В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Но, согласно первому положению теории пластичности, зависимость (11.29) елина пля всех напряженных состояний. Следовательно, она ничем не отличается от обычной зависимости, задаваемой диаграммой растяжения. Надо только откладывать по осям не а и е, а о, и я; (рис. 11.39). Тогда ~т; Е; т.е. мы получаем величину переменного модуля. Ю Рис. 11.39 Теперь аналогично выражениям (11.24) выписываем соотношения пластичности: 7уя = (11.30) 7хх = 7хя = Е гпе 0 = 2(1+ /я) с учетом того, что /я = 1/2, т.е.
С = — Е = —. 1, о; 3 ЗБ; Приведенные соотношения пластичности не являются совершенно точными и считаются верными по крайней мере цля тех видов нагружения, при которых внешние силы в процессе нагружения возрастают пропорционально некоторому параметру, например времени. В этом случае, как можно показать, главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление. Такой вид деформации носит название просяной деформации,а нагружение — просяного кагрузгсенпл.
Рассмотрим примеры решения некоторых задач, цля которых необходимо применение аппарата теории пластичности. П р и м е р 11.11. Лама диаграмма растяжения е ы /(е). Построить соответствующую ей диаграмму сдвига г = /(т). Лиаграмму сдвига мшкно получить либо из прямого испытания на кручение, либо же перестройкой диаграммы растяжения при помоши соотношений пластичности.
Обратимся к формулам (11.25) н (11.2Б). Лля растяжения ег = а, а е< = е, При сдвиге, полагая д = 1/2, наладим а; = гэ/3, яз = т/З/З. ~о зависимость е, = /(я) едина для всея напряжениык состояний. Поэтому зависимости а = /(е) и т = /(т/з/З ) одинаковы. Перестройка диаграммы заключается, следовательно, в простои замене о на гЛ, а е — на т/з/3.
Чтобы получить диаграмму сдвига, нужно в каждой точке диаграммы растяжения орлинату уменьшить в з/3 раз, а абсписсу во столько же раз увеличить (рис. 11АО). 1 ох — — (сгя + ая) 2 1 о„— — (оя+ ох) 2 1 — — (ох+ ок) 2 Зе; — гт уя( ЗБ; — т хх! гг; Зег' "х хю г м Рис. 11.40 Рис. 11.41 П р и м е р 11.12. Определить увеличение диаметра цилиндрического бака (рис. 11,41, о) в зависимости от давлении р.
Йиаграмма расткм»екмя матермала задана (рис. 11.41, б); Р = 1300 мм, Л = 10 мм. Меридиалькое и окружное напрк»кенмк в стенках цилиндра равны рР рР »ге = ае» = —, »гв -- а» = —. 4Л' 2Л Согласно формулам (11.30), е; ( 1 3е»рР е» = — ໠— — ае», или е» = — — —. 6 а; Л Увеличение диаметра 3е» рР азР ш Ре» = — — ' —. За» Л (11.31) По формуле (11.25) маходкм /З рР а» = аз — ам а» + аз = — —. » 4 Построим теперь зависимость ЬР от давлении р, Задаваксь давлением р, вычислим а;, а по диаграмме испытании неладны ер Затем нз Ш,лл 4 выражения (11.31) опредеяяем ЬР н по точкам строим искомую зависимость (рис. 11.42).
Полученное решение справедливо в пределах небольшмх /ЗР, пренебрежимо малых па сравнеммю с диаметрам Р. В пратмвмам случае в выражениях для ае и ан необходимо была бы учитывать изменение диаметра. д йу 10 йх бд р,жра Рис. 11.42 рана Рис. 11.44 Рис. 11.43 Обозначим через р радиус крмвизны сферической поверхности, а через а — половину цектрального угла сегмента (рис. 11.44). Очевидна, р = е/з1па, или, вследствие малости а, р ш е/о, где е — радиус мембраны. а еа Прогиб мембраны / = еей — ге —.
Окружное н меридианальное г' напряжения в мембране 4бй П р к м е р 11.13. Зля определения склы ударном волны, воз. никаюшей прк взрыве, часто применяют тонкие свинцовые мембраны (рмс. 11.43). Под действием давления мембрана получает остаточный прогиб, по величине которого н судят о силе волны. Требуется определить зависимость прогиба такой мембраны от давления.
Решим задачу приближенно, полагая, что напряжения распределены по толщине мембраны равномерно и что форма изогнутом мембрамы близка к сферической поверхности. Такое предполамение, не сказываясь сильна на количественных результатах, змачительно упрощает решевме. рр Ря е1=ет= — =— 2Л 43У' (П.32) Наконец, удлинения в мембране можно определить по разности длины ду- ги АС и корды АВ: ро — рмпо ~а 2 ~~ ря1па 5 3 аз' (11.33) Теперь обратимся к соотиошенням пластичности (11.30). Примем аз = О, ее = ем, ея — — ео Тогда я» = — ом — — ег ' ез = ег — — ом откуда его = ем+ — ег , 'о! яг+ его Подставляя ет, и ог в третье выражение (11.30), находки ез — — -(ем+ +яг).
Подставляем я, в выражекие кнтенскввости деформаций (11.25). Тогда с; = — яго+яе~яг+я~~. Но яго = ег = я, поэтому ег = 2я, кли, согласно выражению (11.33), 4 У' Яг— 3 аз (11.34) 19е ег — ем = 451 (11.35) Порядок построения искомой завясимостн выглядит следующим образом. Задаемся прогибом у. По формуле (11.34) находим яо Лакее, по диаграмме растяжения оу = 1(ег) определяем и;, а по формуле (11.35) находим давление р, соответствующее принятому прогибу. Так по точкам строим искомую зависимость.
П р и м е р 11.14. Отожженную проволоку протягивиот через коническое сужающееся отверстие (фильеру). В результате диаметр проволоки меняется с размера Вз на Р~ (рнс. 11.45). Пренебрегая трением н считая угол яопусиости малым, определить, во сколько раз при указанной схеме вытяжки можно уменьшить диаметр проволоки. Материал обладает свойством идеальиок пластичности. Наконец, выражение е; (11.25) с учетом того, что е» = О, а ее, = ом приводим к виду Рмс. 11.4б Ржс. 11.4б Обозначим через Р текушнй диаметр, а через р — контактное давление и составим уравнение равновесия для элемента проволоки длммой Лз (рис.
11.46): я кР 2 (а+ аа) — (Р+ 2аел) — а — + раРоаз = О, 4 4 где а — половина угла прн вершние конуса. После преобразований получим еа 4а — + — (а+ р) = О. ез Р йа 4аа, Дз Рг + 2оя Интегрирук, получмм а = — 2аг((п(Рг + 2ая) — 1и С]. Постоянную С подбираем из условия, что при входе в фкльеру, т.е. прн Р = Рз, напряжение а = О. Тогда получим Рз а = 2гг, (и —. Р' Напряжение на вытягиваемом участке Рз аг —— 2а, 1и —. Рг' Но аг не может быть больше а„иначе этот участок будет продолжать удлиняться и сужаться, поэтому — < зте = 1,бб. Рз Р| Естественна, что упрачнепие материала и учет смл трения могут заметно изменить эту опенку.
470 Так как материал обладает напряженного состояния а; а, =а,ее =аз — — р,тея— (11.25), получаем а + р = равмовесмя примет вкд идеальной пластичностью, то интенсивность постоянна я равна а,. Но в данном случае гя, — т, = О. Поэтому, согласно выражению а„а так хак Р = Р, + 2оя, то уравнение Глава 12 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯ1ОЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ 12.1.
Понятие об усталости материалов Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Например, детали кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания (рнс.12.1) находятся под действием периодически меняющихся сил.
Закон их изменения определяется видом индикаторной диаграммы и кинематическими особенностями ме- ханизма. Ось вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 12.2), также испытывает циклически изменяющие- ся напряжения, хотя внешние силы остаются неизменными. Происходит зто в результате того, что Рис. 12.1 частицы вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах. Ряс. зг.г Лля оси вагона на рис. 12.2 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного сечения (рис. 12.3, а) имеем а = Му/1с.
Расстояние д от точки А до нейтральной оси В меняется во времени по закону у = — з1пм1, где ы — угловая 2 скорость вращения колеса. Следовательно, РаР а(1) = — зшюг. 2,т, Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой (рис. 12.3, б) Ра0 2,Уе Ф Ю ри . зг.з Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит. Число циклов до момента разрушения зависит от ое и изменяется в весьма широких пределах.
При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5... 10 циклов. Это хорошо видно хотя бы на примере многократного изгиба куска про- Ь, ) волоки (рис. 12.4). При меньших напряжениях деталь выперживает миллионы и миллиарды циклов, а при еше меньших — способна рабо- Рнс. 12.4 тать неограниченно долго. После разрушения на поверхности излома летали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны (рис. 12.5 и 12.6).
В одной зоне кристаллы можно различать невооруженным глазом с большим трудом. Мнкроповерхнасть излома сглажена. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения, кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность. Рнс. 12.5 473 В целом создается впечатление, что подобного рода разрушение связано с изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объясняли в свое время разрушение при циклических напряжениях. В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется.
Разрушению предшествует многократно сменяющаяся прямая и обратная пластическая деформация в наиболее слабых плоскостях наименее удачно расположенных кристаллов. Это приводит к тому, что кристаллическое зерно, сохраняя в основном свою форму и связь с соседними зернами, постепенно разделяется на части полуразрушенными разрыхленными прослойками, имеющими определенную кристаллографическую ориентацию.
Из рис. 12.5 видно, что разрушение вала произошло в ре. зультате развития трещины, образовавшейся у края сечения. Разрушение рельса (см. рис. 12,6) обусловлено развитием трещины, образовавшейся внутри сечения в зоне местного порока. По характеру излома можно судить о направлении развития трещины. Обычно хорошо видны линии торможения ("отдыха") трещины, связанные ках с изменением режима работы детали, так и с особенностями структуры материала в сечении. В настоящее время, однако, физические основы теории твердого тела не находятся еще на такой стадии развития, чтобы на их базе можно было создать методы расчета на выносливость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
