В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 54
Текст из файла (страница 54)
10.17 Рис. 10.16 относительно оси пластины х (рис. 10.16). Леформацки, перемещения и напряжения, возникающие в пластине, будут также симметричны относительно оси х. Прогиб пластины обозначим через и, а угол поворота нормали — через д (рис. 10.17).
Величины ю и д являются функциями только радиуса т и связаны между собой очевидным соотношением (10.8) Знак минус берется в соответствии со схемой прогиба, показанной на рис. 10.17. С уменьшением прогиба в угол д возрастает. Впрочем, зтот знак не является принципиальным к определяется только направлением прогиба. На рис. 10.18 показано осевое сечение пластины. Точки, расположенные на нормали А1В1, после изгиба пластины образуют нормаль А',В'„повернутую на угол д. Нормаль А~зВ1 повернется на угол д + дд.
Отрезок СВ, расположенный на расстоянии х от срединной поверхности и имеющий радиальное направление, получает удлинение х(д+ И) — хд = хдд. Относительное удлинение будет дд ст = х (10.9) Ыг Относительное удлинение в точке С в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, может быть найдено из Еее 81 Рис. 10.18 Рис.
10.19 сравнения длины соответствующей окружности до и после деформации. По изгиба пластины длина окружности, проходящей через точку С, была равна 2ят, а после изгиба — 2я (т+яд). Следовательно, относительное окружное удлинение д Е1=я —.
т Пвумя осевыми сечениями, проведенными под углом Жр адно к другому, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами т и т + Ыт (см. рис. 10.16) выделим из пластины элементарную призму, показанную на рис. 10.19. Поскольку в сечениях, параллельных срединной плоскости, нормальные напряжения отсутствуют, связь между удлинениями и напряжениями определяется законом Гука в следующем виде: 1 1 Ет = (От ~ИТ1)1 Е1 = (01 /от). Е ' Е Если выразить напряжения через деформации, то получим Е Е ет = 1(е. +де1); о1 =, (е1+де,), (1011) р 1 — р или, согласно выражениям (10.9) и (10.10), Ез /И д'1 Ея Е'д Ид'1 цт = ~ — + р —; сг~ = ~-+,ц — ).
(10.12) 1 — 112 ~йт т) 1 — рз 1,т Пт) На гранях призмы (см. рис. 10.19) возможно возникновение не только нормальных, но и касательных напряжений. Из условий симметрии, очевидно, они могут возникать только на площадках, перпендикулярных к радиусу т и только в вертикальном направлении. рассмотрим теперь условия равновесия выделенной призмы. Лля этого найдем сначала равнодействующие силы на гранях элемента. На грани А1В1А' В' (см. рис. 10.19) касательные напряжения дают равнодействующую поперечную силу, направленную по оси з. Силу, приходящуюся на единицу дуги т11~р, обозначим через Я.
Поперечная сила на грани А1В1А1В~~ будет Ягуар, а на грани А2В2А~2В2 будет равна Я + Щ) (т + йт) Иср (рис. 10.20). Я+ай/т+Ф~ф рчт~НцГт Рис. 10.20 Поскольку напряжения в верхних и нижних слоях одинаковы, но различны по знаку (см. формулы (10.12)), нормальные силы на гранях элемента отсутствуют. Нормальные напряжения о„и 01 на соответствующих гранях приводятся к равнодействующим моментам в вертикальных плоскостях. Интенсивность моментов, возникающих на гранях А1В1А',В1 и А1В1А2В2, т.е.
моменты, приходящиеся на единицу длины сечения, обозначим соответственно через М„и Мо Величины М, и М1 в дальнейшем будем для сокращения называть просто моментами, а Ч' — поперечной силой. Е10 Зная напряжения ог и о~, определяем равнодействуюшие моменты на гранях: +л/г М~ йт = дт о~кЫ. -луг +луг М„тНу= т <Бр агяЙя; -л~г Используя выражения (10,12), получим луг г,~ +р -луг +л(г М~ = — + р — к~ ~Ь. -л|г Но +л|г | уз к ~Ь= —, 12' -луг следовательно, /Ыд д'1 lд ед'1 М„=.О ~ — + р-р М, = В ~-+ р — ~, (10ЛЗ) где ЕЛз 12(1 — рг) (10.14) ( Я + Й~ ) (т + Й ) гор — Я т йр — рт йр дт = О, откуда Н рт= — (Ф ) йг (10.15) Эта величина называется цилиндрической эсеспзнесгаью оласп~икы (или оболочки).
В число сил, приложенных к элементу (см. рис.10.20), включена также и внешняя сила рг Иу дт. Проектируя все силы, действуюшие на элемент, на ось симметрии, получим Возьмем сумму моментов всех сил относительно оси у, касательной к дуге круга радиусом г в срединной плоскости: Й (Мг + НМг) (т+ й) НУ вЂ” М,гфд — Ргй Н1Я вЂ”вЂ” -М~йгйр+ Я+ й~)(г+ Йг)йрйт = О. Пренебрегая величинамк высшего порядка и переходя к преде- лу, имеем (10.16) откуда (10.17) Н М вЂ” — (Мг) = Яг Нг Остальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно вследствие условий симметрии. Подставляя М, и М~ из выражений (10.13) в уравнение (10.16) и полагая жесткость Р постоянной, получим ,12д И,з <~г г — + — — — = — —, ,Угз лг г Р ' (10.18) Последнее преобразование легко проверить простым дифференцированием.
После двукратного интегрирования выражения (10.17) находим д = С1 г + — — — Я й" й", где С1 н С2 — произвольные постоянные интегрирования, которые определяют из граничных условий в каждом конкретном случае. Поперечнзл сила Я может быть найдена из уравнения равновесия (10.15). Впрочем, поперечную силу гораздо удобнее определять, рассматривая условия равновесия центральной части пластины, выделяемой цилиндрическим сечением, радиус которого т. Этот способ нахождения поперечной силы будет показан ниже на конкретных примерах. После того как функция д найдена, с помощью выражений (10.13) определяют изгибающие моменты Мг и Мг, а по формуле (10.8) — прогиб ы. Знвл изгибающие моменты, легко найти и напряжения. Сравнивая выражения (10.12) и (10.13), видим, что Ел Мг Е4 ЛА пг= — — ', пг= — 2 —. 1 — )зз Р ' 1-)зз Р ' Подставляя выражение лля Р (10.14), находим 12Мг 12ЛХ1 ГГ = — Л" ог = — Л.
ьз ' ьз Наибольшие напряжения имеют место при х = ~Ь/2. Поэтому бМг шак б))~Ф шак ~ г, ушак 1 И2 (10.19) 10.4. Определение напряжений и перемещений в круглых пластинах Проследим на примерах последовательность применения вывепенных формул. П р и и е р 10.5. Определить прогибы и напрныеккн в пластине, иагруаемной равномерно распределенной нагрузкой р, в даун случаии закрепленил пластины: а) прк защеылеммм контура, б) прм свободном опнранми пластины на контуре (рмс. 10.21). Радиус пласткны Я, толщина й. Рис. 10.21 Решение задачи начинаеы с определении поперечной силы Я.
Длз цектрзльнок части пластины радиусом г (сы. ркс. 10.21), независимо от способа закреплении на внешнем контуре, уравнение равновесмн дает Я 2нг = рег, г Я= —. рг 2 413 Из выражения (10.16) после двукратного интегрирования ниищкм с, д=С г+ — — —.
г 16Р' Как в первом, так к во втором случае угол поворота В в пектре пластины (при г = 0) должен быть равен нулю. Но зто возможно только пря Сз = О. Таким образом, рг д= С,г — —. 16Р (10.20) Сгж —; д= — (Яг — г). Рд Р з з 16Р ' 16Р Согласно выражениям (10.13), получаем М, = —" (Н'(1+ д) — гз(З+ д)); 16 М~ = — (д*(1+ и) — гз(1+ Зд)). 16 (10.21) Палее, из выражения (10.6) находим ( 1 г 1 ж — С вЂ” -Я +— 16Р (~ 2 4 у'' где Сз — постоянная,определяемая нэ условкя ю = О. Тогда Сз ж - 11; 1 4 ю= — (Я вЂ” г).
Р з 3 з 64Р Пластина, как видим, изгибается по поверхности четвертого порядка. Во втором случае закрепления пласткны радкальные напрязсенкз аг (или момент М„) на контуре обрапгаются акуль. Следовательно, согласно первому выражению (10.13), при г = Я Вд ид — = — ж О. Ыг г Иэ этого усдовня определяем постоянную Сы Уравнение (10.20) дает ЗРИ' / РН' '1 С,— — +д(С,— — ~ =О, 16Ы (, 1ОР / откуда Ргс 3+и Р 1 3+д з з1 Сгю — —; В= — — Нг — г 16Р 1+ Р' 16Р 1 1+ ф 414 Теперь рассмотрим случаи закрепления раыжльно.
В первом случае при г = Я угол В = О, откуда Согласно выраженкиы (10.13), опревелвем изгибающп» моменты: И, = — "(3+д)(Л'-г'); 16 (10.23) Лг,= — (3+д) ~Я вЂ” — г ~. р У, 1+зи,'1 16 ~ 3+6 Выражение дле перемещеннк имеет внд р ( 3+и Взг~ = — ~Сз — — — + — . 16Р\ 1+р 2 4/ Постознную Сз снова подбираем нз условна, чтобы ка контуре перемещение ы обращалось в нуль: В' 3+р Сз = — —, 4 1+и' следовательно, = — ~~- —  — — — Я ° +-.~. ( . ) р 116+д з 13+к зз 1 16Р ~41+и 21+и 4 /' Согласно выраженнзм (10.21) (10.23), строим зпюры изгибающих момен- тов (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
