механика (Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н., 2001 - Механика материалов), страница 39

ГЛАВА 24 КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ 24.1 Основные понятия теории колебаний Колебательные процессы встречаются в различных областях физики и техники. Эти процессы имеют общие характерные черты и специфические математические методы их исследования. Наука, изучающая такие явления и процессы, называется теорией колебаний. Особое значение имеет теория колебаний в инженерном деле при кручении вибрации деталей машин, элементов конструкций и сооружений, а также оценка их прочности.

В некоторых случаях прочная и жесткая конструкция с точки зрения статического действия нагрузки, может разрушиться под действием сравнительно небольших периодически действующих сил. Поэтому изучение колебаний упругих систем имеет важное значение для инженеров-механиков и строителей. Рассмотрим механические колебания систем, которые изучаются в сопротивлении материалов и являются основными расчетными схемами при оценке прочности строительных и машиностроительных конструкций.

При изучении колебаний одним из наиболее важных параметров упругих систем является число степеней свободы. Количество независимых параметров, определяющих положение системы в любой момент времени называется числом степеней свободы. Следует иметь в виду, что число степеней свободы определяется выбором расчетной схемы, т.е. степенью приближения с которой исследуется реальный объект. Так к примеру балку можно рассматривать как систему о одной, двумя, и и бесконечным числом степеней свободы. Кол ебательные процессы, встречающиеся в технике разделяются на периодические и непериодические. Мы будем рассматривать только периодические процессы.

При периодических колебаниях функции, описывающие системы являются периодическими, т.е. повторяются через равные промежутки времени Т, которые называются периодом колебаний. Исследуя колебания упругих систем, различают собственные и вынужденные колебания. 347 Собственные свободные колебания возникают в упругой системе, которая будучи выведенной и состояния равновесия кратковременным внешним воздействием продолжает движение под действием внутренних упругих сил. Собственные колебания продолжаются до тех пор, пока полученная, вследствие внешнего воздействия на систему, энергия не израсходуется на работу по преодолению сил трения.

Вынужденные колебания происходят в упругой системе под действием периодически изменяющихся во времени внешних сил, не зависящих от колебаний системы. В отличие от собственных, вынужденные колебания не затухают, несмотря на наличие сил трения. Это связано с тем, что система получает энергию со стороны возмущающих воздействий, которая расходуется на преодоление имеющегося сопротивления. Колебания упругих систем классифицируют также по виду деформаций упругих элементов конструкций. Стержневые системы могут совершать продольные, поперечные или крутильные колебания.

Продольными называются колебания, при которых перемещения всех точек стержня происходят в направлении продольной оси. Такие колебания приводят к равномерному по поперечному сечению растяжению и сжатию стержня. Поперечными называются колебания, при которых все точки стержня перемещаются перпендикулярно оси стержня. Напряженное состояние стержня в этом случае такое же, как при статическом изгибе балки, поэтому такие колебания называются так же изгибными. Крутильными называются колебания, которые сопровождаются деформацией кручения. Такие колебания, как правило, возникают в валах, работающих на кручение.

24.2 Собственные колебания упругой системы с одной степенью свобода Задачи о колебании систем с одной степенью свободы рассматриваются в курсах теоретической механики. В качестве таких систем рассматривают обычно груз, подвешенный на нерастяжимой нити или на пружине, и совершающий гармонические колебания около положения равновесия. 348 Мы рассмотрим балку на двух опорах, из абсолютно упругого материала на которую действует груз весом Р (рис.24.1). Бели весом балки можно пренебречь по сравнению с весом груза Р, то ее можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. При составлении уравнений движения груза используем принцип Даламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе можно применять уравнения равновесия статики, если силы инерции включить в число внешних сил.

ис. Пусть в некоторый момент времени ~ груз Р переместился на величину и от положения статического равновесия м„ (рис.24.1). В процессе движения на груз действуют силы упругости балки Р, и силы инерции. Силы упругости равны Р,= —, 5 где б - прогиб балки от действия силы Р =1. Сила инерции равна произведению массы на ускорение и направлена против ускорения Р,~г ,~ г где я - ускорение свободного падения. Спроектировав все силы, действующие на груз, на вертикальную ось получим уравнение свободных колебаний балки с грузом как системы с одной степенью свободы.

Р Й'ъч и ~~г Запишем это уравнение в виде где а =. ~ - круговая частота собственных колебаний системы ~ Рб (с '). Решение этого уравнения имеет вид и = А, япа~+ А, соком где А, и А, - постоянные интегрирования, которые зависят от положения и скорости массы в начальный момент ~ = О. Выражение для в можно представить в виде Здесь постоянными являются амплитуда А и начальная фаза ~р, значения которых определяются из начальных условий. График изменения в во времени представлен на рис.24.2 Рис.24.2 Из этого уравнения и графика видно, что при изменении в~ на Ьт прогиб в не изменится.

Следовательно, упругая система за время ~ = 2я/в совершает одно колебание„а за г = 2л — в колебаний. Поэтому в называется круговой частотой. Период колебаний определяется формулой 350 В качестве примера рассмотрим балку на двух опорах пролетом 1 постоянного поперечного сечения. На балку действует груз весом Р, расположенный посередине пролета (рис.24.3).

Отклоним балку с грузом вниз на величину Л от положения статического равновесия и отпустим в момент времени ~=0. Такому возмущению системы соответствуют начальные условия Й4) и =Л, — =~'=О, при ~=0. й Используя уравнение движения груза и начальные условия найдемуравнениядля определенияпостоянныхинтегрирования Ампир = Л Аасоир =О Рис.24.3 Л Из этих уравнений находим ~р = — А=А. Следовательно, 2 уравнение свободных колебаний для рассматриваемого случая имеет вид м = Асов~ ~з Учитывая, что о = находим 48.ЕУ д 488ЕХ Р1' =Л+ 48Ь.1' где.ЕХ - жесткость балки при изгибе. Определим максимальные напряжения о, возникающие в сечениях балки.

В каждый момент времени на балку действует вес груза Р и силы инерции, которые как отмечалось выше равны 351 Р Игм 48ЛЕУ соза~ 12 1Р Максимальный изгибающий момент возникает в точке приложения груза. Он равен 12ЛЕУ Р1 4 Определим максимальные напряжения о, возникающие в сечениях балки М „, 12ЛЕу,„Р1 1Г 1' 46' где И~- момент сопротивления, у „- расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленной точки. 24.3 Вынужденные колебания системы с одной степенью свобода Пусть на балку кроме сосредоточенного груза Р действует периодическая возмущающая сила Р(е) =Р,яш Р~ где Р, - амплитуда возмущающей силы, Р - ее частота (рис.24.4).

Рис24.4 Тогда, как отмечалось выше, упругая система будет совершать вынужденные колебания. Для составления уравнения движения в этом случае кроме сил упругости и инерции следует учесть и возмущающую силу. В результате получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы Р ~г — 2 + — =РОБ1П р» ~г о о Представим этоуравнение в виде где у= —.

И~о р ' Таким образом, получено неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнение второго порядка. Полное его решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения описывает свободные колебания системы и получено нами ранее. Частное решение неоднородного уравнения описывает вынужденные колебания и представляется в виде В:=С АР~ Подставляя его в дифференциальное уравнение и учитывая, г , = — С~3 иш~3ф й' получим С= г Зг Тогда решение уравнения для вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы можно представить Здесь первое слагаемое в правои части характеризуют свободные колебания, а второе слагаемое характеризует вынужденные колебания системы, которые происходят с частотой возмущающей силы.