механика (Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н., 2001 - Механика материалов), страница 4

АЯ 1пп лк-+0 А~' называется полным напряжением. С физической точки зрения полное напряжение есть интенсивность внутренних сил в точке, а с математической р - вектор, модуль которого р является мерой внутренних сил в точке. Он измеряется в единицах силы, отнесенной к площади (Н/м', Па, мПа, к%м', т/м' и т.д.). Разложим вектор р на координатные составляющие. Выберем прямоугольную систему координат х, ~, у (рис.2.2). 23 Начало ее совместим с центром тяжести поперечного сечения; ось х направим вдоль оси стержня, а ~ и у совместим с осями симметрии сечения и назовем их главными центральными осями (гл. ц. о.) Рис.2.1 Составляющая полного напряжения р, направленная вдоль нормали к сечению, обозначается греческой буквой а (сигма) и называется нормальным напряжением. Оно считается положительным, если направлено в сторону внешней нормали.

Составляющая полного напряжения р расположенная в плоскости сечения, обозначается греческой буквой т (тау) и называется полным касательным напряжением. Напряжение т можно разложить на координатные составляющие т и т Напряжение т„(т ) считается положительным, если при взгляде с положительного направления координатной оси у(к) оно вращает стержень относительно противоположного конца по часовой стрелке. На рисунке т < О, а т > О.

Рис 2.2 Так как р - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами о и т„то р= о' +т > г но по той же причине т =т' +т поэтому р = о'+т' +т,', . 2.2 Внутренние усилия Спроектируем все внутренние силы, действующие в поперечном сечении стержня, на координатные оси и найдем моменты их относительно этих осей. ~ Х обозначается буквой Ф = ) сЫР - называется продольной ~осевой) ~ 1" обозначастся буквой Д, = ) т ИГ - называются поперечными ~~> У обозначается буквой Д, = ) т ЫГ (перерезывающими) силами ~~~ М, обозначаетсябуквой М„, = ~(т у — т г)ИР -называетсякрутящим моментом ~М, обозначается буквой М, = ) сиаЖ - называются ,'~ М, обозначастся буквой М, = ) суй' изгибающими моментами. Проекции внутренних сил, действующих в поперечном сечении стержня, на координатные оси и моменты их относительно этих осей, т.е.

Ж, Д,, Д„М„,, М, и М, - называются внутренними усилиями. Продольная сила Ф - сумма проекций всех внутренних сил, действующих в поперечном сечении стержня, на его ось; поперечные силы Д, и Д, -то же, но на гл. ц. о. у и соответственно. Знаки М, Д, и Д„совпадают со знаками о, т и т соответственно. Крутящий момент М, - сумма моментов всех внутренних сил, действующих в поперечном сечении стержня, относительно его оси. М„„>0, если при взгляде со стороны внешней нормали, он вращает по часовой стрелке. Изгибающие моменты М, и М, -то же относительно гл.ц.о.

у и г соответственно. М, >О и М, >О, если изгибают стержень так, что вогнутость его располагается со стороны положительной координатной оси г и у соответственно. Полученные выражения усилий через внутренние силы обычно называют интегральными зависимостями. Из них нельзя определить внутренние силы, т.е. напряжения а, ~ и т„, так как неизвестен закон распределения их по сечению и значение внутренних усилий. Что касается внутренних усилий, то их всегда можно определить через внешние силы.

В статически определимых конструкциях (системах) для этого достаточно воспользоваться условиями равновесия. Если для определения усилий в сечениях элементов условий равновесия недостаточно, то такие конструкции (системы) называются статически неопределимыми. 26 Следует отметить, что даже при известных внутренних усилиях определить напряжения из полученных интегральных зависимостей нельзя. Поэтому задача вычисления напряжений всегда является статически неопределимой. 2З Выражение внутренних усилий через внешние силы Рассмотрим равновесие одной из частей стержня, например, левой (обычно рассматривается та часть, на которую действует меньше внешних сил).

На нее действуют внешние силы Р„Р, и внутренние силы в поперечном сечении 1-1. Так как внутренние усилия М, Д,, Д„М... М, и М, являются равнодействующими внутренних сил, то их действие статически эквивалентно действию внутренних сил. Поэтому в сечении 1-1 можно приложить вместо внутренних сил положительные внутренние усилия (рис.

2.3). Под действием показанных на рисунке сил эта часть стержня находится в равновесии, т.е. для нее должны выполняться шесть условий равновесия ,'ГХ=О, ~ У=О, ,'ГЕ =О, ,'ГМ, =О, ,'ГМ, =О и ~„М, =О. Из шести неизвестных усилий только одно проектируется на какую-либо ось или дает момент относительно нее. Поэтому из условий равновесия легко получим: Формулы для определения внутренних усилий л Ф = ~;,Р,.

соя Р,, х; М, = ~" М<,, Р,. лев лев Д,, =',~ Р,.соя Р,,у; М =~~> М, Р,. О, = ~Р соя Р,; М, = ~„М,, Р, лев лев Из этих формул следует, что: Продольная сила Ж равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, на ось стержня. Ж > О, если проекция внешней силы направлена от сечения. Поперечные силы Д, и Д, - тоже, но на оси у и соответственно. Д, > О и Д, > О, если при взгляде с положительного направления осей ~ и у соответственно проекция внешней силы вращает стержень относительно сечения по часовой стрелке. 27 Крутящий момент М„, равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно оси стержня.

М,, >О, если при взгляде в торец внешняя сила или момент вращают по часовой стрелке. Изгибающие моменты М, и М, - тоже, но относительно осей у и ~ соответственно. М, >О и М, >О, если внешняя сила или момент так изгибают стержень, что вогнутость его располагается со стороны положительных осей я и у соответственно. Например„ в рассматриваемом случае, от действия силы Р,: Ж<0, Д, >О, Д,>0, М,<ОМ,<0 и М,>О.

Таким образом„в самом общем случае действия внешних сил на стержень в его сечениях возникают четыре вида усилий: продольная сила (М), поперечные силы (Д,, Д, ), крутящий момент (М,,) и изгибающие моменты (М„и М,). Каждый вид усилий вызывает характерную для него деформацию. Деформация, вызванная действием: 1. продольной силы (Ж) называется растяжением или сжатием; 2. поперечной силы ® или Д,) называется сдвигом; 28 3. крутящим моментом (М, ) называется кручением; 4.

изгибающим моментом (М, или М,) называется изгибом. Эти четыре вида деформаций называются простыми. Деформация, вызванная совместным действием двух и более усилий, называется сложной. В таких случаях говорят, что стержень испытывает сложное сопротивление. В расчетной практике наиболее часто встречаются следующие случаи сложного сопротивления: 1. Поперечный изгиб - деформация, вызванная совместным действием изгибающего момента и поперечной силы.

2. Пространственный или косой изгиб - деформация, вызванная совместным действием двух изгибающих моментов. 3. Изгиб с растяжением (сжатием) - деформация, вызванная совместным действием изгибающих моментов и продольной силы. 4. Изгиб с кручением - деформация, вызванная совместным действием изгибающих и крутящего моментов.

29 ГЛАВА 3 ЗНЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ 3.1 Основные правила построения эпюр Обычно наибольшие внутренние силы в стержне возникают в тех сечениях, где действуют наибольшие внутренние усилия. Эти сечения называются опасными. Для определения опасных сечений в механике материалов строят эпюры внутренних усилий.

Они представляют собой графики, показывающие, как изменяются внутренние усилия по длинам элементов. Отметим некоторые общие правила построения эпюр: 1. Эпюры строятся на осях элементов или на линиях, параллельных им, которые называются базовыми. 2. Ординаты откладываются в масштабе, перпендикулярно осям элементов или базовым линиям.

3. Эпюры штрихуются линиями, перпендикулярными базовым линиям. 4. На эпюрах проставляются значения характерных ординат и знаки. Порядок построения эпюр рассмотрим на конкретном примере. Пусть необходимо построить эпюры внутренних усилий для стержня (рис. 3.1а), нагруженного осевыми сосредоточенными силами Р„Р, и собственным весом (у = 20 ИУм'). Так как все внешние силы действуют по оси стержня, то очевидно, что Д, = Д, =М, = М, = М„, =О, а Ж ~ О.

Следовательно, в этом случае будет только эпюра продольных сил. Для построения ее необходимо составить функцию изменения продольной силы Ж по длине стержня. Но в данном случае описать изменение продольной силы по длине стержня одной функцией невозможно. Поэтому предварительно выделим части стержня, в пределах которых изменение можно задать одной функцией.

Эти части стержня называются участками. В рассматриваемом случае их два (1 и П). Выберем для каждого участка произвольное начало координат. Рекомендуется выбирать его с той стороны, где расположена рассматриваемая часть стержня. Проектируя на ось стержня все внешние силы, действующие на нижнюю часть его, находим продольную силу в произвольном сечении каждого участка.

30 бО а=2м Рис. 3.1 Участок1 О<х<2м М<„, — — Р, + Рух- линейная функция. Для построения графика прямой линии надо знать два значения. Л~, =Р, =20хН, Ж(, =Р, =20+1 20 2=бОИХ Участок 11 2<х<5м Л~„> — — Р, — Р, + Ру (2+ х) - линейная функция, Ж~, =20 — 80+1 20 2= — 20ИХ, Ж), =20 — 80+1 20 5=4ОАН Откладывая ординаты от базовой линии, получим график изменения продольной силы по длине стержня, т.е. эпюру Ф (рис. 3.16). Из эшоры видно, что опасным сечением стержня является сечение В, в котором действует наибольшая продольная сила Ф =бОхН. Заметим, что в сечениях А, В, и С на эпюре Ж получились скачки, равные сосредоточенным силам, приложенным к стержню в этих сечениях. На основании этого вывода можно утверждать, что реакция Я, = 40ИХ.

3.2 Особенности построения эшор внутренних усилий в балках Балками называются прямолинейные стержни, работающие в основном на изгиб. Рассмотрим простую балку, загруженную по всей длине равномерно распределенной нагрузкой, интенсивностью д (рис. 3.2). Начало координат поместим в крайней левой точке А балки. Ось х направим вдоль оси балки, увверх, а я-на нас.