механика (Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н., 2001 - Механика материалов), страница 44

Решение ее не составляет труда, однако не определены коэффициенты с Ю и луп. Рассмотрим их: 1) Б -дельта функция введенная Дираком в 192б г. Ее определение: Оприг ~0 о(я)=, и ~Ю(я)сЬ=1 ооприи=О Когда пишется 6(~,~), то нужно понимать это так, что функция в скобках есть расстояние между точками (векторами) ~ и ~. Теперь понятно, что 6(1,0) =О. При рассмотрении другой дельта функции можно применить такой прием Б(1,1) = о(1,1 — ы) = 0 — 1 при х<0 2) Функция знака по определению яи1л ~ = 1 при х>0 следовательно, ламп(1 — 0) =1. С яут(1 — 1) поступим аналогично о(1, 1): идп(1 — 1) = лди(1 — (1 — е)) = луп( — ь') = — 1 390 Подставим все известные значения в систему и решим ее: Р~з 0 = — — — м(Е) — — д(У) — 0 — о 12Е1 г 2 1 1з ~г жД) = 0 + — м(7) — 0 + Д(0)+ М(0) 2 12Е1 4Е1 р~г 0 = — + 4Е1 0 — — д(7)+ 0 + 0 1 2 0 + — д(Р) — Д(0) — М(0) ~г 2 4Е1 2Е1 д(1) = 0 + р~г Из третьего уравнения получим д(1)= — .

Тогда из первого 2Е1 уравнения 2 12Е1 2 2Е1 бЕ1 ЗЕ1 Второе и четвертое уравнения создают систему: ~р ~г 1 р з 12Е1 4Е1 2 бЕ1 г' г 1 Ч' — Д(0) — М(0) = — д(7) = —— 4Е1 2Е1 2 4Е1 25.2.8 Основные уравнения МГИУ в матричной форме Исходными для этого будут уравнения (25.39) и (25.40): 391 Решив систему получим Д(0) = — Р, М(0)= Р1. Пример решен. Теперь для того, чтобы получить значения прогибов и углов поворота внутри области необходимо подставить полученные граничные значения в уравнения (25.39") и (25.40").

Чтобы получить значения изгибающих моментов и поперечных сил необходимо уравнение (25.40") преобразовать в соответствии с выражениями (25.45) и (25.46). Таким образом, при применении МГИУ к балкам стирается разница между статически определимыми и неопределимыми балками. сИ" *(я, Д) сЮ *(л,,") сф*(я, «) сУМ *(я, «) 1,; ' Ы~ ' 1; сИ' ~ (г, ~) Ы," Сделаем подстановку в этих уравнениях: иф,") =Щ1) И'*(1,,") — Д(0) И'~(0,,")+М(1) 0*(1,,") — М(О) 0~(0,,")— -м(1) Д*(1,,")+м(0) Д*(0,,") — О(1) М*(1,,")+д(0) М*(0,,")+ + ~Ч(~). 1~'(~ 4Иг о © „) 1И *(1,~) (0) 1 (О,~), (1) 1О*(1,~) (0) 1О*(О,~) И~ 1~ 1~ 1~ 42*Ы) ар*(0,0 Я аМ (1,0 (0.)ДМ *(0,~) И~ ' .1~ 1~ (И" *(~, „") .уч(.) ' Д ы Зайишем эти уравнения для границы, т.е.

при ~ = 0 и « =1 — Н'*(0,0) — В'~(0,1) ~(1) сИ'*(0,0) д(0) с1« ~(1) ЫИ'*(0,1) И; (25.бО) — 0*(0,0) 0*(1,0) — Он~'(О 1) Он~(11) ЫО*(0,0) сЮ*(1,0) И~ *(1,0) В' (1,1) сИ'*(1,0) Д(0) ,Ж) (0) М(1) Ы~ сЕК (1,1) Ы," Ы~ ЫО~(0,1) ЫО~(1,1) И~ Ы~ Д ~ (0,0) Д~(0,1) 47 *(0,0) Ы« сф*(0,1) Ы~ — Д ~(1,0) -0'(1 1) сф *(1,0) М *(0,0) — М ~(1,0) М ~(0,1) — М *(1,1) ЫМ *(0,0) ЫМ *(1,0) и (0) и (1) 0(0) 0(1) Ы« сф *(1,1) Ы~ Ы~ ИМ ~(0,1) ЫМ *(1,1) Ы~ Ы~ 392 В выражении (25.60) нужно понимать второй символ в скобках так: 0=0+к, 1=1 — е, так как все ранее написанные уравнения записаны для внутренних точек, и формально писать для граничных точек эти уравнения мы не имеем право. Но можно все же эти уравнения использовать и в граничных точках, сделав предельный переход при 8 -+ со.

С учетом этого замечания запишем фундаментальные , (25.53)-(25.59), входящие в (25.60): ~з И' ~ (0,0) = И'*(О,О+ е) = О, И'*(1,0) = 12Ь1 ь3 1 — (1 — ю)~ И" (ОД = Ю'~(7,1) = =О; 12Е1 12Е1 ~г — ф ~г 0 ~(л,,") = ' ' О "(0,0) = О, 0~(1,0) = 4Е1 4Е1 1г !1-(1- )!' 0~(О,Х) = 0~(1 Х)=' ' =0' 4Е1 4Е1 М~(0,0) =О, М~(У,О) = —, 1 М*(О,Х) = —, 1 м~(1,1) =О; Д*(0,0) = — жую(0-(О+к)) =- —, Д~(У,О) = —, 1 1 1 2 2 2 1 .

1 1 1 Д*(0,7) = — лап(Π— 7) = — —, Д*(7,7)= — идп(1 — (1 — я)) = —; 2 2 2 2 И'*(О,О) О И (1,0) 1' Ы~ Ы~ 4Е1 — — '1~ (1'1) = о (25.61) Ы~ 4Е1 сЮ(яь..") )Я вЂ” ф ОКО*(0,0) ЫО*(адьо) У ге1 ге1 ' ИО*(ОЛ 1 ~1О*(,,") 2Е1 ~ь Им *(О,О) 1 = — — лап(~ —,") = — оп(0 — (О+ е)) = —, 2 Ы," 2 г' ым (г,о) 1 1М (од 2 й," 2 сф ~ (0,0) сКД*(1,0) сф ~ (О, У) сф *(У, Х) Матричное уравнение (25.60) с учетом (25.61) будет иметь вид: 393 1г 4ЕХ 1 2 1 2 12ЕХ 1г 4ЕХ Упростим последнее уравнение, перенеся все неизвестные вправо. Это и есть уравнение для балок, решаемых МГИУ, в матричной форме: (25.62) Рассмотрим несколько примеров решения балок с использованием уравнения (25.б2).

м(О) и(1) О(О) = О(Е) О 12ЕХ ~г О 4ЕХ 1г О 4ЕХ О 2ЕХ ДСО) 0(~) М(О) М~У) 1 О 2 2 1 — — О 2 2 1 1 О 2 1 1 О 2 2 ~О) и(г') О~О) дИ) 25.2.9 Примеры решения балок МГИУ Все примеры решены в среде МАТНСАО 2001 в символьном виде. Ниже приведены листинги соответствующих программ. На взгляд авторов язык МАТНСАО на столько прост„ что листинги не требуют дополнительных пояснений. 395 Правила знаков 1. Реакции имеют знак, противоположный полученному при решении, т.е. Я= — Д, М= — М(~) Положительные направления опорныхреакций: Рис.25,11 2.

Прогибы положительны, если их направление совпадает с направлением внешней нагрузки. 3. Углы поворота положительны, если поворачивают нормаль против часовой стрелки. 397 Литература 1. Сопротивление материалов/Под ред. Акад. АН Украины Писаренко Г.С.-К.: Вища школа, 1986. — 775с. 2. Сопротивление материалов/Под ред. Смирнова А.Ф.-К.: Вища школа, 1975. — 480с. 3. Федосьев В.И.

Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1986 — 512с. 4. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. - М.: Наука„ 1965. Т.1. -364с. Т.2. — 480 с. 5. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. - М.: Мир, 1976. — 669 с. 6. Сборник задач по сопротивлению материалов/Под ред Беляева Н.М. — М.: Наука, 1966. — 348с. 7. Сборник задач по сопротивлению материалов/Под ред. Качурина В.К.

— М.: Наука, 1972. — 432с. 8. Лихарев К.К.„Сухова Н.А. Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов». — М.: Машиностроение, 1980. — 224с. 9. Афанасьев А.М., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. — М.: Наука, 1975. — 287с. 10.Цурпал И.А., Барабан Н.П., Швайко В.М. Сопротивле-ние материалов. Лабораторные работы. — К.: Вища школа, 1978. — 192с.

11.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. Для вузов. — М.: Высш. шк., 1995. — 560с. 398 22.2 Са1си1аг1оп оГ а соловей су1шс1ег 328 СЬаргег 23. ЯгепфЬ са1си1а6опв иш$ег йупаппс 1оайщ 333 23.1 Сопв1с1сгаг1оп оГшегг1а Гогсев апс1 вггсвв са1си1а11оп ипс1сг 333 334 340 341 342 343 344 347 347 24.2 Ргес иЬгайоп оГ ап с1авйс вувгсш чанги опс с1с8гсе оГ Ггсес1ош 348 24.3 Рогссд ч1Ьгаг1оп оК ап с1авйс вувгет ъчгп опс дедгсс оНгее- с1ош 352 24.4 Сопви1сгагюп оГ дашрш8 Гогссв 355 24.5 Са1си1аг1оп оГ а сапй1ечег Ьеат ипс1ег рег1ойс 1оайпд 357 24.6 РейпЖоп оК сг111са1 че1ос1гу оК вЬай го1а11оп 358 403 ип1Копп1у ассс1егагед шойоп 23.2 Са1си1аг1оп оХ вггевв апс1 вггаш ипс1сг 1шрасг 1оас1 23.3 1гпрасг Гасгог апс1 1гв с1ейшг1оп 23.4 8Ггеп8ГЬ са1си1а11опв ипс1ег 1шрасГ 1оайп8 23.5 Тгапвчегве 1шрасг 1оайпа 23.6 Тогв1опа1 1шрасг 1оайпд 23.7 ТаЫп8 шГо ассоипг тавв оГ ап 1шрасГей Ьос1у СЬар1ег 24.

ч1Ьга6оп оГ ап е1ав6с ьуь1ет 24.1 Вав1с сопсергв оГ гпеогу оГ ч1Ьгагюп 24.7Ргсе ч1ЬгаГюп оГ ап е1ав11с вувГетв1ГЬ яечега1 с1е8геев оГ 6еес1от 24.8 Ргее ч1Ьгаг1оп оГ Ьеат чч1гп Ью сопсепггагес1 таввея 24.9 1опргийпа1 овс111аг1оп оГ а Ьаг 24.10 Тогв1оп овс111аг1оп оГ а вЬай 24.11 Тгапвчсгвс овс111аг1оп оГ а Ьсаш СЬар1ег 25. Арр1кайоп оГ гпе Ьоипдагу е1ешеп1 шейнм$1о Ьаг аш1 Ьеаш 25.1 Са1си1аг1оп оГ Ьаг Ьу В1ЕМ 25.1.1 Ягагетепг оК гпе ргоЫст апс1 Ьав1я ециаг1опв 25.1.2 Рипс1ашспга1 во1иг1оп Гог Ьаг 25.1.3 Яошс ехашр1ев оГ В1ЕМ арр11сайоп го Ьагв 25.1.4 Маш шагпх ес1иагюп 25.15 Сопв1с1сга1юп оГ Ьоипс1агу сопйг1опв 25.2 Са1си1аг1оп оГ Ьеат Ьу В1ЕМ 25.2.1 Бгагетепг оХ гпе ргоЫст оГ Ьеат Ьепйпд 25.2.2 Ваяв ециаг1опв оГ В1ЕМ Гог Ьеашв 25.2.3 ВошЫагу сопйгюпв 25.2.4 Ехатр1с №1 оГ Ьеат са1си1агюп Ьу В1ЕМ 25.2.5 Ециаг1опв Гог шйпожп Гипсг1опв 25.2.6 Рипс1ашспга1 во1игюпв Ког Ьсаш 25.2.7 Ехашр1е №1.

Сопг1пиаг1оп 25.2.8 Маш ес1иаг1опв оК В1ЕМ ш шагпх Когш 25.2.9 Яошс схашр1св оК В1ЕМ арр11са11оп го Ьсашв Ке1егепсев СопгеиЬ 360 363 364 367 368 372 372 372 375 377 380 382 384 384 385 386 387 387 388 389 391 395 398 399 Учебное издание Зозуля Владимир Васильевич Мартыненко Александр Витальевич Лукин Александр Николаевич МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ Издано в авторской редакции Художник обложки О.Ю.

Полтавская Подп. в печать 2.11.2001. Формат 60х84/32. Печать офсстная. Бумага офсетная. Гарнитура РШсЬ. Уел. печ. л. 23,5. Уч.-изд. л. 28,3. Тираж 500 экз. Изд. № 58/3. Издательство Национальногоуниверситета внутреннихдел. Украина, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27. .