механика (Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н., 2001 - Механика материалов), страница 6

Остальные эпюры располагаются в плоскостях, в которых действуют соответствующие им усилия. Эпюры изгибающих моментов строятся обычно на растянутых волокнах, поэтому знаки на них не ставятся. На всех других эпюрах внутренних усилий обязательно ставятся знаки и значения характерных ординат. 40 ГЛАВА 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 4.1 Введение Для оценки прочности элементов конструкций необходимо прежде всего знать величину внутренних сил. Отчего они зависят? Очевидно от внешних сил (нагрузок) и площади поперечных сечений элементов.

А еще от чего? Чтобы ответить на этот вопрос попытаемся объяснить результаты следующих экспериментов. Рассмотрим консольную балку прямоугольного сечения Р = Ь Ь (Ь >Ь), загруженную сосредоточенной силой Р в двух вариантах: параллельной стороне Ь (рис.4.1а) и Ь (рис.4.1б). Рис. 4.1 Прогибы во втором варианте больше. Следовательно и больше внутренние силы. Почему? Ведь Р = сопи|, и Р = сопряг.

в обоих вариантах загружения. По-видимому потому, что кроме нагрузки и площади на величину внутренних сил оказывают влияние и некоторые другие геометрические характеристики поперечных сечений элементов. Изучим их. 41 4.2 Статические моменты площади Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня в прямоугольной системе координат ~,О,у, (рис.4.2). Рис.4.2 Выделим элемент площади сЫ" с координатами ~, и у, и обозначим через Г = Р, + Г, - площадь сечения. Статическими моментами площади Р относительно осей ~, и у, называются определенные интегралы по площади соответственно следующего вида Я = ~У14Р ю,=~,г Они измеряются в единицах длины в кубе, т.е.

в см', м', мм'. Из свойств определенных интегралов следует, что Я, =~у,аЧ" = ~уф'+ ~у,аЧ" = Я,'+Я,", т.е. Следовательно, статические моменты площади сложного сечения равны сумме статических моментов его составляющих. Рассмотрим другую систему координат ~Оу, параллельную ~,О,у„и определим Я, =1усж и 5', =12~Р Выразим координаты у и ~, через координаты у, и ~, имеем У=У У ~Я Подставляя их в выражения для Я, и Я„получим: ~Ус ~ ~у ~у, ~~С В этих формулах у, и ~ пока произвольные.

Выберем их так, чтобы Я, =О и Я, =О. Ось, относительно которой статический момент площади равен нулю, называется центральной, а точка пересечения каких-либо двух центральных осей называется центром тяжести площади. Пусть оси ~ и у- центральные, тогда: Я,=Ю, -Гу,=о, ~у ~у, ~~С Если Я,, Я, и Р известны, то из этих уравнений получим: - формулы для определения координат центра тяжести площади. Если для составного сечения известны координаты центров тяжести ~, и у„его составляющих, то из этих же уравнений получим формулы для определения статических моментов площади.

Следовательно, статический момент площади сложного сечения относительно произвольной оси равен сумме произведений площадей его составляющих на расстояния от оси до центров тяжести. 4.3 Моменты инерции площади Моментами инерции площади называются определенные интегралы по площади следующего вида (рис.4.2): г ~~ - осевые моменты инерции, г ~~ ,У„= ) я,у,Ы' - центробежный момент инерции, г ~~ - полярный момент инерции.

Из свойств определенных интегралов следует, что .У =,'Г.У,. т.е. момент инерции сложного сечения равен сумме моментов инерции его составляющих. Отметим некоторые основные свойства моментов инерции: 1. Все моменты инерции измеряются в единицах длины в й ( 4 4 4 ) 2..У, >О, У >О, У, >О т.е. осевые и полярныймоментыинерции всегда положительные. 3.

Центробежный момент инерции .У, может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Координатные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю называются главными осями инерции. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции (гл. ц. о. и.).

4. Если хотя бы одна из двух координатных осей совпадает с осью симметрии сечения, то такие оси будут главными осями инерции (рис.4.3).Действительно, каждой площадке, расположенной справа от оси симметрии с произведением луЫ', имеется симметрично расположенная площадка слева от оси симметрии, для которой произведение гуЫГ имеет противоположный знак. Поэтому сумма таких произведений по всей площади сечения всегда будет равна нулю. 5. У = ~ р'ИГ, но р' = г'+ у' поэтому .У = ~(г'+у')ЫГ = ~г'ЫГ+~у'ЫГ = У +У, Рис.4.3 Полярный момент инерции всегда равен сумме осевых моментов инерции, т.е.

4.4 Вычисление моментов инерции простых сечений а) Прямоугольник. Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей ~ и у, совпадающих с осями симметрии (рис.4.4). Рис.4.4. Для вычисления У, выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллельного оси ~. При этом сЖ = Ь ф и ь~г ь1г з "''2 ЬЬз ~, =~у'ИГ=Ь ) у'ау=гь) у'а~=2ЬУ Р -6,~2 0 З 0 у~З Очевидно,что.У = —, У =О. У 12 ~ 6' Следовательно Рис.4,5 Из подобия треугольников имеем Ь(у) Ь Ь-у, Из этого соотношения накодим Ь~у,)=Ь 1 — — ' и ЫР=Ь 1 — — ' ~~У,. Подставим ~Ж в формулу для 1; и выполним интегрирование 5Д~ 12 1, = ~У,'Ы'=Ь~(Ь- — ')У,'ШУ, =Ь~ — '- — ') - формула для вычисления осевого момента треу- т.е.

гольника относительно основания. 4б формулы для вычисления моментов инерции прямоугольника. б) Треугольник. Определим,У, треугольника ~рис. 4.5). Для этого выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллельного оси ~„с площадью Ю = Ь~у, )4, в) Круг. Вычислим полярный момент инерции круга (рис.4.6). Выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца толщиной Ыр. При этом сЖ =2лрЫр и ~, = ~ р'~~ = ~п ~ р'~р = Ьт Р 4 Рис.4.6 Далее, учитывая, что У, = У, + У,, а У, = У, получим 1 7Ы У, =У = — У = —. Таким образом, окончательно имеем формулы 2 " 64 для вычисления мом 4.5 Определение моментов инерции при параллельном переносе координатных осей Рассмотрим произвольное плоское поперечное сечение (рис.4.7) Пусть ~Оу - произвольные центральные оси, а ~,О,у, - оси им параллельные.

Определим У,, У, и .Х„, если известны У„У, и,У моменты инерции относительно центральных осей. Для этого 47 выразим координаты я, и у, произвольной площадки ЫГ через координаты ~ и у. Имеем: г, =я+а, у, =у+Ь. Рис.4.7 Подставим у, в формулу для У, и проинтегрируем: У, — ~у,Ыà — ~(у+Ь) Иà — ~у йР+2ЯуйР+Ь ~йР— У,+2ЬЯ +Ь Г, но Я =От.к. ось ~ - центральная.

Поэтому У, =У, +ЕЪ'. Аналогично, находим У, =У, +Га' и 1„=,У +РаЬ. Таким образом, окончательно имеем формулы для определения моментов инерции при параллельном переносе координатныхосей: Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси равен осевому моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями. Центробежный момент инерции относительно произвольных координатных осей равен центробежному моменту инерции 48 относительно параллельных им центральных осей плюс произведение площади на координаты центра тяжести сечения в новыхосях. Из формул для У, и У, следует,что при а=О и Ь=О они имеют наименьшие значения. Следовательно, осевые моменты инерции относительно центральных осей имеют наименьшие значения. В заключение рассмотрим пример.

Определим осевой момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию (рис.4.8). Рис.4.8 ЬЬз Воспользуемся формулой .У, =У,+РЬ' но У, =, а Ь= — Ь, Й 12 3 ЬЬз 1 ~ЬР~ ЬЬз поэтому имеем: .У, =,У, — ГЬ' = — — ЬЬ~ — ! = т. е. осевой момент 12 2 ~,3! 36 инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, определяется по формуле ~~з .У, =— 36 4.б Юпределение моментов инерции при повороте координатных осей Рассмотрим произвольное плоское сечение (рис.4.9).

Рис.4.9 Пусть г,О,у, - произвольные координатные оси, а иОр повернутые оси на угол а . Угол поворота а будем считать положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки. Определим моменты инерции относительно повернутых осей, т.е.У„, У„и У если известны У,, 1, и У„- моменты инерции относительно исходных осей. Выразим координаты и и произвольной элементарной площадки сЖ через координаты г, и у,. Из чертежа видно, что: и = О,А+ АВ = г, соьа + у, япа ', м=ЕС вЂ” ВС=у, сова — г,япа. Тогда У„= ~ ~ Ю = ~ ~у, сова — г, япа) ИР = = сои'а~у1ЙГ+яп'а~г1ЙР— 2япа сояа~г,уфГ = =У, соз'а+.7, яп'а —.У„яп2а = 1+ соя 2а 1 — соя 2а + — У, яп2а = 2 2 У' + " У' соь2а — У, яп2а.

г ~~У~ Аналогично можно получить формулы для определения У, и У„,. Окончательно имеем формулы для определения моментов инерции при повороте координатных осей: Складывая первые две формулы, получим: .У +У =У +У =У и ю г1 У~ Таким образом, сумма осевых моментов инерции при повороте координатных осей не изменяется, т.е. является инвариантом. 4.7 Главные оси и главные моменты инерции Осевые моменты инерции У„и .У, являются функциями угла поворота осей а. Определим угол и =а,, при котором осевые моменты инерции У„и У, достигают экстремальных значений.

Запишем условия экстремума У„и У,: У, —.У "= — 2 " "яп2а — 2У, соя2а= — 2.У =О Иа 2 ~1У1 ' =2 " "яп2а+2У„соз2а =21„, =О Й~ Следовательно, осевые моменты инерции 1„и У, достигают экстремальных значений одновременно при У„„= О, т.е. относительно главных осей. Так как .У„+.У, =сопи, то один из них достигает максимума, а другой - минимума. Определим положение главных осей ӄ— У .У'„, = "' У' яп2и, +.У, соя2а, =О Из этого условия получим формула для определения положения главных осей инерции Эта формула определяет два значения острога угла а, отличающиеся друг от друга на 90', т.е.

положение двух главных осей инерции. Для определения главных моментов инерции необходимо в формулы для .У„и,У, подставить меныпее значение угла а,. 4.8 Окружность инерции Мора Все практические задачи на вычисление моментов инерции относительно повернутых осей удобно рещать графическим способом при помощи окружности инерции Мора. Исключим угол и из формул: .У, +У У, —.У .У = " У' + " У' соя2и —,У ап2сс 2 2 ~Л У, —.У У = " " яп 2а+,У„соя 2а 2 ~1У1 Возведем их в квадрат ӄ— " " = " "сов2а — У, яп2а ,У, — У и сложим с 'У, +'Уу, 2 У.

— " " +.У' = " " +У,', - окружность инерции Мора .У, +У, Обозначим через а = " ", Я = , У„=х, а У„„=у тогда полученное уравнение примет вид (х — а) + у' = Я' - это уравнение окружности, центр которой лежит на оси х и сдвинут вправо на величину а. Следовательно, моменты инерции относительно повернутых осей определяются координатами точек некоторой окружности, которая называется окружностью инерции Мора, Рассмотрим конкретный пример.