В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Лиаграмма растяжеяия материала обладает участком идеальной пластичности (рмс. 11.6, б). а Ржс. 11.6 При маяых зпачеимях силы Р во всек стержнях системы возникают упругие деформации, Усилия в стержнях определяются обычиымм методами раскрытия статической меопределимости. Поскольку такую задачу мы уже рассматрквали раисе (см. пример 1.$), выпишем зиачеимя усилий в стержнях без вывода: Реваз о 1+2сояза' 1+2совза' где № — нормальная сила в крайнем стержне; а Фз — то же в среднем. Перемешеиие точки А равио удлмиеиию среднего стервгия, т.е. Ур! Р! 1 б„= — =— ЕГ ЕГ 1+2соззо (11.1) Эти завмсимостм сохраняются до тех пор, пока в средпем стержне, в кото- ром нормальная сила больше, чем в крайних, ие возникнут пластические дефармацим. Это произойдет при №=и рР, (11.2) или при Р ж и, рГ(1+ 2 сов а).
Палее напряжение в среднем стержне остается неизменным, равным и р. Сила б!з также ие меняется. И равна и, рЕ. Ускяия вбоковыхстервснях определяются в этом случае мз условия равиовесия узла (рис. 11.9). ЬР Рис. 11.9 439 Система, таким образом, из статически неопределимой превращается в статическк определимую: (И.з) 2Омо Перемешенке точки А (см. рис.
11.9) равно Ы1/соек, влп К,~ ~Р- . Г) ЕГ сакэ о 2ЕГ соек а Палее и в боковых стер1кпях иапрюкения становятса равными пределу текучести. Из выражения (11.3) следует, что зто произокдет при Р = а;,,Р(1+ 2соэа). В этом случае система превращается в механизм, поскольку при дальнейшем возрастаник силы условие равиовескя для системы ие соблюдается. В каждом из стержней нормальнэл сила, судя по диаграмме растяжениа, не может быть больше, чем е,,эР, а вергпкакьная составляющаа трех сил равна е,,рР(1 + 2 соэ а) н остается постоянной.
Тавим образом, к системе не может быть приложена сила, ббльшая указанной. Эту силу для данной системы слекует рассматривать кав нредельную. В некоторых случаях ее кменуют также разрушиощей нагрузкой. Понятно, что название "разрушающая нагрузка" не отражает полностью существа явления. Еслн действительная диаграмма растяжения при увеличенных зиаченкях с кисет участок упрочнения, то возможно, что сила Р, ббльшая предельнои, окажется в дальнейшем уравновешенной внутреннимк силамн. Однако это произойдет при весьма заметных перемещениях и столь сильных изменениях геометрическок формы системы, что последнюю в этих условиях можно рассматривать хак разрушившуюся.
На рнс. 11.19 показано изменение усилий М, и Мэ, а тахже н перемещения бл в зависимости от силы Р. ф ф Рис. 11.10 Теперь рассмотрим вопрос об остаточных нэлрэженвэх, эоэвнкаюших в системе после разгрузки. Поиатио, что при этом имеетса в ви. ду натруженна системы такимп сидамк, прн которых в среднем стержне 440 возникают пластические деформации, иначе прн чисто упругих деформациях остаточных напряжений не будет.
Однако нагрузка при этом должна оставаться меньше предельной. Процесс разгрузкк эквивалентен приложению внешней силы, равной скле нагрузки, но обратной ей по знаку. Следовательно, остаточные напряжения в системе можно рассматривать как алгебраическую сумму напрюкеннй, вознккающкх в резулътате последовательного приложения сил нагрузки н противополшкиых и равных им снл разгрузки. Вследствие того что принпкп независимости действия свя в данном случае неприменим, приложение сил нагрузки и разгрузки должно быть йалРрка Раияг1дш Ржс. 11.11 только в прямой последовательности (рис.
11.11). Деформация прв разгрузке происходит упруго, и материал следует прн этом закону Гуяа. Поэтому в процессе разгрузки в стержнях будут возникать усилия, определяемые выражениями (11.1). При нагрузке же усилия определяются выражениями (11.2) и (11.3). Таким образом, остаточные усилия, возникающие в стержнях, будут зЕ Р созе о Р М1аег = Юз „=а,рР— 2 сова 1+ 2созз а' 1+ 2 созе а В этих выражениях под Р понимается скла, до которой происходило нагружение.
Ее значение находктск в пределах, ограниченных нагрузкой, соответствующек началу образованкя пластических деформаций, с адней стороны, и значением предельной нагрузки — с другой: оз рР(1+ 2соз а) ( Р < п,,рР(1 + 2 сова). Остаточные напрюкевия явлюотся самоуравновешеннымк, т.е.
узел стержней (рнс. 11.12) прн отсутствии внешних сил должен ниюдиться в равновесии; 21У~аст созо+ 1уэ Подставляя ск>да значенкя Ф~ ест и Фадею легко убедиться, что полученные вырикенвя дла скл удовлетворяют этому условию. 3443)П'44 )ая Ы Рис. 11.13 На рис. )1.12 показан график изменения остаточных сил в зависимости от нагружающей силы Р. В среднем стержне сила Фз „является сжимающей. В боковых стержнях остаточные силы — растягнвающие. Прн повторном нагружеиин скстема деформируется упруго до тех пор, пока сила вторичного нагружения не станет равной силе первоначальнага иагружения. Если систему нагружать дальше, в стержнях возникнут пластические деформации, изменяющиеся по установленным выше законам первоначального нагруження.
П р и м е р 11.3. Проанализировать работу ступенчатого стержня (рис. 11.13, а), у которого е, р ж е,, = е„прн нагружении его силой Р. Рнс. 11.13 Лиаграмма растяжения схематизнруется двумя прямыми (рис. 11.13, б), уравнения которых следующие: а = Ее при о < ет,' (11.4) и — а, жР(е — е,) при а)п,. Лиаграмма сжатия предполагается совпадающей с диаграммой растяже- ния. На первом этапе негру~кения, когда материал следует закону Гука, усилия в нижкем н верхнем участках легко определить обычнммп прпемамн раскрытия статической иеопределкмости.
Тах как Кав = й!зс = Р, (11.5) а удлинения на участках АВ и АС одинаковы: Ф„с2! Ю~~! ЕГ 2.ЕГ ' (11.6) 1 4 то !Улс = — Р, !7за = — Р 5 ' 5 Перемешение сечения А будет следуюшим: У1„2! 2Р! 5„м — = —. ЕГ 5ЕГ' Эти соотношении будут справедливы до тех пор, пока напряженке на ниж- 5 нем участке не достигнет значения о, ири Р = — а Г. 2 На втором этапе иагружения нижний участок деформируется пластически, а верхний — упруго.
Уравнение (11.5) остается неизменным, а уравнение (11.6) с учетом выражения (11.4) принимает внд е" оз е= +Ег ° В (11.7) Тогда взамен уравнения (11.6) получим — = ! — — — Оз +ее Решая это уравнение совместно с (11.5), находим Р— 2а Г(1 — Р/Е) 4Р72/Е+ 2о,Г(1 — Р/Е) 1+4Р/Е ' 1+4Р/Е Перемешение сеченкя А !Узс2! 2! Р 2отГ(1 Р/Е) ЕГ ЕГ 1+ 4(1/Е Р = «,Г(3+211/Е). На третьем этапе нагружения имеем 2!езс = !язв, или, согласно выражению (11.7), 443 Из первого выражения (11.8) определяем силу, при хоторой напрюкение в верхнем участке достигнет предела текучести, Решаем это уравкенке совместно с уравнением (11.5), поаучаем / бУЪ Ф»с = — Р+ -егР~1- — )' 5 5 )1 Е)' 4 2 / РЪ Ф»е = — Р— — езР (ь1 — — ).
5 5 (ь Е) перемещение точки А на третьем этапе нагрумемиз будет Ỡ—— 21з»с —— — ~- — Зеэ ~1 —— 5Ю '1Р '( .и) (11.9) Завмсммость усилий 1г»в к Ф»с м перемещенкз б» от склы Р представлена ма рис. 11.14. На этом ме графике показано и остаточное усилке Р, в стержне, получающееса после разгрузкк.
Омо будет одинаковым длз обоих участков в определзетсз путеы вычитание кз усмлкз 1г»с (см. формулы (11.5) клм (П.9)) усилив "упругой" разгрузки, равного Р(5. Ид, «»г б~, Ъг 11.3. Упругопластичесиий изгиб стержня Рассмотрим случай чистого изгиба прямого стержня при наличии пластических деформаций. Для простоты будем считать, что поперечное сечение обладает двумя осями симметрии (рис. 11.15) и что диаграммы растяжения и сжатия материала одинаковы. При этих условиях, очевидно, нейтральная линия совпадает с осью симметрии и (см. Рмс. 11.15). Аналитически связь между нялряжением гг и деформацией б задавать не Рис.
11ЛЕ Рис. 11.1б будем и примем, что диаграмма растяжения дана графически (рис. 11.16). Положим, что для стержня, ках обычно, справедлива гипотеза плоских сеченкй, тогда получим Е У (11.10) Р где у — расстояние от нейтральной линии; 1/р — кривизна стержня. Изгибающий момент в сечении стержня будет равен (11.11) М = <туЬИу. г Теперь оказывается возможным графоаналнткчески определить зависимость хривкзны стержня 1/р от момента М, а затем при заданном моменте найти и напряжения, возникающие в стержне. Проще всего сделать это следующим образом.
Задаемся кривизной 1/р к по формуле (11.10) находим максимальное удлинение Ь1 я~пах = — —. 2 р Рядом с чертежом поперечного сечения изображаем диаграмму растяжения (рнс. 11.17) н отмечаем на ней точку А, соответствующую найденному значению ге,ая. Это удлинение имеет место в слоях, наиболее удаленных от нейтральной линии. Поэтому против верхней точки сечения отмечаем отрезок О'А', а затем и точку ОЯ.
Так как удлинения распределены по высоте по линейному закону, точки О" и А' соединяем прямой. Она представляет собой эпюру деформаций в сечении. Лалее строим эпюру напряжений. Лля некоторого значения у по уплинению с (точка В') находим напряжение и (точка В). Откладывая длину отрезка ВС на эпюре, получаем справа график распределения напряжений по высоте.
Затем строим график произведения по высоте. Площапь полученной кривой дает, согласно выражению (11.11), изгибающий момент М. Таким образом, в результате проведенных операций находим одну точку зависимости 1/р от момента М. Если задаться новым значением кривизны, можно, повторяя все указанные операпии, найти новое значение момента и тем самым определить следующую точку искомой зависимости 1/р от М.
Когда искомая кривая построе- М на (рис. 11.18), по заданному моменту определим кривизну стержня. Лалее строим эпюру напряжений при кривизне 1/р, соответствующей заданному моменту М. Имея описанные построения, можно легко определить также и 0 1 — 1 остаточные напряжения, сохраняю- щиеся в стержне после разгрузки. Рис. П.1В Это возможно путем уже описанного 448 ранее способа суммирования воображаемых напряжений разгрузки и напряжений, возникающих при нагружении. В рассматриваемом случае напряжения разгрузки изменяются в сечении по линейному закону сг = Мр/./~. Накладывая эту линейную эпюру на эпюру рабочих напряжений (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
