В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 59
Текст из файла (страница 59)
11.19), находим эпюру остаточных напряжений. Важно отметить, что полученные напряжения являются самоуравновешенными. В сечении не возникает ни нормальной силы, ни изгибающего момента. Рис. 11.19 Описаннал выше последовательность определения напряженим в изогнутом стержне выглядит значительно проще в случае, когда ширина сечения 6 остается постоянной, т.е. в случае стержня прямоугольного сечения, и особенно просто, когда диаграмма растяжения к тому же обладает участком идеальной пластичности. Рассмотрим этот частный случаи. Имеем прямоугольное сечение со сторонами 6 и 6 и диаграмму растяжения, показанную на рис.
11.20. Легко установить, что поперечное сечение стержня делится на две зоны: упругую и пластическую. Величину ут, определяющую границу этих зон, находим нз выражения (11.10) Ут = ЕтР. ( П.19) По мере увеличения момента и, соответственно, кривизны ут уменьшается. Упругая зона сокращается. Изгибающий момент в сечении по-прежнему определяется выражением (11.11), которое в данном случае принимает вид Л/2 ис. 11.20 Разбивая интеграл на два, получаем луз л/з М = 2Ь <трау + 2Ьот р Ыу.
о Ут Так как на упругом участке а = .Е-, после интегрирования У Р находим ~ з ГЛ з1 М= — Ь вЂ” у +Ьо ~ — — р~. 3 4 Р Отсюда, имея в виду, что на основании выражения (11.12) нтР рт — Е1Р— Е ' получаем ЬЛз 1, Р' М = — о — -Ьо'~ —, 4 3 .Ез' (11.13) откуда 1 Р (11. 14) Кривизна стержня с увеличением момента М возрастает и обращается в бесконечность прн М = 1 ЬЛзп,. (11.15) 4 Рис, 11.21 Применимость формулы (11.14) ограничена значением момента М не только сверху, но и снизу.
Прн малых значениях момента, когда пластическая зона отсутствует, кривизна определяется по формулам, выведенным в предположении линейной зависимости между о и с: 1 М 12М р к,у яl~З~ Это соотношение будет правильным до тех пор, пока (11.16) М 6М и = — = — < ат, рр ьь2 т' т.е. М < -ЬЬ2 6 Формулой (11.14) можно пользоваться прн -еЬ от < М < -ей от.
6 4 м В. и. Фыдасыв В этом слУчае Р = 0 и Ут обРапзаетск в нУль. Следовательно, все сечение охватывается пластической деформапиен, и зпюра напряжений в поперечном сечении стержня имеет вид двух прямоугольников (рис. 11.21). Несущая способность стержня при этом исчерпывается, и ббльшая нагрузка им воспринята быть не может. Понятно, что в действительностк кривизна стержня не может обратиться в бесконечность, и указанный случай следует рассматривать как предельный. На рис. 11.22 изображена зависимость кривизны 1/р от момен- таМ, Рш Р 1 о Рис. 11.22 1 Рост (11.17) 12М где под М понимается величина момента при нагрузке. Остаточная кривизна может быть найдена и по графику, как зто показано на рис.
11.22. Рис. 11.23 Эпюра остаточных напряжений представляет собой ломаную линию (рис. 11.23). Оиа получается в результате вычитания линейной эпюры разгрузки из эпюры нагружения. езо Из выражений (11.14) и (11.16) сразу же можно найти остаточную кривизну, которую сохраняет брус после разгрузки: Наибольшие остаточиые иапрджеиид будут следуинциыи: 6М гг, =от- —. 0/6 12Мут о =о ььЗ П р и и е р 11.4. Витаз прумика покучаетсз путем хоходнок навивки провозокн на пизкиприческую оправку (рис. 11.24). Лдз спучаз прзмоугазьиого сечении провопоки подобрать диаметр оправки Рььр с таким расчетом, чтобы песке нввивхк дружина имена задеднмй средний диаметр витка Рзр = 20 мм.
Высота сеченкз проиодохи 6 = 2, б мм; ог = 000 МПа, Е = 2 10" МПа. Рмс. 11.24 Полагаз, что угол подъема витка мед, будем рассматривать вкток прумииы как пзоский. По усзовню остаточназ кривизна витка 1 2 2 — = — = — мм дозе Риз 20 Обращаемсз з вырикению (11.1Т). В кем иам неизвестен момент М. Найдем его. Лзз етого перепкшем уравнение (11.1г) в виде — + 12 66ь — 6 6йз — — 3 Ей илк Везичина М/(6й~пг) пенит в пределах от 1/б до 1/4. Подбором опредеззем - — — = 0,480 10 1 М 4 Ьйхбе 15" По формуле (11.14) панским радиус крввизиы проволоки в нагруженном состоянии М ЬУа, оз Г~йз откуда р = 12,05 мм. Вычитая кз этого значения половину толщины проволоки, нахопим размеры оправки: р„г = 12,05 — 1,25 = 10,8 им, Родэ — 21,6 мм, П р и м е р 11.5.
Часовую пружину изготовляют путем навивки стальной ленты на пилкидрический сердечник (ркс. 11.25, а). Освобожденная лента принимает в дальнейшем форму спирали (рнс. 11 25, 5). Определить уравнение этой спирали, если свойства материала характеризуются диаграммой идеальной власткчиости. Рмс. 11.25 При навпвке лента изогнута по спирали Архимеда е' Л г= — + — м, 2 2я где т и р — полярные координаты, е — диаметр сердечника, Й вЂ” толщина ленты (см. рис 11.25, а). Так как толщина ленты й невелика к спираль, следовательно, имеет небольшой шаг, можно считать, что поляриык радиус равен радиусу кривизны: р ш г. Тогда из уравнения (11.13) получаем изгибающий момент прн маниаке: ,/й Ь М= — ЬЬ е,— — Ь вЂ” '~-+ — зз 4 3 Ез (~2 2т / Подставляя далее М в уравнение (11,17), находим з г - + — зз 2 2т Это выражение н представляет собой искомое уравнение спирали.
С увеличением угла р остаточнае кривизна умеиьшаетса. Прн некотором р она комет оказатьса равной нулю. Это зиачкт, что в этом сечении и на остальном внешнем участке ленты кинетические леФормании ври навивав не образуютса, и лента остаетса крзмок. 11.4. Кручение стержня круглого поперечного сечения при наличии пластических деформаций (11.18) 7 = Рй (см.
формулу (2.5)). Крутяший момент в сечении равен Я Мк сс 2и тР2ИР. о Введем в зто выражение взамен радиуса р переменное 7 со- гласно (11.18). Тогда 7п~ах 2к ЛХк= з ( т7 о7, лз / о (11.19) где (11.20) 7шщг = по 453 Лля исследования деформации стержня в условиях упруго- пластического кручения необходимо располагать диаграммой сдвига материала, т.е. зависимостью угла сдвига 7 от напряжения т (рис. 11.26).
Будем считать, что такая диаграмма у нас имеется. Она может быть получена путем испытания на кручение тонкостенных трубок. В пальнейшем мы покажем, что зта диаграмма может быть определе- у на путем перестройки обычной диа- Рис. 11.28 граммы растяжения о = Де). Принимая, как и при обычном кручении, гипотезу плоских сечений, получим 1 Интеграл в выражении (11.19) представляет собой не что иное, как момент инерции криволинейного треугольб ника ОАВ (рис.
11.27, а) отно- сительно оси г. Пля заданной д диаграммы он может быть заранее определен как функция 7а, (рис. 11.27, 6). Теперь легко по точкам по- строить зависимость удельного б угла закручивания д от моменРис. 11.27 та Мх, Задаваясь значением д, определяем, согласно выражению (11.20), 7„,ах, а затем с помошью графика значение интегра- 'Ваах ла г7~ И7. Затем по формуле (11.19) находим М„. Таким о образом, мы определили одну точку зависимости Ю от М„. Повторяя эту операцию несколько раз, получаем полную кривую В = У(Мх). При малых значениях момента, когда кривую 7тах | г7 ~17 = У(7тах) 2 0 нельзя построить точно, следует воспользоваться обычной линейной зависимостью в пределах закона Гука М„ д = —.
(11.21) Все последуюшие операции по определению закона распределения напряжений в поперечном сечении стержня, а также по нахождению остаточных напряжений и остаточных углов совершенно аналогичны тем, которые были рассмотрены в препыдушем параграфе для изгиба стержня. Поэтому, здесь этн операции повторять не будем, а проиллюстрируем их на конкретном примере. П р и м е р 11.6.
Витая цилиндрическая пружина (рис. 11.28, а) сжкмается до полной посадки витков (рис. 11.28, 6). Требуется опрепелнть шаг пружины после разгрузки, если до нагрузки ои бьы ракен я = 10 мм. Размеры пружины следующие:,0 = 20 мм, б = 4мм. Модуль сдвига С = О, 77 10 МПа. Лнаграмма сдвига мвтеркала задана кривой, показанной на рис. 11.28, е. з',згууя М угу ууу 6! 46 у йггг" Увял 6ФУУ! Рис. 11.28 В Осадка пружины ~а одки актов равна Аг = я — 6. Но 1г м — 91, где 2 1 — длина витка, равная тР. Таким образом, я — Ы = — Взй. (П.22) 2 Отсюда определяем угол закручивания 9, котормй возникает а проволоке прн посадке витков: 9 = 0,00966 мм а Находим, далее, уо „= -9 = 0,0191.
Откладываем у,е,„на диаграмме сдвига (см. рис. 11.28, е) и путем разбиения на площзлкк определяем момент ннерпии треугольника ОАВ относительно оси г. В результате подсчетов получаем гу Иу = 0,455 10 з МПа. а По формуле (11.19) находим крутящкк момент 21г 0,455 10 з О, 00955з По формуле (11.21) определяем угол закручивания при упругих деформациях 328 1= =О,ои10/г Утоот ° 44/32 466 Теперь, согласно выражению (11.22), находим упругую "отдачу" пружины после разгрузки я„, - и = - 2О О, 001ТО = 1, ОТ Искамып шаг пружины э „= 1, ОТ+ 4 = 5, ОТ мм.
для полноты хартяиы определкм закон распределения остаточных напрюкений в поперечном сечении пружины (рнс, 11.29, е). Для этого построим сначала зпюру напряжений прп нагрузке. Согласно выражению (11.18), угол сдвига на расстоянии р от центра круга равен Т = О, 00955р. Задаваясь несколькими значениями р, по точкам определяем напряжение г к строим эпюру, показанную на рнс. 11.29, б. Из нее вычитаем напряжения, определенные по формуле упругой разгрузки, г = Мр/ээ - -13, Ор. Рмс. 11.29 Разность между напрюкеннямн нагрузки и разгрузки дает значение остаточных нелряженин (рнс. 11.29, е).
11.5. Основы расчета по предельным нагрузкам При расчетах конструкций на прочность наиболее широко распространенным является метод расчета по напряжениям. Однако, как уже говорилось, этот метод не является единственным. В ряде случаев более предпочтительно вепение расчета по разрушающим или предельным нагрузкам, от которых рабочие нагрузки составляют некоторую часть. Отношение предельной нагрузки к рабочей называется коэффициентом запаса по предельным нагрузкам.
Его назначают, как правило, в зависимости от особенностей проектируемой конструкции. На примере рассмотренных в настоящей главе задач мы уже имели возможность познакомиться с понятием предельной нагрузки. Так, для системы, состоящей из трех стержней (см. рис, 11.11), она оказалась равной )эпрцд — — ггт Г (1+ 2 сой сг), а для стержня прямоугольного сечения предельный изгибающий момент 2 Мпред птЬЬ 4 Обобщая полученные результаты, следует отметить, что под предельной понимается нагрузка, по достижении которой исчерпывается способность системы воспринимать дальнейшее ее возрастание, или нагрузка, при которой возникают столь заметные изменения геометрических рвзмеров системы, что последняя перестает удовлетворять своему назначению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
