В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 55
Текст из файла (страница 55)
10,22). А(!;д) Ркс. 10.22 В случае защемленного контура нанбольшке растзгнвающне напрз- женкз возникают у верхней поверхности вблизи контура. Согласно фор- мулам (10.19), 2ирвз 6 ез=оз= — —, из=0, 16 Лз' 2рАз 6 аз=о г = 16 Л з ~ а зквнвзлентное напрюкенне 3 риз еыз о1 Лез з 4 Лз В случае свободно опертого контура нанбольшке раствгивающке напрх- жених возннхаззт в центре у нижней поверхвостк пластины. Здесь 3+и рЯзб оз жкзж — —; из=0; 16 Ьз 3 раз о„„= ог — йпз = — (3+6) —. 6 Ьз Накбольшке прогибы, согласно выражениям (10.22) и (10.24), в пер.
вон и втором случавх будут равмы соответственно таз рН Ю 64В ' 3+и рд зе 1+ и 64В П р н м е р 10.6. Определить напряжения и прогкбы в дисковой пружине, показанной ка рмс. 10.23, а. Рис. 10.23 Задача, очевмдпо, сводктся к расчетной схеме нлвстмиы, нагруженном по контурам распределенныык скламн интенсивности Р (рис.
10.23, 6). Осадка пружины определяетсм прогмбом одной пластины, увеличенным в а раз, где в — число пластин в пружине. Определяем сначала поперечиузз силу Я. Из условия равновесия центральной части пластины (рис. 10.23, е) мыееы О 2кг=Р; Я= —, Р 2кг Из уравнемня (10.16) находки Сг Р / 1чз д = С~г+ — — — г 1пг —— г 4к0 ~ 2~ (10.25) 416 Заменив постоаиную Сг на С,', перепишем вто выразееике в следующем виде: д = Сгг+ — — — г1в —.
Ст Р г (10. 20) г ЬиР а Постовнные С,' и Св подбираем из условий, чтобм кэгибавнцнй радналь- ныи момент М,=Р— +ив обращалск в нуль прк г = а и г = 6 Это дает два уравнении: С,(1+и) — — (1-и) = —; С Р аз 4кР ' С, (1 + д) — — (1 — и) = — ~(1 + и) 1в — + 1, ! С Р Ь 6г 4Р~ а откуда Р Г Ьг Ь С((1 + В) = — ~ — (1+ д) 1и — + 1; 4 Р16 а Р а 6 Ь Сг(1 — р) = — (1 + р)1п —.
41гР Ье — аг а Теперь подставив 0, С( и Сг в выражении (10.13), получим ! Ь' / а~ Ь г — (1+ к) ~1 — — ~ 1п- — (1+в)1п-); ьг а2 гг ) Ье ( а 1 Ьт — ат \, гв / а — (1+,а) 1+ — 11 1п — — (1+ и)1и — +1 — р . а Р М„=— 4т Эпюры моментов представлены на рис.10.24. Наибольшее иапркжение имеет место у внутреннего контура. Здесь 6 Маг* а'э —— а~ = —, Лг где РГ 26' Ь М~ '* = — ~ — (1 + д) 1п — + 1 — и . 4к Ььт — аг а Рис, 10.34 Ы В. И. бнеаесыв 417 Интегрируя уравнение (10.28), накопим, согласна выражению (10.8), , тз ш = Сз — Сз~ — — Сз 1и — + — 1п — —— 2 е 8кР1 а 2у Ф ! 3 з Ь Р (з т з Ь 6 — т з зч ш = С( — (Ь вЂ” т )+Сз1и — + — т !и — — Ь !и — + — ~. 2 т 8кР1 е и 2 Полагая т = и н подставляя С,' и Сз, находим прогиб одной пластннм: Р (13+в з з 1+и 2е6 зЬ( шз = — — — (6 — а )+ — — !и ОнР (2 1+и 1 — И Ьз — ез е~ д„и мом пружины эту величину нужно увеличить в и р"— е.
П р и м е р 10.7. Олренелмть прогиб м наибольшие напряженмя в пластине, нагруженной сосредоточенной силой в центре (рмс. 10.25). Как и в предыдущем примере, Я = Р)2тт. Поэтому выражение (10.28) сохраняет сваю силу. Перепмшем его: Сз Р т д = С,т+ — — — т1и —. т 4яР Я В центре (прм т = О) угол д = О, Следовательно, поскольку !!ш т !и — = О, постот о Л явная Сз = О. Постоянную С( подбираем так, чтобы функция д обращалась в нуль прм т = 11. Это дает С,' = О. Такмм образом, Р Я д = — т!и —. 4кР т' Р т4 Рис. 10.28 Изгибающие моменты, согласно выражениям (10.13), будут равны М, = — !(!+ и)1и — — 11; Мз = — !(1+ р)1и — — и .
4т ~ т ~' 4к ~ т Эпюры, построенные па этим формулам, представлены на рис. 10.25. Как видим, в центре изгибающие моменты обращаются в бесконечность, что является следствием того, что здесь обращается в бесконечность поперечная сила Я. В центре, таким образом, имеет место, как говорят, неустранимая особенность. В реальных усповмях сосредоточенных в точ- 418 Постоянную Сз опредеияем кз условия, чтобы прм т = 6 перемещение ш обращалось в нуль. Тогда ке снл ме сушествует — зто лмшь схема. Смла действует на кебояьшую площадку (рмс. 10.2б) в завмскмостк от размеров которой будут вознмкать большие нлм меньшие нзлряжемка.
Прогиб в центре пластнны прн сосредоточенном силе имеет конечную велкчнму, к схематмзапкя реальных условий приложения смл не вносвт здесь противоречий: Ргз / Я ш =Сз — — (1п — + -!. 8.Р (, ° 2! Так как прм г = Я прогкб ш = = О, то РЯз 1бкР' Ркс. 10.20 откуда ш = — ~-(А — г ) — г 1и — ~. 111 В центре Рлз ш 18кР пркчем сразу можно сказать, что Сз = О, поскольку в центре д~ = О. Таким образом, д~ = С~г.
(10.27) На втором участке Р Я=— 2кг Здесь, согласно выражению (10.2б), Сз Р г дз = Сгг+ — — — г1п-. 4кР и' (10.28) 14г П р м м е р 10.8. Построкть зпюры кзгкбаюшкх моментов для сплошной пластмны, зашемленной по контуру н нагруженной склой Р, распределенной по охружностм радиусом а (рмс. 10,27). Пластину следует рассматривать хак состоящую мз двух участков.
На первом участке 4г = 0 н, согласно выраженмю (10,8), получаем Сз дг = С~к+ —, с ЬГагЛ М('") Ьзг'гЬУ г1 Рис. 10.27 — +л — = — +и— Но так как дг = ггз, то Третье условие будет,очевмдно, следукицкм: прк та гЬз = О. Такам образом, получаем трм уравкенкз: Сз, . г Сз Р , Сз Се=Се+ —; С'=С,— — — —; СЬ+— а ' аз 4лЮ' Ь нз которых находам т = Ь угол поворо.
РЬ Ь вЂ” — 1и — = О, 4лР а ь С, = — ~1п-+ 4лЮ( а ь С,' = — ~1п — + 4лй~ а Раз Сз = — —. Олй На первом, центральном, участке пластнны нзгнбакгцнге моменты, согласно выраженякм (10.13) м (10,2"г), равны: 420 Постозмные Сг, Сг и Сз определзем кз условмй современна участков. Прм г = а ммеем Юг = дз н Мгг = зегз, т.е. угды поворота и кзгмбаюгдме моменты иа контуре сопрзжеммз участков долммы быть одннаковымк. Условме равенства момемтов мамка перепмсать в виде Р(1+и) 1 Ь 1 а 1зг М„= М, ы — —— ~1в — + — — — — ~ совка. ак )~ а 2 Ьз 2/ На втором участке, учитывал выражение дла дз (10.20), получим | У 6 (1+ д) 1п — + — — + — (1 — д) — 1 26 ! 2гз ( 6 1а''з а (1 + д) 1в — + — — ~ — — (1 — д) — д 26~ 2: Р Мс —— 4к М4 = Зпюры изгибающих моментов показаны на ркс.
10.27. Если радиус а мал, то наибольший изгибающий момент вознккает в пектральной части пластины. При больших значенккх а калбольшнв момент имеет место у ее контура. По моментам легко подсчитать к непременна. Таким образом, задача о расчете пластины, имеюшей несколько участков, не содержит в себе пркнпипвальных трудностей.
Однако здесь приходктск большей частью производить довольно громоздкие выкладки. 10.5. Изгиб прямоугольных пластин Запача о расчете пластин с прямоугольным очертанием контура оказывается значительно более сложной, чем симметричных круглых пластин. Получается это, прежде всего, потому, что прогибы и напряжения несимметричной пластины определяются в функции не,одного, а двух независимых переменных. Лля прямоугольной пластины (рис. 10.28) в качестве таких переменных берут обычно х У и у в прямоугольной системе коорпинат. Лифференциальное уравнение некруглой пластины является уравнением в частных производных и решается, как правие Х ло, в рядах.
Не останавливаясь на этой задаче, приведем только некоторые окончательные резуль- я таты теории прямоугольных пла- Рнс. 10.20 стнн. Если пластина свободно оперта по четырем сторонам и находится под действием распределенного давления р, то 421 наибольший прогиб имеет место при х = у = О (см. рис. 10.28) ра и =а— Ейз ' где а — коэффициент, зависящий от отношения Ь/а; а — меньшая сторона пластины.
Наибольшие изгибающие моменты Мх и Мя, рассчитанные на единицу длины сечения, имеют место в той же точке и равны М~~ = 13ра, Мз = 7Р" Коэффициенты а, Д и 7 для некоторых значений Ь/а при и = = 0,3 приведены ниже: 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2 3 4 5 оо 5 а ..... о,абзз о,абгб о,аТТо о,аооб о,1а17 а,ноб о,1336 о,14оо 0,1416 0,1422 ~У..... 0,04ТО 0,0626 0,0753 0,0862 0,0946 0,101Т 0,1189 0,1235 0,1246 0,1250 0,0479 0,0501 0,0506 0,0493 0,0479 0,0464 0,0404 0,0384 0,0375 О,ОЗТ5 Если пластина защемлена по четырем краям, то наибольший прогиб имеет место по-прежнему в центре пластины: 4 гпах Ра и =а1 —.
Еьз' Наибольший изгибающий момент возникает по серединам больших сторон, т.е. при х = ха/2 и у = О: Мтох,б аз х = 1Р 1,75 2 оо 1 1,25 1,50 0,0264 0,0277 0,0284 0,0817 0,0829 0,0836 0,0240 0,0757 0,0138 0,0199 0,0513 0,0665 422 Коэффициенты а1 и Д1 для некоторых значений Ь/а при и = О, 3 приведены ниже: 10.6. Изгиб цилиндрической оболочки нри симметричном нагружении Выше были рассмотрены случаи раствкения оболочек без изгиба (безмоментнзл теория) и изгиба пластин без растяжения. Теперь остановимся на более общем случае, когда в сечениях оболочки возникают и изгибающие моменты, и нормальные силы. Рассмотрим задачу об опрецелении напряжений в симметрично нагруженном тонкостенном цилиндре. Ее следует решать при тех же попущениях, что и задачу об изгибе пластин, т.е.
принимать гипотезу неизменности нормали и препположенне о ненацавливании слоев оболочки олин на другой. Круговой тонкостенный цилиндр радиусом Я и постоянной толщиной Ь находится поп действием некоторой осесимметричной нагрузки (рис. 10.29). Леформации и напряжения, возникающие в оболочке, также обладают, очевидно, осевой симметрией, и пефармированный цилиндр препставляет собой некоторое тела вращения. Форма этого тела определяется формой изогнутой образующей цилиндра. Рис. 10.29 Рис. 10.30 Обозначим через ш радиальное перемещение, а через д угол наклона касательной к образующей срединной поверхности цилиндра (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
