узких пределах и = 0+ 0.5. Для пробки и близок При растяжении, когда Ж > О, М > 0 и е >О, а ЛЬ < О и е'< О, а при сжатии (Ф<0) - наоборот И<0 е <О, а ЛЬ>О и а'>О.

Опыты показывают, что отношение е не зависит от Ж и определяется только свойствами материала. Абсолютная величина этого отношения называется коэффициентом Пуассона (или поперечной деформации) и обозначается буквой и Рис.5.2 Рис.5.3 Ф поэтому р„= сова =о сова. а Составляющие полного напряжения р„~рис.5.5) будут равны: а„=р„сова =асов а„ 2 о = р апа =а сова япа = — Бш 2а. а а г Таким образом, имеем формулы для определения напряжений на произвольных площадках при растяжении или сжатии Определим а, при которых напряжения а„и ~„достигают экстремальных значений.

Имеем сЬ„ Иа " = — 2о совала =-о яш2а = — 2т =0 - условие экстремума а . а а Следовательно, нормальные напряжения достигают экстремальных значений на площадках, где т„= О. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными, а нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Положение главных площадок определяется уравнением, т„= — яш2а =От.е.иш2а =О Откуданаходим а, =0 и а, =90 . 2 Рис.5.4 Рис.5.5 Очевидно о„=а„~ =а, а,,„=а„~ . =О - главные напряжения.

Следовательно, при растяжении и сжатии нормальные напряжения достигают наибольших (по абсолютной величине) значений в поперечных сечениях стержня. Запишем условие экстремума т ~й„ " =а соя2а =О аа Отсюда находим а =+45'. Очевидно, что (~ а =т„~ „,. = —, т,„=~.~ ~,. = — — - экстремальные касательные напряжения. Следовательно, при растяжении или сжатии касательные напряжения достигают наибольшего (по абсолютной а величине) значения, равного - —, на площадках, составляющих с осью стержня углы + 45' (рис.

31). Из рисунка видно, что на взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и противоположны по знаку. Это свойство называется законом парности касательньи напряжений. В силу закона парности касательных напряжении они всегда направлены либо к ребру, либо от ребра (рис.5.5а,б). 5.3. Испытание материалов на растяжение Прочность элементов конструкций и деталей машин в значительной мере определяется механическими свойствами материала, из которого они изготовлены. Эти свойства определяются путем испытаний материалов в специальных лабораториях, оборудованных разрывными машинами и приборами для измерения малых деформаций. Испытания выполняются при статических или динамических нагрузках и различных деформациях: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. При статических нагрузках наиболее достоверные механические характеристики материала можно получить в результате испытания его на растяжение.

Испытания на растяжение выполняются на стандартных круглых или плоских образцах, вырезанных из испытуемого материала. Рекомендуется использовать для испытаний 10-ти кратные образцы, у которых отношение/, /И. =10. Размеры нормального 10-ти кратного круглого образца приведены ниже на рис.5.б Рис. 5.6 Для плоского 10-ти кратного образца длина рабочей части определяется по формуле /, =11„3 ~Р,, а отношение Ь/Ь рекомендуется принимать равным 3.

Он изображен на рис.5.7 С целью экономии материала допускается применение 5-ти кратных и пропорциональных образцов, т.е. таких, размеры которых в 2, 3, 4 и т.д. раза меньше размеров нормального 10-ти или 5-ти кратного образца. Применение нестандартных образцов для испытаний не рекомендуется потому, что некоторые механические характеристики зависят от формы образца. Подготовленный образец вставляется в захваты испытательной машины и растягивается статически до разрушения (рис.5.8). В результате испытаний машина вычерчивает график Р = ЯМ) который называется диаграммой растяжения. Характер диаграммы растяжения зависит от свойств испытуемого материала.